1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ц 4. Построение решений в окрестности регулярной особой точки. Рассмотрим уравнение (26), для которого г=О является регулярной особой точкой. В етом случае можно построить решения в явном виде. Будем искать решение в виде ряда 60 и(г) = гэ ~2 и г"„ (29) и о где и,*т*О, р, и — неизвестные числа.
В силу теоремы 5 такое решение существует, и ряд (29) сходится в проколотой окрестности точки г О. Имеем и' (г) = ~~'„', (и + р) и х"+э ФО и'(г) = ~ч", (и+ р) (н + р — 1) и„г"+э ' ° ч О 214 ГЛ. 1У. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФЪ"НКЦИИ Раэложим коэффициенты а(г), Ь(г) в ряды Тейлора: ОО ФО а(г) = ~~", а„г, Ь(г) = ~, Ь„з . Подставляя в уравнение (29), получаем а'и~, [р(р — 1)+ а р+ Ь) + г'+'(к, [р(р+ 1)+ а, (р+ 1)+ Ь[+ + ю, (ра, + Ь,) ) +... + з'+" (и „[(р+ л) (р + п — 1)+ + а, (р + и)+ Ьо)+...
+ ю, (ра„+ Ь„) ) +... = О, Приравнивая нулю коэффициенты при степенях г'+", и=О, 1, 2, ..., получаем рекуррентную систему уравнений: и~,Д (р) = О, ю А(р+1)+ йА(р)-0, (301 ю„),(р+ п)+ й„4(р+ п — 1)+ + и„,Яр+ и — 2)+...+ и~,~.(р) =О, где ),(р)=р(р — 1)+а,р+ Ь„ )1(р) = ра, + Ьь й ~ 1. (311 Так как ю,~О, то У,(р)=0, т, е. р(р — 1)+ а,р+ Ь, = О. '(321 1 ! в (в) в (э) [ ~ = Се ' , С сопэ1. и (э) ит(А)~ Это уравнение наэывается определяющим уравнением. Пусть р„р,— корни определяющего уравнения. Имеются две воэмож- НОСТИ. 1. Разность р,— р, не является целым числом. Тогда ~~(р~+ + п)ТА О, ~,(р,+п)ее 0 ни прн каком целом п>1.
Полагая р =р, в уравнениях (30),можно последовательно найти ш„и~„... (аналогично при р ° р,). В этом случаа уравнение (26) имеет два линейно неэависимых решения и~,(з), ич(г) вида (13). 2. Равность р,— р, есть целое число. Пусть р,— р,= т>0. Тогда У,(р,) ~,(р,+т)=0, но Д,(р,+в)тьО ни при каком целом п> 1. В этом случае существует одно решение ю,(г) вида (13). Второе линейно невависимое решение найдем с помощью формулы Лиувилля [22): 9 г7, днФФвгенциьльнык угьвнкния втового погядкь гя Это соотношение можно переписать в виде а -) и*м* откуда находим -) а~~ ~о й (г) = и (г) " ~Ь. шг (з) *1 (33) Так как р(г)= —, —,+а,+ ., 'то е (г) ее ) р(ь)дую= а,1пг+~>(х), *о где функция ф(г) регулярна в точке г О.
Следовательно, -~о-ге~ подынтегральное выражение в (33) имеет вид г ' '2(г), где функция т.(г) регулярна и отлична от нуля в точке г=О. Иа определяющего уравнения (32) следует, что р,+рь= — а,+1, и так как р~ р,+т, то — а,— 2р,=-(ш+1). Имеем т,(г)= ОО = Х Х,/", откуда 00 ~е1 ( ) ~~ т+а 1 Интегрируя (33), получаем ш,(х) ю~(г) (т,„1пг+г Ь(г)), где функция Й(г) регулярна в точке г О.
Окончательно находим, что второе линейно неаавнсимое решение уравнения (26) имеет вид и>г(г) г" е,(г) + иг(г))1 1пг, (34) где функция ~р,(г) регулярна в точке г О. Выясним структуру решений некоторых дифференциальных уравнений в окрестности регулярной особой точки. Пример 8. Точка г=Π— регулярная особая точка уравнения Бесселя (27). Определяющее уравнение (32)' имеет вид р(р — 1)+р — ч'=О н его корни равны.рь, ~т. 216 Гл. 1т, многознхчнын АнАлитическиа Функции 1. ч не является целым числом. Тогда уравнение Бесселя имеет два линейно независимых решения вида й.(я) = х"ф (х) й*( )- 'фр( ). где функции фс.(х) регулярны и отличны от нуля в точке х О. 2.
ч — целое число; пусть ч>0 для определенности. Тогда уравнение Бесселя имеет решение вида йр (х) х"ф, (х), где функция ф,(х) регулярна и отлична от нуля в точке х О. Второе линейно независимое решение находим по формуле (33) й„(х) =й,(х) ) —, рр Пусть ч>0 или же ч не является действительным числом. Найдем решение уравнения Бесселя. Уравнения (30) принимают вид (при р=ч) шар(ч+ 1) = О, швабр(ч+ 2) — йо = О, "° й„1р (ч+ и) — й„, = О, где 1,(р)=р* — ч*.
Отсюда находим, что й, й, ... й,„+, ш ( — 1) 0 и что йзп= „' . Следовательно, функция 4пп((ч -(- 1) ... (ч -(-и) чэ Ф ( 1)прРп+ч й„(х) йп 4"п((ч+1) ... (ч+ и) является решением уравнения Бесселя. Заметим, что (ч+1)...(ч+и) Г(ч+и+1)/Г(ч).
Решение 1)п (р)2)Рп+ч Г (и+ 1) Г(п+ ч+ 1) которое отличается от решения й~(х) только числовым множителем, называется Фрнкфией Бесселя. Если ч не является целым числом, то решения р„(х), У „(х) образуют фундаментальную си стему решений уравнения Бесселя. () Пример 9. Для уравнения Лежандра (1 — х*) йп — 2хй'+ йй 0 (Х вЂ” постоянная) точки х = ~1 являются регулярными особыми точками. Исследуем структуру решений в окрестности точки х 1. Определяющее уравнение имеет вид р(р — 1)+р О, откуда р, р, О.
Следовательно, уравнение Лежандра имеет ре. шение й,(х), регулярное и отличное от нуля точке х 1, 5 27. ДиФФВРенциАльные УРАВненил ВТОРОГО пОРЯДВА 217 Второе линейно неаависимое решение найдем по формуле (33). 2г ь1 В данном случае р(г) = — —, = —, 1п (гг — 1), так что ь юг (г) = иоь (г) ) Н~ (ь — 1) мг (ь) *ь Подынтегральное выражение в окрестности точки ~ =1 раала- Гается в ряд ь .,' ц+Х .К вЂ” 1)". ь и~ьь Интетрируя атот ряд почленио, получаем ,[*ь=,ь )( — 'ь [ — ьь.ь~ ь.( — ьь"), ь,~о ьь=.-Ь откуда кь (г) ль,(г)1п(г — 1)+ьр(г), функция ьр(г) регулярна в точке г=1, ф(1) О.
Таким обрааом, решение иьь(г) имеет логарифмическую особенпость В точке г = 1. Д Глава У ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ в 28. Теоремы о вычетах $. Вычет в конечной точке. Пусть функция Дт) регулярна в проколотой окрестности точки а (ать ), т. е. в кольце Х: 0< < Ь вЂ” а! <р,. Тогда точка а является для функции либо иэолировавной особой точкой однозначного характера, либо точкой регулярности, а функция )(т) представляется в кольце Х сходя щимся рядом Лорана ~(з) = ~ с„(г — а)". ч Определение т.
Вычетом функции ~(г) в точке а (обо. эначается газ) (з)) называется коэффициент с, ряда Лорана для 7(г) в окрестности точки а, т. е. геэ/(з) = с,. (%) По формуле (7) э 17 с, = —.) ~(~) б~, где окружность у Ь вЂ” а! р (0<р<р,) ориентирована поло. жительно. Отсюда получаем ) ~ (г) Из = 2л1геэ / (г). (2) т с 3 О Таким образом, если в =а — иэолированная особая точка функции ((с), то интеграл от функции ((г) по границе достаточно малой окрестности точки а равен вычету в этой точке, умноженному на 2кй Очевидно, гез ~(г) = О, если а — точка регулярности функции ~(г).
Во всех примерах этой главы контур интегрирования ориеи тирован положительно (если не оговорено противное). 219 г ы, твогвмы о вычжтах Пример 1. Найдем вычет функции еп* в точке г =О, Так как е '=1+ — + — в + ..., то с д — — 1 н геве'*= 1. Отса!да д(а дм 2а ~в следует, что е'~*!]х = 2я( гев е'~* = 2я(. '( ] !д] д в в Пример 2. Пусть ((г) = — в. Тогда гев((х) = —, так как в1а в 1 в а в 1 ( в з ((х) = — !(х — — + — + ... ! н е, =- —, Отсюда находим вв 'д 3! 5! '''( 5! ' в!а в 2я! — Ых = —. 5! ' Ы в Пример 3.
Если ((х) = г сов —, то гев ((х) = —, так как 1 в+1', 2' ((г) ](г+1) — 1]~1 — —;+ ...~ и е,= — —,. Д 2(х+ 1) 2. Вычисление вычета в полюсе х = а (аФ со), 1. Случай простого полюса. Если точка а — простой полюс функции ](х), то ряд Лорана для ((х) в окрестности точки а имеет вид Ф ((г) =е (г — а) д+ ~ е„(г — а)", а=в откуда находим с, = 11ш (х — а) ( (г), и позтому гев ( (г) = 1пп (х — а) ( (х). (3) д-ьа ф (а) др' (а)' ' * —, т.е. гев — = —, ф (в) ф (а) ,=, Ф (в) ф' (а)' 2. С л у ч а й к р а т н о г о п о л ю с а. Если точка а — полюс порядка и для функции ((г), то ряд Лорана в окрестности точки а имеет вид с е д ((г) = = + ...
+ ='+ е + е, (х — а) + ... (5) (в )зд в д В частности, если ((г) ф(г)/др(х), где ф(г) и др(г) — регулярные в точке а функции, причем ф(а)ч" О, ф(а) О, ф'(а)ФО, то точка а являетсн простым полюсом функции д(г), и по фор" муле (3) находим гев((г) = Лш = 1пп ф(,) ф ) (в — а) ф(в) ° ф(в) а х а ф(*) д а Гл. т. ТВОРия ВычетОВ и ее пРиложения Умножая обе части (5) на (х — а)", получаем (г — а) /(г) е „+...+е,(х — а) '+с,(г — а) +... (61 Дифференцируя равенство (6) т — 1 рав и переходя к пре- ,184-1 делу при г- а, находим (т — 1)! е 1 — — (пп —,[(х — а) /(г)18 а-а аа"-' откуда получаем формулу для вычисления вычета в полюсе т-го порядка: гев/(х) =, Иш — „, [(х — а)~/(8)1.
1 4)ар-1 (у) В частности, если /(г) =/ф(х)/(х — а)", где функция Ь(г) регулярна в точке а, /ф(а)Ф О, то иа (7) вытекает следующая формула: (8 а) ™ (Пр — 1)! (8) пр р 4. Р р фу у(ф-— (8 — 1) (8 — 2) имеющую полюс первого порядка в точке х 1 и полюс второго порядка в точке г = 2. По формуле (3) имеем гев/(х) = [ 1 = 1 р 1 Пф — 2) по формуле (8) получаем гев/(х) = [ — 1 = — 1. П вЂ” ~~,,) СОП 8 Пример 5. Для функции с1яг = —., точки х=йп (й— целое) являются простыми полюсами, и по формуле (4) находим Г С088 1 гев стя г = [ —., )! = 1. ф [(8!П*) ) ф Отсюда, в частности, следует, что главная часть ряда Лорана для функции с1ях в окрестности точки Йп равна 1/(г — )фп)'. П 3. Вычет в бесконечно удаленной точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
