1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Рассмотрим важный частный случай, когда функции Р(г), 6(г) аналитичны в одной и той же области. Те орема 1. Пусть функции Р(г), 6(г) аналитичньс е области Р. Тогда функции Р'(г), 6'(г), Р(г) ~ 6(г)', Р(г) 6(г), Р(г)/6(г)' '(е последнем случае требуетел, чтобы 6(г)чьО при гсиЮ) ана литичны е области Э. Доказательство. Докажем аналитичность функции Р(г)+ 6(г); точно так же доказывается аналитичность остальных функций.
Пусть 1(г), у(г) — исходные элементы этих функций, заданные в точке г„кривая Т лежит в области Э и имеет своим началом точку г,. Продолжив аналитически элементы 1(г), у(г) вдоль кривой (, получим в каждой точке ~си 1 элементы 1с(г), ус(г). Их сумма )сс(г) Л(г)+ус(г) регулярна в точке ~; тем самым элемент Ь(г)=1(г)+у(г) в точке г, аналитически продолжен вдоль кривой у. Эта теорема позволяет несколько расширить запас элементарных аналитических функций. Например, следующие функции являются аналитическими (область аналитичности указана в скобках): 1псг (0< !г! < )', г1пг (0< !г! < )', г+ 1пг(0<!г!<оо), — *+ (ЗФО, е, со). Пример 1.
Рассмотрим функцию Р(г) г)пг '(исходный элемент логарифма задан в точке г 1, 1п1-0). Исследуем характер неоднозначности этой функции. Покажем, что точка г =0 является точкой ветвления функции Р(г). Пусть ( — окружность !г! 1 с началом в точке г 1, ориентированная яоложительно. При обходе вокруг точки г 0 (т. е. при аналитическом продолжении исходного элемента 1(г) вдоль кривой ()' имеем 1пг- 1пг+2яс, так что Яг) — 1(г)+2ясг.
Следовательно, точка г 0 является точкой ветвлепия. После и обходов цолучаем 1(г) — 1(г)+ 2пясг. Точка г = также является точкой ветвления функции Р(г), так как обход вокруг точки в=0 в 3 гг. сткпиннля Функция, точки ВетВления 155 положительном направлении в это обход вокруг точки г = ь в отрицательном направлении. Д Определим суперпозицию аналитических функций.
Пусть аналитические функции Р(г), 6(г) порождены элементами 1(г), у(г), заданными в точках г„й, 1(г,) соответственно. Суперпозицией 6(Р(г)) называется аналитическая функция, порожденная элементом у(1(г)). Теорема 2. Пусть функция Р(г) аналитична в области Р, ее значения лежат в области О и функция 6(г) аналитична в области Б, Тогда суперпозиция 6(Р(г)) аналитична в области .О, Доказательство. Пусть кривая т с начальной точкой г, лежит в области П. Продолжив аналитически элемент 1(г) вдоль кривой у, получим в каждой точке ~ ы "( элемент ~с(г) и функцию ю(г) на кривой т: и>(г) 1,(г).
Зта функция отображает кривую т на кривую (, лежащую в области Б, с началом в точке в, =1(г,). По условию, исходный элемент у(в) функции 6(ю) можно аналитически продолжить вдоль кривои (; это продолжение дает элемент д (гс) в каждой точке и ~ у. Если и ж 1, ит Л,(Д, то функция у.(~с(г)) Ь,(г) регулярна в точке Ч н зи'(, и потому является элементом в этой точке. Твм самым исходный элемент у(1(г)) аналитически продолжен вдоль кривой "(, так что 6(Р(г)) — аналитическая в области .0 функция. Пример 2. Функция 1п(г — а) аналитична в области О.= <)г — а!< .
Д з — 1 П р и м е р 3. Функция 1в — аналитична в расширенной с+1 комплексной плоскости с выколотыми точками ~1. з — 1 Действительно функция и = — в указанной области П я+1 регулярна и не принимает значений О, . Функция 1пю аналитична в области.0: О()и)( . Д Отметим еще тождества: е"'*-' = г — а, Ве1п (г — а) = =1п )г — а), справедливыв при гчьа, Замечание 1. Строго говоря, формула Р(г) = 1п(г — а) вще не определяет аналитическую функцию: необходимо, по определению аналитической функции, указать ев исходный элемент. Зто замечание связано с тем, что формула может определять не одну, а несколько аналитических функций, воли не уиазан исходный элемент. Пример 4.
Выражение Р(г)=1пе* определяет бесконечно много аналитических функций Р„(г)=г+2ЙЩ й О, ~1, ~2, ... Д Другие примеры такого рода будут приведены в п. 5. !66 гл. гч. ьшогозньчныв лнллитичвскив эвикции 2. Степенная функция. При действительных х> 0 и при действительном фиксированном а справедлива формула х'= е'"". Распространим эту формулу на комплексные значения г и на комплексные значения а (а фиксировано), положив, по определению, гп Еп!п п В качестве исходного элемента функции г' возьмем элемент у (з) = е"~о~ ! в точке г =1, где 1п(г) — исходный элемент функции 1п г в точке г = 1 (т 21, (1) ).
Тогда уо(г)=~~~' С,',(г — 1)', Сй="" "' " . (2) о о Действительно, — у (з) ~ = )с1 С . Из этого соотношения о о и формулы Тейлора (о) оо (г) л о (г го) ~п Зо (по) з й! ь о следует формула (2). Из свойств логарифма вытекают следующие свойства степеннбй функции. Теорема 3, Функция г" аналитична е области О(!г! < Доказательство.
Функция 1пг аналитична в области П: 0~ !г1~; тем же свойством обладает фунгщия а1пг. Так как е* — целая функция, то по теореме 2 функция гп е'"' аналитична в области з) как суперпозиция аналитических функций. Производная степеннбй функции вычисляется по той же формуле, что и в действительном случае: е — з" = аз" — ~. еп (3) Замечание 2. Эту формулу следует понимать так: а га ю (3') где значения з" в обеих частях равенства — одни и те же. Иа формул для логарифма и из соотношения (1) вытекают все формулы для функции г'.
Основная формула для степеннбй функции вытекает из (1) и из формулы (12) т 21. 1. Пусть кривая ( соединяет точки г„г, и не проходит через точки О, . Пусть в точке г, задан элемент !(г) функции з такой, что 1(го) = з",. Продолжив аналитически этот элемент 9 22. степеннля Функция. Точки ВетВления 157 вдоль кривой (,получим в точке г, значение г» = г", ехр а 1п ~ — ' + 1аЛТ агл г ! е (4) !а э»(те+ьта»г») В частности, при таком продолжении Л, эгл г" ай» агя г. (О) Рассмотрим ряд примеров. Пример 5. Все значения функции у'г='г'Г", где п~2— целое число, в точне г = ге"', гчь 0 даются формулой уг=уге"Р=.уге", й=0,1, ...,и — 1. (10) (8) Действительно, значения у'г при й = О, 1, ..., и — 1 различны, так как числа е'т", ф»=(1р+ 2йя)УИ при этих значениях й различны. Далее, любое целое число й можно представить в виде Эта формула довольно сложна, и в таком виде почти не будет использоваться в дальнейшем.
Более простые формулы для функции г получаютсн при действительных а; этот случай является к тому же наиболее важным для приложений. 2. Любой элемент функции г в каждой точке г, чь О, полностью определяется заданием своего значения в этой точке. Любые два элемента Д(г), ~»(г) в каждой точке г, чь О, отличаются числовым множителем: Ь(г) е " Ь (г), (5) где й — некоторое целое число. Это свойство вытекает из формулы (1) и из свойства 2 логарифма (3 21). 3. Все значения функции г' при действительном а в точке г = геч даются формулой г" = (ге")" = г"еч'+' >, й = О, ~1, ~2, ...
(6)'. В частности, при действительном а функция )г ! однозначна: !г"! = !г! . (7) Из формулы (4) и из формулы (11) $21 вытекает следующая основная формула (8) для функции г» при действительных а. 4. ПУсть в точке г, = т,е1е» ваДано значение г,", = гее»"ее фУпка ции г". Пусть г„— значение в точке г„получепное в результате аналитического продолжения вдоль кривой (, соединяющей точки г, и г,. Тогда 15З гл. тч. многознлчньп лнзлитичкскик с гнкции й = пт+ т, где т, т — целые числа, 0 < т<. и — 1.
Так как е'~~= = ем"азот' = ен", то формула (10) содержит все значения ' у' з. Таким образом, функция у'з в области 0< Ь! < является п-значиой, т. е. в каждой точке этой области имеет ровно и различных значений. Из формулы (10) вытекает тождество (ь' з) =з. (11) х /(.) =., ~~ Сн — „', а%' з(' оо) (12) который сходится в круге Ь вЂ” з,! < Ь,! (т. е. центр круга расположен в точке зо, радиус круга равен расстоянию от точки з, до точки з О). Следовательно, функция у г является (правой) обратной к функцииз. !) Пример 6. Все значения функции Уг в точке г=теа даются формулой Уз = Ктз'о ~Ут е"'о.
Следовательно, функция Уз является двузначной в области 0 < !з! < . Ц Пример 7. Если со — действительное иррациональное число, то функция з' является бесконечноэначной в области 0< < !з! < о. Действительно, все значения функции за в точке в=те" даются формулой (6). Покажем, что различным й отвечают различные значения з'. Допустим противное; тогда существуют целые числа /оо й„различные и такие, что е о =е 1 .
ОтсюЫ оаа М оаа да находим, что (/о, — /оо) а по, т Ф 0 — целое число, т. е. а— рациональное число, что противоречит условию. ! ! Замечание 3, Если число а не является действительным, то функция г бесконечнозначна в области О < !з! < Пример 8. Пусть в точке з 1 задан элемент /(з) функции Уз такой, что /(1) 1, и т — отрезок (1, 1). Вычислим значение уТ, полученное в результате аналитического продолжения вдоль Т. Имеем !й(=1, Ьтагд в=я/2, и по формуле (8) находим УГ= е'"~'. Пусть теперь т — кривая з е ", 0 < т а= Зя/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
