1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 26
Текст из файла (страница 26)
. (зн 1, оьн он 12 т ) 2 2 3. Характер неоднозначности функции 1пг. Многозначные аналитические функции могут иметь особые точки нового типа по сравнению с рассмотренными в главе П1 — точки ветвления. Определение 1. Пусть функция г (г) аналитична в проколотой окрестности точки а и неоднозначна в этой окрестности. Тогда точка а называется изолированной точкой ветвления функции г" (г) . П рим ар 3. Точки О, являются изолированными точками ветвления функции 1п г.
Г1 Приведем другое определение точки ветвления. Пусть функция Р(г) аналитична в кольце 0< Ь вЂ” а~ (т. Возьмем точку г, из этого кольца и элемент /,(г) в точке г, и аналитически продолжим этот элемент вдоль окружности )г — а! = )г,— а1 с началом и концом в точке г,. (Коротко эту процедуру будем за.писывать так: «Совершим обход вокруг точки ао в положительном или в отрицательном направлении в зависимости от ориентации окружности.) Если элемент /,(г), полученный в ре- ао Гл. «ч.
многозылчные АнАлитические Фтнкцин вультате аналитического продолжения, не совпадает с исходным элементом ~,(г), то точка а является изолированной точкой ветвления функции Р(г). Возьмем точку г,чьО, ь, элемент 1,(г) логарифма в атой точке и совершим обход вокруг точки э=О в положительном направлении. Если 1,(г) — полученный в реаультате аналитического продолжения элемент, то во формуле (И) Л(г) Ь(г)+ 2пй Следовательно, логарифм обладает следующим свойством. 5. При обходе вокруг точки г О в положительном направлении 1п г - 1п г + 2я1, (13)' т. е.
элемент логарифма получает приращение +2«и. При обходе вокруг точки э = О в отрицательном направлении 1пг- 1пг — 2яй (13') Замечание 2. Свойство 5 является характеристическим свойством логарифмической функции. Именно, пусть функция Р(г) аналитична в кольце К: О( (г! (т и обладает следующим свойством: при обходе вокруг точки г О в положительном направлении Г (г) Г (г) + с, с ~ О (т.
е. любой ее элемент получает приращение с=сопэ1)'. Тогда гт(г) = —.1пг+ ««(г), где функция «»(г) регулярна в кольце К. Для доказательства рассмотрим функцию 6 (г) ° Р(г)— — — 1п г. Она аналитична и одноавачна в кольце К ибо 2л» 1 С(г)- С(г) при обходе вокруг точки г =О. Функция 1п г, как и всякая многозиачная аналитическая функция, «составлена» (или «склеена») из однозначных аналитических функций, а именно, нз своих элементов. Всякий элемент логарифма называется однозначной (или регулярной)' ветвью логарифма. Аналогично, однозначной ветвью многозначной аналитической функции назыеается любой ее элемент. Можно по-равному выбирать элементы, из которых «склеена» аналитическая функция. Иа формулы (11) и свойств аргумента (з 6) вытекает следующее свойство логарифма: 6.
Пусть кривые 1„1, лежат в области О < !г! (, соединяют точки а, б и гомотопны в атой области. Пусть 1(г) — произвольный элемент логарифма в точке а. Тогда при аналитическом. э м. хтккция ы 151 продолжении этого элемента вдоль кривых (ь (, получим один и тот же элемент в точке о. Действительно, приращения аргумента вдоль кривых (, и (, равны: Ат агя г = Лт, аг~ г, так что аналитическое продолжение вдоль кривых т, и т, лрнводнт в силу (11) к одному и тому же значению логарифма в точке о.
Пусть Р— произвольная односвязная область, не содержащая точек О, . Фиксируем точку г,~Р и значение 1пг, в атой точке. Аналитически продолжив элемент 1(г) логарифма Ц(г,) 1пг,) по всем путям, которые выходят из точки г, и лежат в области Р, получим однозначную в области Р функцию 1(г). Этоследует из свойства б н из того, что в односвязной области любые две кривые, имеющие общее начало и общий конец, гомотопны. Полученная однозначная аналитическая Ряс.
58 функция называется регулярной ветвью логариЯма в области Р. Выбрав в точке г, другое значение логарифма, получим другую регулярную ветвь логарифма в этой области. Выберем в качестве Р плоскость с разрезом по лучу (-, О) '(рис. 58). Функция 1пг в этой области распадается на бесконечное число однозначных ветвей. Эти ветви имеют вид ~а(г)=1п!г!+1(агяг)~+2йк1, й=О, ~1, ~2, ... (14) Здесь (агяг),— однозначная ветвь аргумента такая, что — я ( (агд г), ( я.
Вместо того чтобы рассматривать бесконечно много регулярных функций в одной области Р, возьмем бескопечно много идентичных экземпляров атой области. Обозначим зти области Ра, й= О, Ы, ..., и будем считать, что в области Р„задана регулярная функция Яг). Твяерь склеим области Ра (алистыэ) в одну поверхность. Пусть 1» — разрез ( — о, 0] на листе Р, и пусть 1»+, 1» — верхний и нижний берега разреза соответственно.
Если г =х(0, то Д, (х) = 1п | х ~ + (2й + 1) я1г х ы 1» „ У,(х)-1 ~ ~+(2й — 1)п1, 1;, тан как(агях), = ч- я, хе= 1». Следовательно„ 1» (х) ~ + = ~а+т (х) ~ ~а ~»+» 152 гл. щ. многознлчныв лнллитичкскив этнкции Поэтому будем склеивать нижний берег разреза 1ь+1 с верхним берегом разреза 1~а, )г О, ~1, ~2, ..., тогда функция 1пз будет однозначна на полученной бескопечнолистной поверхности. Построенная поверхность изображена на рис. 59. Она называется романовой поверхностью логарифма.
Эта поверхность напоминает по форме бесконечную в обе стороны винтовую лестницу. Заметим, что риманова поверхность логарифма односвязна. 3 а м е ч а н и е 3. Можно по-другому «разрезатьз логарифм на регулярные ветви. Именно, в качестве 11 можно ваять плоскость с раарезом по любой простой кривой т, соединяющей точки 0 и . Выбор разреаа диктуется конкретной задачей.
Например, при вычислении интег- ЯО Рвс. 69 ралов вида ) Л(х) 1лхдх, где В(х) — рацио- о нальная функция, оказывается удобным провести разрез 10, +») (з 29). Поскольку уже известны конформные отображения некоторых областей функцией г*, то отсюда можно сразу же получить ряд отображений функцией 1пз. Фунтщия е* взаимно однозначно и конформно отображает полосу П: 0 < 1ш з < а ширины а ~ 2я на сектор Я: 0 ( агя ю С а. Следовательно, обратная функция и1 ег г=1ив Рзс, 60 з = 1п и взаимно однозначно и конформно отображает сектор 8: 0( агйю(а на полосу П: 0~1шг(а (рис. 60). Однако здесь следует выражаться поточнее, так как обратная функция неоднозначна. Сектор Я вЂ” односвязная область, не содержащая точек О, .
Следовательно, в этой области функция г=1пю распадается на однозначные ветви. Отображение Я вЂ” П осуществляется одной из этих ветвей з,(го); ее можно задать одним из способов: 1) 0(1шз,(го)~2я в секторе Я; 2) з,(1)=0 (т. е. задается значение ветви на границе)'. 1 22. степенная Функция. тОчки Ветвленпя 153 Функция ш 1пг (точнее, ее ветвь 1,(г), заданная формулой (44)), взаимно однозначно и конфорв1но отображает плоскость г с разрезом по полуоси (-, О) на полосу -я < 1пт ш ( я. Другие ветви логарифма отображают сектор о на другие полосы. Именно, если 1„(г) — ветвь логарифма в секторе о, заданная формулой (14), то функция ш = 11(г) взаимно однозначно и конформно отображает сектор о на полосу П„(рис.
49)1 2йя ( 1п1 п2 ( 2йя + а. В курсе математического анализа для фуяяцян 1вх выводится функцнональное соотношение 1о (х,х,) 1п х, + 1о 22. Так как 1п х — неоднозначная функция, то аналогнчное соотноо1епяе 1п (2122) = 1п 21+ 1пхе (21, ххтьО) (15) приходится трактовать иначе. Именно, если ю1 )п21 — любое значение функции 1пх в точке з1 н е22 = 1пхз — любое значение функции !ох в точке 22, то нх сумма м1+ 222 есть одно нз значений 1п (2,2,).
Это утверждение следует нв тождества е тх !ех !лх е 1 2=.2 1е '=22. 1 2' Г Далее, если 2хе 1п (2,22) есть одно нз значений функции 1а х в точке 2,22, то существуют такие значения ю1=)п*1, 1 = 1, 2, что же = ю1+ юх, т. е. выполняется (15). Для доказательства фиксируем зна- чення юе 1п (2122), ю1 =1п21. Тогда е -ю и -х е Е '=е 'е 1=222 1=2, 121 2', т. е.
юе — ю1 совпадает с одним нз значеннй 1п 2. Равенство (15), очевидно, неверно, если в него подставить пронзвольныв значення 1и х в точках хь 22, Ихз. Например, х, =22 = 1, 1п(хх) О, 1п21= О, 1вхз = 2яй $22. Степеннйя функция. Точки ветвления аналитических функций $. Операции над аналитическими функциями. В предыдущем параграфе была введена элементарная многоэначная аналитическая функция 1пг.
Все остальные элементарные аналитические функции можно выразить через логарифм с помощью арифметических операций, суперпозиции, операции обращения функции. Определим эти операции для аналитических функций. Операции над аналитическими функциями вводятся с помощью онерацнй над их исходными элементами. Пусть даны два элемента 1(г), д(г), заданные в одной и той же точке г„ и пусть г" (г), 6(г) — аналитические функции, порожденные этими элементами. Тогда функции у(г) ~ л(г), 1(г) л(г), ~(г)/2(г) также являются элементами в точке г, (для частного требуется, чтобы е(г,) чь О). Эти элементы порождают аналитические 154 Гл.
1ч. мнОГОзнАчные Аналитические Функции функции, которые обозначим символами Р(г) ~ 6(г), Р(г) 6(г), Р(г)/6(г) соответственно. Если же элементы 1(г), у(г) заданы в разных точках, то их сумма, разность, произведение, частное не определены, так что эти операции над аналитическими функциями Р(г), 6(г) также не определены. Символом Р'(г) обозначим аналитическую функцию, порожденную элементом 1'(г) в точке г,. По определению, эти операции над аналитическими функциями снова приводят к аналитическим функциям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
