1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 16
Текст из файла (страница 16)
формулы (13) г 11), г(о)(а) с, = ((а), с„= — (и = 1, 2, ...). (8) С другой стороны, с„= — = — ) с)~, 1(")() т р )(и =2.~.~(, о)-эг тр откуда, заменив а на г, получаем формулу (6). Из этой теоремы, в частности, следует, что производная регулярной функции есть регулярная функция. 3 а и е ч а н и е 2.
Равенство (6) формально получается пз интегральной формулы Коши т р)(1) а1 если проднфференцировать ее левую н правую части и раэ. Замечание 3. Если функция )(г) дифференцируема в окрестности точки а, то она регулярна в точке а (теорема 1) и представляется степенным рядом, который является рядом Тейлора для Дг) (г 11, следствие 3). Таким образом, формальный ряд Тейлора Ю Х г( )(а) — (г — а)'" э( о=о для функции )(г), дифференцируемой в окрестности точки а, сходится к этой функции в некоторой окрестности точки а. Аналогичное утверждение для функций действительного переменного не имеет места.
Например, функция с и", хФО, ~(х) =, всюду дифференцируема и имеет все проиэводпые в точке х = О, равные нулю, и, следовательно, все коэффициенты ряда Тейлора для У(х) в точке х = О равны нулю, однако )(х) Ф О. з 12. сВОйстВА РегуляРных ФункциЙ Из теоремы 2 и п. 3 3 7 вытекает Следствие 5. Гармоническая в области функция бесконечно дифференцируема. 3, Достаточные условия регулярностп. Теорема 1 утверждает, что достаточным условием регулярности функции ~(г) в области Ю является дифференцируемость атой функции.
Рассмотрим другие достаточные условия. Теорема 3 (теорема Мор ера). Пусть функция )(г) непрерывна в односвязной области В и пусть интеграл от функции т'(г) по любому замкнутому контуру, лежащему в Ю, равен нулю. Тогда функция ((г) регулярна в области П. Доказательство. В силу следствия 3 $ 9 функция )(г) имеет первообразную, т. е.существует дифференцируемая функция г"(г) такая, что г'(г)=1(г) для всех ежа. Согласно теореме 1 функция Р(г) регучярна в области В, п, следовательно, ее производная — регулярная в В функция, т.
е, функция)(г) = = Р" (г) регулярна в области В. Теорема 4 (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функции т„(г) (и = 1, 2, ...) регулярны в области Ю, и пусть ряд СО ) (г) = ,~~ г„ (г) равномерно сходится в каждой замкнутой области, лежащей в Р. Тогда функция ~(г) регулярна в В.
Докааательство. Пусть г, — произвольная точка области Р. Рассмотрим круг К: !г — г,) ( б, лежащий вместе со своей границей в области Р. По условию, ряд (9) равномерно сходится в К, а значит, и в К. Кроме того, функции ~„(г) (и = = 1, 2, ...) регулярны н, следовательно, непрерывны в К. Поэтому функция ~(г) непрерывна в К как сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций. Пусть 7 — любой замкнутый контур, лежащий в круге К.
Интегрируя почленпо равномерно сходящийся на 7 ряд (9), получаем ~ ~ (г) дг = ~'.~ ) ~„(г) дг. т й=гт Цо интегральной теореме Коши ~7„(г)аз=О (п = 1, 2, ...) и, следовательно, ) 7(г)де=О. В силу теоремы Морера, функция 1(г) регулярна в круге К и, в частности, в точке г,. Так как г, — произвольная точка области Р, то функция 7'(г) регулярна в области .О.
Теорема доказана. ГЛ. 11. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ «(з) =,')', с„(з — а)", ь=« где коэффициенты с„определяются формулами с„= — „, /"~ (а) нли (10) (11) (' )к) зяг,) (~ в)в+1 и — а~=р Зтот степенной ряд является рядом Тейлора функции 1(з) в окрестности точки з = а. (12) Теорема 5 (вторая теорема Вейерштрасса). В условиях предыдущей теоремы ряд (9) можно дифференцировать почленно любое число раз. Получаемые при атом ряды равномерно сходятся в каждой замкнутой области Ло лежащей в области Э. Мы ограничимся формулировкой второй теоремы Вейерштрасса (доказательство ее содержится, например, в 1111). Другие достаточные условия регулярности, относящиеся к интегралам, зависящим от параметра, будут даны в $ 15. В заключение и. 3 приведем краткую сводку основных свойств регулярных функций. Заметим, что наряду с термином «регулярная функция» в литературе используются другие акзнвалептпые термины: (регулярная функция) (голоморфная функция)— (однозначная аналитическая функция).
Критерии, (необходимые и достаточные условия) регулярности функции ~(з) в области Х): 1) дифференцируемость функции Дг) в области В; 2) условия Коши — Римана. Достаточные условия регулярности функции Дг) в области Ю дают теорема Морера и первая теорема Вейерштрасса. Свойства регулярных функций: 1) сумма, разность, произведение регулярных функций 1(г) и у(з), а также нх частное (при у(г)т' О) и суперпозиция являются регулярными функциями; 2) регулярная функция бесконечно дифференцнруема; 3) для регулярной функции справедливы интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши; 4) первообразная регулярной в односвязной области функции регулярна. 4.
Некоторые приемы разложения в степенной ряд. Всякая функция 1(з), регулярная в круге !з — а! ( р, разлагается в сходящийся в этом круге (см. следствие 3 из теоремы 1) степенной ряд 9 1г. сВОйстВА РеГуляРных Функций 95 чП ( 1)иххи созг = Я1 ~а~ (2и)( ° 0 хи СЬг = (2ид ' Напомним также ряд ~ ги 1 и О сходящийся в круге )г) ( 1. Заметим, далее, что для нахождения коаффициентов ряда (10) формулы (12) обычно не используются. Часто коэффициенты ряда Тейлора находят, используя известные разложения (в частности, формулы (13) — (16)) и применяя различные искусственные приемы. Пример 1.
Ряд СΠ— = ~ (я + 1) ги () г 1 (1) (1 — х) получается дифференцированием ряда (16). () Пример 2. Для нахождения ряда Тейлора в окрестности точки г О рациональной функции 1(г) = (4 — хх)(хг + 4) представим ее в виде 4 ~1+— 4 откуда в силу формулы (16) получим ряд 1И1=Х с с0( 0)0" 4и+1 сходящийся в круге )г! ( 1.
Непосредственным вычислением производных от злементарных функций е*, з(пг, созг, з)тг, СЬг в точке г = 0 ($7, формулы (14), (15), (16)) получаются следующие сходящиеся во всей комплексной плоскости разложения: СО еС ),' " (13) — о 00 СО 1)и хи+1 з1п г ОО '7, (14) иОВ СО Хи+1 Х (2 +1»' (15) и-О гл. и. Рвгулязньтв Функции Приведем некоторые приемы разложения в степенной ряд. 1. Арифметические операции над степенными рядами, Пусть функции 1(г) и у(г), регулярные в окрестпости точки г а, представляются рядами 1(г) = ~ е„(г — а)", СЮ л(г) = ~, Н„(г — а)", (18) е=е (20) сходящееся во всей комплексной плоскости.
() 2. Метод неопределенных ко эффпцк ен тон. Рассмотрим задачу об отыскании козффициептов ряда Тейлора в окрестности точки г = а функции ((г), равной отношению двух регулярных функций ~((г) = — (, ряды Тейлора котов(е) '1 Л(е))' рых известны (Ь(а)ее О). Если СО ОО 7'(г) = ~~~~~~~ с„(г — а)е, д(г) =- ~' а„(г — а)", в=о е=е 02 Ь(г) = ~ 6„(г — а)", где ряды (17) и (18) сходятся в круге !г — а! <В. Тогда имеют место разложения А7'(г) = ~~.", Ас„(г — а)", А = сопзг, (19) е е ОЭ 1(г) +.
д (г) = ~~~ (с„~ Ы„) (г — а)'", ее / е ~(г)й(г) =,Зе ~~ с«д, «(г — а)". (21) «=о «=е Ряды (19) — (21) сходятся в круге !г — а! (77. Пример 3. Чтобы разложить в ряд в окрестности точки г = О функцию е' соз г, можно перемножить ряды (13), (14). Однако для аффективного вычисления коэффициентов разложения удобнее использовать тождество уеее+е -Ее~ $ е* соз г = е' ~ ) = — (е'('+е + ек' е). 2 Так как 1+1= 72е'"", 1 — 1= 72е "', то в силу (13) получаем разложение О е*созг = 2и/2 же/е ( 2ея — Ыеы ч ~ 2еы лз г" = ~~т, — соз — г" 4 з а7 1 !г.
свойств» РеГуляРных Функции то, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях раакости г — а в равенстве 7(г)Ь(г) л(г), получаем уравнения вида с,Ь„+ С,Ь„, +... + с„Ь, = а„, иа которых можно последовательно найти коэффициенты с„с„с, и т. д..Нетрудно получить выражение для с„череа коэффициенты а„а„..., а„и Ь„Ь,, ..., Ь в виде определителя (см.
111]). П р и м е р 4. Применив метод неопределенных коэффицненг тов к функции, по" учим е* — 1 е ъ~ л„ вЂ” — "го — 1 "! (22) и формулу (22), получаем разложение и2 ~го гс1яг=1+~~~ (-1)" — ',"г" ()г!(л). Д (2и>! 3. Ряд степенных рядов. Пусть 1(г) = ~е 7'„(г), (23) (24) где все ряды 00 7„(г) = ~ч~ с®(г — а) (и = 1,2, ...) (25) »=е сходятся в одном и том же круге К: ~г — а~ ( р и, кроме того, ряд (24) равномерно сходится в каждом круге !г — а! ( р„ где р, ( р.
В силу теорем Вейерштрасса имеем 1! >(.> 7. ( > <»> !»> СО с» = — =,~~ ~— = ~~'„с„ »! >е! И=1 »=1 о1куда ее ео 1 о 7'(г) = ~; с» (г — а)» = ~ ~,'~', с„(г — а)», » о Подстановка ряда в ряд. Рассмотрим функцию Лг)=8(Ь(г)1 где функция и Ь(г) регулярна в круге К,: 7 ю. в, Сигорое и гр. Здесь „— числа Бернулли, определяемые из соотношений В, =1, Со+,В, + С„'„,В, + ... + С +1В„= О(и «1), где С»+, (й = О, 1, ..., и) — биномиальные коаффнциенты. Ряд (22) схо- дитсЯ в круге )г) ( 2я. Используя тождество оое е, е»1'+ 1 2! с1я г = —.
= 1,и = 1+ 31и е егм 1 ег>* — 1 ГЛ. М. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ]г — а! < В„а функция г(ю) регулярна в круге К: ]в — Ь! < < В, причем Ь(а) Ь. Пусть Ю 00 с(и~) = ~ч" Ь„(ю — Ь)™, Ь(г) = ~з~ а„(г — а)" — степенные ряды для функций д(ю) и а(г). Так как функция й(г) регулярна в круге К„то существует круг К,: ]г — а! <Л,<Л, такой, что ]Ь(г) — Ь(а)! <В, т. е. ]и~ — Ь! <В. Функция /(г) регулярна в круге К, как суперпозиция регулярных функций.
Козффициепты разложения 1(г) = =,'~',сь(г — а)" определяются формулами (25) — (26), где г„(г) = Ь„~Ь(г) — Ъ1", так как 00 У (г) = — г (и~) = Х Ь„ (ю — Ь) = Х Ь (Ь (г) — Ь]". (27) (29) Из (29) и (30) имеем ~ (г) = Д с„((г — Ь) + (Ь вЂ” а)]" (31) з=о Если ]г — Ь! <р, где р= — ]Ь вЂ” а], то ]г — а! <В и, применяя метод подстановки ряда в ряд, из (31) получаем разложепие ОО /(г) = ~ а„(г — Ь)" (32) н=а сходящееся в круге ]г — Ы < р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
