1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 9
Текст из файла (страница 9)
о= „+1 1=2 5 х. интеГРБРОВАние Фтнкций Таким образом, ( О, и = О, 1, ~ 2, ~ 3, ..., '(2 ' = — 1 Ц (8) и-а1 а ~я~1 еде !дг! = У(йх)'+(ду)1 аа — алемент длины кривой т. Доказательство. Имеем ! и и ~ У (Ьаг) (гг — гл,) ~ ( ~а ~ У (4Ь) ~ ~ ге — гь 1 ), 1=1 В 1 откуда, переходя к пределу, получаем оценку (9). Замечание. Оценку (9) можно также получить из (4) с помощью неравенства (6) 5 3.
Следствие. Лг неравенства (9) вытекает оценка 11иа.(<кЧА где М = шах ! 1(г) ~, 1(т) — длина кривой т. аат Лемма 2. Пусть Яункция 1(х) непрерывна в области Э и кривая т лежит в Э. Тогда интеграл от Дг) по ц можно с любой точностью приблизить интегралом от У(г) по ломаной, лелсащей в области П, т. е. для любого е )О существует ломаная С, лежащая в области В, такая, что ! 11(4 а*-11(еа ~ 7 о Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим область В, такую, что Ю, <= Х> и кривая ( лежит в В1 (существование такой области Па (10) (11) Имеет место следующее свойство: если ряд У(г) = 2'„Уа(х), и 1 составленный из непрерывных на кривой т функций )„(х) (и- =1, 2, ...), сходится равномерно на (, то его можно почленно интегрировать, т, е.
~~(х)йг=",, ~У„(г)йг. т " хт Это вытекает из (3) и теоремы о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда, составленного из действительных функций. 3. Оценки интегралов. Лемма 1. Пусть Яункция 1(г) непрерывна на кривой т. 2'огда имеет место оценка ((паа*(~1~п*н~а, (9) 5 г. интвгрировлник Функции сти Р вплоть до границы, то интеграл от 1(г) по Г можно с любой точностью приблизить интегралом от 7(г) по замкнутой ломаной, лежащей в области Р.
Доказательство леммы 3 выходит за рамки нашего курса. Рассмотрим неодносвязную область. Пусть граница Г ограо ниченной области Р состоит из кривых ÄÄ..., Г„: Г = () ГА. А=1 Если функция 7'(г) непрерывна в области Р вплоть до границы Г, то интеграл от 7'(г) по Г определяется формулой ~ 7" (г) дг = ~~ ~ х(г) дг. г 1=1 г Из леммы 3 вытекает Следствие. Если 4унщия Х(г) непрерывна в области Р вплоть до границы, то интеграл от 1(г) по границе области Р можно с любой точностью приблизить суммой интегралов от 7'(г) по замкнутым ломаным, лежащим в области Р.
Лемма 4. Кривую 7, лежащую в области Р, можно покрыть конечной системой кругов, принадлежащих области Р. Доказательство. Пусть à — граница области Р, р(у, Г) = 1п1 1г — ~~ — расстояние между кривой 7 и границей Г иатдаг области Р. Из курса математического анализа известно, что р(7, Г»о. Разобьем кривую 7 на дуги 7н 71, ..., 7„последовательными точками г„г„..., г„, где г,— начало, а г„— конец кривой 7, так, чтобы длина 11 дуги 71 была меньше 4 р (у, Г): 11< 4 (уэГ)~ 7=1~2г ° 1п Покан1ем, что кривая 7 покрывается следующей системой кругов: К,: ~г — г;!< — р(у, Г), 7=0,1, ..., п. (16) 1 В самом деле, если гон 7ь то (17) ~г — г;~<11< 4 р(7,Г)<, р(7,Г), т, е.
дуга 71 лежит в круге К1 (Х = 1, 2, ..., и). Следствие. Пусть область Р,— объединение всех кругов (16): Р1 = () К1. Тогда кривая 7 лежит в области Р1 и Ю1 ~ Р, 1' О причем р(у, Г1)~) — р(у, Г), где Г,— граница области Р,. 4 ю. в. сидоров и др. 50 гл. т. вввдвник 5 6, Функция агя л Функция 1пг была определена в $4 формулой 1пг =1п )г) + +)агяг. В главе 1Ч будет показано, что все элементарные многозначные функции выражаются через логарифмическую функцию. Поэтому необходимо тщательно исследовать многозначную функцию агя г.
Свойства функции агкг и, в особенности, свойства приращения аргумента вдоль кривой (см. ниже и. 2) будут широко использоваться, начиная с з 21. Однако некоторые из пих нам понадобятся уже в $13. 1. Полярные координаты. Известно, что декартовы и полярные координаты точки г (г х+ )у) комплексной плоскости связаны формулами х гсоз<р, у=ге)пф.
(1) Если полярные координаты (г, <р) заданы, то декартовы координаты (х, у) однозначно определяются формулами (1). Если известны декартовы координаты (х, у), то из (1) однозначно находится г Ух'+ у'. Однако у определяется неоднозначно: из уравнений соз~р = —, а)пЧ = (2) У х' + г' '+р число <р=агяг находится только с точностью до 2Ья, где й— целое число. Это обстоятельство (неоднозначность соответствия между (х, у) и (г, ~р)) не играет существенной роли при исследовании однозначных функций.
Но при исследовании многозначных функций (например, функции 1п г) оно становится весьма существенным. Заметим, что формулы (1) устанавливают взаимно однозначное соответствие между всей комплексной плоскостью г и множеством (0<г<, — я«р<я) 0(г=О, ср=О) на плоскости (г, ~р). Это множество не является областью (т. е. открытым связным множеством), в то время как плоскость г является областью. Взаимно однозначное соответствие между областями получается, например, если рассмотреть полуполосу П: (0 < г< <, — л < ~р<я).
На плоскости г полуполосе П отвечает область Р,: плоскость с разрезом по полуоси ( —, 0) (рис. 25). В области Р, будем отсчитывать полярный угол <р от полуоси х) 0 (при х) 0 полагаем <р=О). Тогда <р будет изменяться в пределах -л «р < я, и каждой точке г~вР, отвечает толысо одно значение ср = ~р(г). Тем самым в области Р, задана однозначная и непрерывная функция ср(г). Эта функция бесконечно дифференцируема по переменным (х, у) в области Р„ так как отображение (1) полуполосы П на область Р, беско- З В.
ЕУГПГЦИЯ а|в * печно дифференцируемо, взаимно однозначно и его якобиаи / г не обращается в нуль. Функция ф(г) однозначно определяется уравнениями (2), так как — я(ф(я. В любой точке г области П. значение ф(г) совпадает с одним нз значений многозначной функции агя г (см. и.
4 з 1). Поэтому функция ф(г) называется однозначной Рис. 25 непрерывной ветвью функции агяг. Для простоты будем обозначать эту ветвь ф = агя г. В области В, существует бесконечно много однозначных непрерывных ветвей ф,(г) функции агкг. Все онн описываются формулами ф„(г) = ф(г)+ 2йя, й = О, М~, ~2, ...
Функцию ф = агяг, определенную выше, можно выразить нз формул (2) через обратные тригонометрические функции: агя г = агсСд — , если х) О„ агяг = я + агс1д У, если х~О, у) 0; агяг= — я+агс$д —, если х<0, у(0. У Однако в случае произвольной области нельзя получить простую формулу, которая выражала бы непрерывную ветвь функции агяг через обратные тригонометрические функции, так как эти функции меняются в пределах от — я/2 до я/2 или от 0 до я, а функция агя г может меняться в любых пределах.
Более удобным является интегральное представление функции агл г, которое рассматривается ниже (см. (15)). 2. Приращение аргумента вдоль кривой. Пусть кривая у не проходит через точку г = О. Угол поворота вектора г при движении точки г вдоль кривой у от начальной до конечной точки этой кривой назовем приращением аргумента г вдоль кривой у и обозначим его Л, агу г (рис. 26).
л» Гл. ь Вввдвнив 52 Пример 1. а) Если 7 — отрезок прямой с началом в точке 1 — $ н концом в точке 1+ $, то Ар агйг = —; б) если 7+ — полуокружность !г! 1, 1шг>0, ориентированная против часовой стрелки, то Л,+ аунг = н (рис. 27); Ряе. 26 Рве, 27 в) если 7 — полуокруяшость !г! 1, 1шг(0, ориентированная по часовой стрелке, то Ь, агдг = — н (рис. 27).
Д Выведем формулу для Л,агйг. Из формул (1) имеем Ых = сог фог — Гз(пф о4р, ор — а1пф ЙГ+ Гсоа ф оф, (3) откуда г Ыф = — зш ф Пх+ соа ф ду. Следовательно, — у Нх+ хну Нф=даглг= " + *'+ у' (4) Рассмотрим интеграл ) Ыагдг. Этот интеграл равен разности значений аргумента г в конечной и начальной точках кривой 7, т. е. равен приращению аргумента вдоль кривой: Л„агат. Следовательно, — удх+ х ху Лтаглг = '+ у' (5) Формулу (5) можно записать в виде Лтагйг = йв ) —, 0л~ (6) Лх Нх+ $ ху — у Ых+ х ху так как 1ш — =йп .
=,, а переменную инте*+ ~у х~+у~ грирования в (6) можно обозначить любой буквой. Рассмотрим свойства приращения аргумента. 1. Пусть кривую 7 можно непрерывно деформировать в кривую уо не проходя через точку г =*0 (т. е. кривые 7 и 7, гомотопны в области О ~ Ь! - )' (рис. 28), Тогда имеет место З 6, функция атв г равенство Атагяг = А агяг. (7) Доказательство. Рассмотрим интеграл ) Рах+ Чау, (8) др д0 где функции Р(х, у), чг(х, у), д и — непрерывны в области »»7, и кривая 7 лежит в области ь». В курсе математического анализа [9! доказана Теорема. Если область В односвязна, то для того чтобы интеграл (8) по любой замкнутой кривой 7, лежащей в области Х>, равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы во всей области 77 выполнялось равенство дР до (9) ду дх Иэ этой теоремы вытекает Следствие.
Если в области Р (может быть, не односвязной) выполняется равенство (9) и кривую 7 можно непрерывно деУ»оРмиуовать в кРивУю 7ь оставаЯсь в области Ю (т. е. кривые 7 и 7, гомотопны в области В), то имеет место равенство ') Р йх + ч ау = ) Р ах + ч ду. ((0) т т» Положим в (40) Р (х, у) = —." „Ч(х, у) = —. Х +у *'+ у' Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти функции удовлетворяют условию (9) в области 0(!г!( . Таким образом, Рве.
28 из (5)' и (Ю) получаем равенство (7). Формула (7) следует также из геометрического смысла приращения аргумента вдоль кривой (рис. 28). Из свойства 1 вытекает, в частности, свойство 2. Если замкнутая кривая 7 не проходят через точку г = 0 и эту кривую можно непрерывно деформировать в точку, не проходя через точку в =0 (т. е. кривая "! гомотопна нулю в области 0( !г! ( ), то имеет место равенство Ь» ага г О. (и) Заметим, что равенство (7)' выполняется не для любых кри- вых 7 и 7» с общим началом и общим концом (ср. пример (,б гл. г.
вввдвнив и в)). Также и равенство (11) справедливо не для любой замкнутой кривой т. Пример 2. Если 7 — окружность !4 =1, ориентированная против часовой стрелки и проходимая один раз, то Л,агяг = 2я. () Отметим еще два свойства приращения аргумента: 3. Если кривая 7 не проходит через точку г =* О, то Л, агя г — Л,, агя х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
