1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Точно так же, как и в курсе математического анализа, доказывается Критерий Коши. Последовательность (г ) сходится тогда и только тогда, когда для любого е) 0 существует такой номер Ф, что для всех и > Л и т ~ У выполняется неравенство 1х„— г„! ( е. Последовательность комплексных чисел Ь„1 называется ограниченной, тли существует такое число В, что 1г ! (В для всех номеров и. Из геометрической интерпретации предела последовательности вытекает, что всякая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Однако, имеет место Теорема Вейерштрасса.

Нг любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследоватвльность. Для доказательства этой теоремы достаточно ааметить, что из ограниченности последовательности Ь„1 вытекает ограниченность последовательностей (х„1 и (у„1, где х„ = х„ + гу„, затем применить теорему Вейерштрасса для последовательностей действительных чисел и воспользоваться теоремой 1. Рассмотрим свойства последовательностей комплексных чисел, связанные со свойствами последовательностей модулей и аргументов этих чисел.

1. Из определения предела последовательности и неравенства 1!г.! — !а! ! (!г„— а! (см. (15), $1) вытекает следующее свойство: г 2.послвдовлтвльности и Ряды 21 Это определение формально совпадает с соответствующим определением для действительных чисел, так как соотношение с7) означает, что для любого В) 0 существует такой номер )г', что для всех п ) Ж выполняется неравенство Ь.! ~Л. (8) Для бесконеччо больших последовательностей комплексных чисел справедливы следующие свойства. 1.

Если г„чь О, п = 1, 2, ..., то 11ш ги ии со тогда и только тогда, когда фш — = О. 1 и оо и 2. Если 1пп г„= оо и 1пп 9„= ачхое, то 11ш (г„+ 9и) = оо и 1пп — = — О. и оо и 3. Если 11ш ги = со и Нп1 ь„= а ~ О, сс, то 11ш (г„Ь„) = оо и-о оо и о и оо ии и 1пп — = оо. и-ооо ии Рассмотрим геометрический смысл соотношения (7) . Неравенство (8) означает, что точка г, лежит вне круга радиуса г1 с центром в точке 0 (рис. 9). Это множество называется окресгпостью бесконечно- оси сти.

Следовательно, точка г = является пределом последовательности (г„), если в любой окрестности точки г = содержатся все члены этой последовательностк, за ис- к ключением их конечного числа. Таким образом, ечислуь гии ставится в соответствие символическая бесконечно удаленная точка. Комплексная плоскость, Рис. 9 дополненная бесконечно удаленной точкой, называется расширенной комплексной плоскостью. Приведем геометрическую интерпретацию расширенной комплексной плоскости. Рассмотрим сферу 8, касающуюся комплексной плоскости в точке 0 (рис. $0).

Обозначим через Р точку сферы 8, диаметрально противоположную точке О. Каждой точке г комплексной плоскости поставим в соответствие точку М„которая является точкой пересечения сферы Я с отрезном, соединяющим точки г и В (рис. 10). Ясно, что при этом последовательности (г„), сходящейся к бесконечности, соответствует последовательность точен сферы Я, сходящаяся к точке Р. Поэтому точке г= поставим в соответствие точку р. Такое соответствие между точками расширенной комплексной плоскости и точками сферы 8 является взаимно однознач- 22 ГЛ, 1. ВВЕДЕНИЕ ным.

Оно называется стереограЯической проекцией, а сфера 8 называется сферой Римана. Комплексные числа (включая г = ) можно изображать точками сферы Римана. При этом сходящиеся последовательности комплексных чисел изображаются на сфере Римана сходящимися последовательностями точек. Рве. 10 При стереографической проекции окружности переходят в окружности, угол между пересекающимися кривыми на плоскости равен углу между образами этих кривых на сфере Римана (1б). Замечание.

Понятия суммы, произведения и т. и. для комплексного числа г и символа ч не определены, т. е. записи г+, г °, + и т. и. Ие имеют смысла. Однако употребляются обозначения вида: (-, + ) — действительная ось, (-(сч, +й») — мнимая ось, (а — 6, а+3 ) — прямая Вез* а, (Я вЂ” с, р3+ ) — прямая 1птг ° р и т. и. Т е о р е м а. Расширенная комплексная плоскость компактна, т.

е. из любой последовательности комплексных чисел можно выделить сходки(уюся (может быть, к бесконечности) подпоследовательность. Доказательство. Если последовательность (г„) ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность по теореме Вейерщтрасса. Если же последовательность (г ) неограничена, то для любого целого Й~О существует номер и, такой, что ~г, ~) й. Следовательно, 1пп г„= со. г % 2.послздовьтвльности и Ряды 3. Ряды.

Определение. Ряд (9) ~!С 21 1=1 называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм г„= ~~.", 21. При этом предел г последователь1=1 ности (г„) называется суммой ряда (9): г = ~~ 21. 1-1 Ряд (9) нааывается абсолютно сходящимся, если сходится О РЯД ~ ) 21). Ь 1 Таким образом, исследование сходимости ряда сводится к исследованию сходимости последовательности его частичных сумм. В частности, из свойств сходящихся последовательностей вытекают следующие свойства: ОО 1. Для того чтобы ряд ~ 21 сходился, необходимо и доста- 1 1 точно, чтобы сходились ряды Х 21 и ~ У„г где 2, л1+1УО. 1 1=1 При этом ОО Ю ~~'.~, 21 = ~ Х1 + 1 ~, У„.

Ь 1 1=1 1=1 2. Если ряд „~~ 21 сходится, то ряд ~ агю где а — комплекс1=1 1=1 ное число, также сходится и ~~'., а21 = а ~Ч', 2„. 1=1 1=1 СО О СО 3. Если ряды ~~.", 21 и ~ Ьь сходятся, то ряд ~ (г„+ Ьь) так- 1=1 1 1 1-1 же сходится и ОО СО Х (21+ Оьь) = Х 21 + Х 11 1=1 Ь 1 1-1 4. Если ряды Х г„н ~~.", Ьь сходятся и их суммы соответЬ1 11 ственио равны г и о, то ряд 2~ ~~~ г„Ьь „+, также сходится 1=1 Го=1 и его сумма равна га.

гл. ь вввдвнив 5. Критерий Коши. Ряд ~ зь сходится тогда и только з=о тогда, когда для любого е) О существует такой номер Ж, что для всех и ) Ж и т ~ я ) Ж выполняется неравенство ~э„г„( е. 6, Для сходимости ряда ~ зь необходимо, чтобы Иш хь = О. А 1 ь-~- Ф 7. Если ряд ~з ~зь~ сходится, то ряд ~.", зз также сходится. ь ~ 4=1 й 3. Кривые и области на комплексной плоскости 1. Комнлекснозначиые функции действительного переменно- го. Пусть функция з о(1) определена на отрезке аКФ~ р и принимает комплексные значения. Эту комплекснозначную функцию можно представить в виде о(г) $ (8)+ и~ (8), где $($) = Ве о(8) н Ч(г) = 1т о(1) — действительные функции.

Мно- гие свойства действительных функций естественным образом пе- реносятся на комплекснозначные функции. Предел функции о(1) 5(~)+1ч(8) определяется формулой Иша(1) = 1ип $(Г) + 11пац (1). (1) г'~о ~- с, з Таким образом, предел 1нп а (1) существует, если существуют с пределы Ишь(1) и 1ппт)(г). ~~" о Это определение эквивалентно следующему: Ишо(8) =а, ест с ли для любого е)0 существует такое б )О, что 1а(1) — а! ~ з для всех Г таких, что ! г — г,! ( б, 8 эь г,.

Это же определение можно сформулировать с помощью пре- дела последовательности: 1ива(1) =- а, если Ишо(Г„) = а для я ФОО любой последовательности 0„) такой, что Иш 1„1„г„чьг, при л-~ ю и 1, 2, ... Пределы комплекснозначных функций обладают следующими свойствами: если существуют пределыИшо,(Г) = а, и Ишо,(Г) = с- С, = аю то существуют пределы Иш [а, (Г) ~ оз (Ф)) = а, ~-а„1ип (о„(8) о, (1)) =- а,а„ т- с, о $3. кРиВые и овльсти а если а,ФО, то и о (с) а 11ш — ' с се 2() 2 1пп о (с) и с с-е е Аналогичны определения и свойства пределов е Нетрудно проверить, что если существуют производныео,(() и Ф о, ((), то существуют производные Р Р (ос ~ ос)' = ос ~ о„ (осос)' =- о о + о о, а если ос(с) чь О, то и < Р ос1 о о — а,о ое е е Однако не все свойства дифференцируемых действительных функций переносятся на комплекснозначные функции.

В частности, для комплекснозначных функций теоремы Ролля и Лагранжа, вообще говоря, неверны. Вш о(с). с- с,+е Введем понятие непрерывности комцлексиозначной функции. Функция о(() = $(С)+ (с)(с) называется непрерывной в точке или на отрезке), если в этой точке (на отрезке) непрерывны унсщии $ (С) и т)(с). Это определение эквивалентно следующему: функция о(() называется непрерывной в точке с„если 1)ша(О = о(С ), т.

е. с се если для любого з ) 0 существует такое 6 'л. О, что ! о (1) — о(1,) ! ( ( е для всех с таких, что [С вЂ” (е! с б. Ясно, что сумма, разность и произведение непрерывных комплекснозначных функций являются непрерывными функциями, а частное двух непрерывных комплекснозначных функций является непрерывной функцией в тех точках, в которых знаменатель не равен нулю.

Характеристики

Список файлов книги