1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 8
Текст из файла (страница 8)
П 6. Показательная, тригонометрические и гиперболические функции Показательная функция. Функция е' для комплексных в = х+ ву определяется формулой е' е'+э =е"(сову+$в1пу). Следовательно, Ве е* е* сов у, 1ш е* = е* вш у. Из этого определения вытекают следующие свойства функции е*: 1. Для любых комплексных в, и г, имеет место равенство е»»=е»е». »+г г г 2.
Функция е* периодична с периодом 2яй е*+*"' = е*. 3. Функция е* непрерывна во всей комплексной плоскости. 4. Для любого комплексного г = х+ 1у имеют место равенства 1е*! =с*, агяе*=у. 5. Функция е* принимает все значения, кроме нуля, т. е. уравнение е* А разрешимо для любого комплексного числа А вьО. Если с» агяА, то все решения уравнения е* А даются формулой в=1п !А!+1(~х+2йя), й=О, М, ~2, ...
(2) В частности, если е*=1, то в=2йя1, й О, ~1, ~2, ... Замечание. Если е*=А, то комплексное число в называется логарифмом комплексного числа А чьО и обозначается 1вА, гл. г, ввкдкнив Из формулы (2) следует, что 1вА 1п ~А~+)агдА. В частности, 1в 1 2йМ, 1в( — 1) =(2й+ 1) я1, 1п 1 =-(2й + — ) яг 11 (й — целое число). Тригонометрические функции. Функции з1пх и созг для комплексных значений г определяются формулами з)их= — (е~ — е 1*) созг= —.(ем+ е ') 1 (3) В частности, а) зш(г+ 2я) = з1п г, соз(г+ 2н) сова, т. е.
функции зшх и сов г являются периодическими с периодом 2я; б) з1п( — г) = — зш х, соз(-х) соз г, т. е. з1пг — нечетная функция, а сов г — четная функция. .4. Для любого г г+ )у имеют место неравенства — ~ет — е т~ ~з)пг~ —,(ее+ е-з), 1 2 ~ст — с т~~(~созх~( 2 (ет+ с т). 1 1 (4) (5) Докажем неравенства (4). Из формулы (3) с помощью неравенства треугольника (см.
(15), 3 1) получаем ~)ео~ ~с-1т~~(~з1пх~~ ~(~е1т~+ ~е-о~) 1 е) Эта формула будет доказана в $15 (пример 2) другим способом. Из этого определения вытекают следующие свойства функций зшг и созг: 4. Функции з1вх и сох г непрерывны во всей комплексной плоскости, 2. Функции з1пг и сов г принимают все значения, т. е. уравнения з)их А и сох г А имеют решения для любого комплексного числа А. 3. Все формулы элементарной тригонометрии, справедливые при всех действительных значениях г, остаются справедливыми' и при всех комплексных значениях г. Например, з1п' х+ соз'г 1 е), з)п 2г = 2 з(п х сов г, з)в (г, + г,) = зш г, соз г, + соз г, з)п г„ сов (х, + г,) = соэ г, соз г, — з)п х, зш х,.
В Е НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Отсюда, учитывая, что !е'*! =1е зе'*1= е-'1е"! =е-", !е *'*! =е", получаем (4). Аналогично доказываются неравенства (5). Из (4) и (5) следует, что при у- ~ имеют место асимптотические формулы (разномерно относительно х, где г=х+ гу): Вгпг~ 2 е ' ~сове~ 2 е ьа 1 1з! Следовательно, функции в1пг и сов г не являются ограниченными на всей комплексной плоскости (это вытекает также из свойства 2). 5. Имеют место формулы в1п (х + 1у) = в1п х сЬ у + 1 сов х зЬ у, сов (х+ 1у) = сов х сЬ у — 1 вш х вЬ у. Из этих формул (или из (4) и (5)) вытекает, в частности, что уравнения в(па=О и сова=О имеют решения только при у О, т, е. только на действительной оси. Следовательно, все решения уравнения в1пг= О даются формулой г = йя, й = О, ~1, ~2, „а все решения уравнения сова=О находятся по формулег= — +йя, Ь=О, ~1, сг2,... Функции тя г и стяг определяются формулами В!ВЗ сов з 1яг = —, с1яг = —.
сов з' Мв з' Из свойств 1 и 5 следует, что функция 1яг непрерывна при гчь — + йл,а функция стйг непрерывна при гт= йя, где Й=О, ~1, ~2, ... Гиперболические функции. Функции вЬг и сЬг определяются формулами вЬ г = — (е* — е-з), 1 2 Из (3) и (6) видно, что вЬг -1в(п(1г), сЬг сов(1г). Та- ким образом, свойства функций вЬг и сЬг непосредственно вы- текают из свойств функций в(па и сов г. Отметим, в частности, что функции вЬг и сЬг непрерывны во всей комплексной пло- скости; все решения уравнения вЬг О находятся но формуле г=йяз, й О, ~1, ~2, ..., а все решения уравнения сЬг=О находятся по формуле г= ( — + йя)1, )с = О, ~ 1з ~2,, Функции 1Ь г и сьЬ г определяются формулами 1Ьг = —, сгЬ = —, гвЬ сЬз сЬ з' зЬ з" гл, ь вввдвнии Функция йЬг непрерывна пригчь( — + Йи) гй а функция сйЬг непрерывна при г ьд кМ, где к = О, Ы, ~2, ...
Отметим, что формулы для тригонометрических и гиперболических функций, справедливые при действительных х, остаются в силе и для комплексных г. в 5. Интегрирование функций комплексного переменного (2) где и,=и($й, цй), ой о($й, Чй). Переходя в этом равенстве к пределу при 1- О, получаем ~~(г)да= ') идх — оеьу+ й) одх+ ий)у.
(3) т т Следовательно, существование интеграла ) )(г)0г равносильно существованию следующих двух криволинейных интегралов 1. Определение интеграла. Пусть на кривой ( определена комплекснозначная функция ~(г). Рассмотрим разбиение кривой Т на дуги („"(„..., "( точками г„г„.. „г„взятыми в порядке следования по кривой (, где г, — начало, а г„— конец кривой ( (рис. 24). Обозначим через 1й (йь 1, 2, ..., и) длину дуги уй (г„,— начало, а г„— конец дуги (й) и хо пусть й = пйах (д.
На каж- й~длйй дой дуге (й выберем точку ьй ~ "(й и составим интегральную сумму гв ~,1Кд) (гд — гд й). (1) Риь, 24 д=й Если при 1- О существует конечный предел интегральных сумм (1), не зависящий от выбора точек г„, ь„то этот предел называется интегралом от 4ункй4ии )(г) по кривой (: ) ~(г) еьг =11ш ~ ~(ьд)(гд — гд,).
7 ь~ьд й Пусть г х+1У, Дг)=и(х, у)+1о(х, у). Введем обозначения гй хй+ 1уь хй хй ййхй~ Уй Уй 1 й~уй~ ьй ьй+йцй' Тогда ь ь ь ~~.", Щд)(гд — гд,) = „Я~ (идЛхд — одйуд) + 1 ~ (одйхд+ идййуд), д 1 д 1 д-й Я б, ИНТЕГРИРОВАНИИ ФУНКЦИЙ от действительных функций: ') и ссх — оду и ) обх+ и ссу. Если кривая у задана уравнением г о(х) $(г)+ сц(х), а< х < р, то в формуле (3) Нх = а'(с) сй, ссу = ц'(с) сЬ и, следовательно, в з ) ~ (г) дх = ) (иК' — оц') ссс + с 1 (о$' + иц') сй = в з = ') (и + рв) ($' + й~') сМ = ~ 7 (сг (х)) о' (с) ссс. (4) Пусть Дх) 1, а и Ь вЂ” соответственно начало и Тогда интегральная сумма (1) равна Пример 1.
конец кривой у. ~~ (хь — гь,) = ь-с г — г +г — хс+ ... +х„— г =г — г =Ь вЂ” а. откуда ) ссх = Ь вЂ” а. Таким образом, ) сЬ зависит только от начальной и конечной точек кривой ( и не зависит от пути интеь ерирования. В этом случае вместо ) ссх можно писать ) сЬ. а где а и Ь вЂ” любые комплексные числа (линейность интеграла). ~ ~ (х) Ыг = — ~ ( (г) с)г, (6) 2. т. е. при изменении ориентации кривой интеграл меняет знак. ) ) (г) сЬ = ) ~ (г) сЬ + ~ с (г) сЬ. В частности, если а= Ь, то ) Их = О, т. е.
интеграл ) сЬ по любой замкнутой кривой равен нулю. Д 2. Свойства интегралов. Из формулы (3) следует, что непрерывная на кривой функция интегрируема на этой кривой. Из свойств криволинейных интегралов вытекает также, что имеют место следуютцне формулы: 1. ) [а1(г) + Ьу(г))ссх= а ~ с(х)сЬ+ Ь ) у(г)сЬ, (5) Гл. ь Введение Пример 2. Пусть 1(г)=г, у — кривая с началом в точке а и концом в точке Ь. Так как функция 1(г)=г непрерывна на кривой у, то интеграл ) газ существует и предел (2) не зависит т от выбора точек гы Ьо. Полагая Ьо= г„,.
Тогда ) гог = Нш Я, 1- о где Я = ~~~~~ 2„1(гь — гь,). Полатая ~ь = гю получаем ~ гоЬ = 2=1 т = 11тЗ, где о' = ~о гь(гь — гь 1). Следовательно, 1~о 2=1 гдг = —,)1ш(Я+ Ю), 1 о я 8+3=;>', (гь — гь 1) = 2 2 = г', — гор+ г', — 21+ ... + г'„— г'„', = г„' — г,"= Ь вЂ” а, откуда находим г ог = — (Ь' — ао). 2 т Таким образом, интетрал ) г1(г не зависит от пути интегрирования. В частности, интеграл ) гдг по любой замкнутой кривой равен нулю. П Пример 3. Вычислим интеграл 1„) (г — а) 12г, где и— ср целое число, С, — окружность !г — а! = р, р ) О, ориентированная против часовой стрелки. Уравнение окружности С запишем в виде г а+ре", О ~ < г < 2Л. Тогда о(г 1рео Ж и по формуле (4) находим 1„= 1р"+ ) и"1"+1Чо, о откуда при и- — 1 получаем 1, 2яо, а при пто — 1 по формуле Ньютона — Лейбница (з 3) находим 2+1 и 2О 1„= —" е1«~+О~ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
