1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Пример 5. Е1айдем аргумент комплексного числа г= =-1 — й Так как точка г= — 1 — 1 лежит в третьей четверти и)лф=1,тоагп( — 1 — «)=-~-+2йл, я=О, ~1, ~2,... П бн Если Ь~ = 1, ф = агах, то по формуле (18) имеем г = сов ф+ +бз1вф. Комплексное число созф+ «зшф обозначается символом е", т. е. функция е" для любого действительного числа ф определяется формулой Эйлера е"' = соз «р+ «з«н ф. (22) с) Обозначение ага является сокращением французского слова а«Лишен«(аргунент). Из рнс. 3 видно, что справедливо и обратное утверждение: число ф является аргументом комплексного числа г = х + $у только тогда, когда выполняются оба равенства (19). Следовательно, для нахождения аргумента комплексного числа г=х+бу нужно решить систему урайяений (19).

Система (19) имеет бесконечно много решений, и все эти решения задаются формулой «р=«р,+2««я, Й=О, ~1, ~2, ..., где ф, — одно из решений системы (19). Таким образом, аргумент комплексного числа определяется неоднозначно: если ф,— одно из значений аргумента комплексного числа г, то все значения аргумента этого числа находятся по формуле агиг=ф,+2яя, й О, ~1, *2, ... гл. и ввкдкник В частности, еме = 1, е"' = — 1, е"'и = 1, е ""' -1 (рис. 4).

Отметим, что ! е'Ч 1 для любого действительного числа ф, Из (22) заменой ф на — ф получается равенство е-" соз ф — 1зш ф. (23) Сложением и вычитанием равенств (22) и (23) получаются формулы Эйлера созф = 2 (е1т + е 1"), 1 (24) яп ф = —. (еьт — е-ге), 1 21 — = е(~ е ю (26) ( щ)и ые и=О, ~1, ~2, ° (27) Рис. 4 Докажем равенство (25). Имеем ею~ем~ = (соз ф, + 1яп ф,) (соз ф, + 1яп ф,) = = (соз ф соз ф, — зш ф зш ф ) + 1(з(п ф, соз ф, + сов фг зш ф,) = = сов (ф + ф,) + 1з1п (ф, + ф,) = ей~1~~~), Аналогично проверяется равенство (26).

Равенство (27) получается из (25) и (26) по индукции. Из (27) и (22) вытекает формула МуавРа (созф+1з1пф)" созгир+1зшиф, и=О, ~1,~2,... (28) Пример 6. Вычислим суммы Б, = соз х + сов (х + а) + сов(х+ 2а)+ ... + сов(х+ иа), 8, — зш х+ з(п (х + а)+ зш(х+ 2а)+... + зш(х+ иа) . Положим Л = Б~+ 13м тогда по формуле Эйлера (22) змеем Ю-(созх+1з1пх)+(соз(х+а)+1яп(х+а))+... ...+(сов(х+ иа)+1яп(х+ иа) ) = = е'*+ е""+" +...

+ еп*+""> с помощью которых тригонометрические функции выражаются через показательную функцию. Функция еи обладает обычными свойствами показательной функции, как если бы число 1 было действительным. Отметим осе новные из них: ея1е1е* = еде~+а ), (25) э 1. комплнксныи числа Суммируя эту геометрическую прогрессию со знаменателем д еех (е1111+1)а 1) ее*, получаем8=,„. Так как 81=КеЮ, Бе ееа 1шЮ, то иэ атой формулы можно сразу найти обе суммы Я1 и Яе. Поделим числитель и знаменатель на е*"'*, тогда знаменатель будет равен 21' э1п (а/2), а числитель будет равен соз(х+ (и+ ! ) а) - соз(х--"2) + + 1 ~в(п(х+~ и+ — ) а) — з1п(х — — )1 = = 2з)п ', [ — з(п(х+ — ) + асов(х+ — )].

Отсюда находим (ь+ 1) а Я, = „соз(х+ — ), егз 2 * (в+ 1) а 31П --('-) ~ е!и— 2 Из формул (18) и (22) следует, что любое комплексное число з Ф 0 можно представить в виде з ге", (29) где г = Ь), ф агяз. Запись комплексного числа в виде (29) называется показательной формой комплексного числа. С помощью равенств (25) и (26) легко получаются формулы умножения и деления комплексных чисел, ааписанных в показательной форме: зег, = т1е т т,е эе = тет,е«~1+те), (36) 1Ф1 (31) Из формулы (30) следует, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел: )зеве) Ь1) )ге), а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения: если ф, агцз„ф, агдг„то ф, + ф, = агя(зете).

(32) Гл. х Введенив 1Е Аналогично из формулы (31) вытекает, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел: а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного: х если ф, = агуг„ф, = агапэ„то ф, — ф, = агя —. (33) зг' Пример 7. (У3) з(1+ Ц~ (2з-м~з)а(У2 ему~)а = 2'з-"'2з'"" = 2' ( — 1) 2~ = — 16ю. ( ) Отметим, что из геометрической интерпретации (рис. 3) вытекает правило равенства комплексных чисел, записанных в показательной форме: если г, = г,ем1 и гз = гзе ч~, то равенство г,-г, имеет место тогда н только тогда, когда г, г, н ф, = ф, + 2йя, где й — некоторое целое число. Таким образом, г, г, тогда и только тогда, когда !г,! =1г,! и агах,=агуг,+2ая, (34) где Й вЂ” целое число. С помощью комплексных чисел удобно записывать многие формулы аналитической геометрии.

Пусть А, = =(хо у1), А,=(х„у,), О=(0, 0)— Ряо. 5 точки на плоскости (х, у), а, ОА„ а, = ОА, — векторы. Этим векторам отвечают комплексные числа г,=х,+1у„г,=х,+1уь Имеем г,г,— х,у, +х,у,+~(х,у,— хгу,). Действительная часть этого выражения равна скалярному произведению векторов а„а,: (а„а,) = Ке(г,г,), а его мнимая часть равна 2Я, где 5 — ориентированная площадь 8 треугольника с вершинами в точках О, А„А,: Я= — 1ш(г,г,) =-~ 2 1ы, э, Пусть А (х, у) — точка плоскости (х, у). Найдем ее координаты (х', у') в новой системе координат, полученной из ста- з ь комплкксныв числа рой поворотом па угол а (рис.

5). Точке А отвечает комплексное число х + оу = гс". Тогда х'+ оу' гс'"-"' ге'о а-'" (х+ оу)с ", т. е. х'+ ~у' = (х + 1у) (соз и — ~ зш и) . Отсюда, приравнивая действительные и мнимые части, находим х'=х сова+уз1ва, у' =-хзша+ усов а. 5. Извлечение корня. Рассмотрим уравнение г" = а, (35) Пусть где а Ф О вЂ” комплексаое число, и — натуральное число. а = ре*', г гс".

Тогда гас~ о — рсзо Из этого уравнения с помощью свойства (34) находим пф = О + 27сл, откуда г = у' р, фь = (8 + 27сл)/и и у р (Воышсо г" = р, (36) Покажем, что среди комплексных чисел (36) ровно и различных. Заметим, что числа г,, г„..., г„, различны, так как их аргументы 0 фо = Е+2л и Е+2л(о — О фп-1 П различны и отличаются друг от друга меньше, чем яа 2л (см. (34) ). Далее г„= г„так как (г„(=(го! = ~р и ф„=фо+ 2л. Аналогично г„+, = г„г, = г„, Рвс.

С и т. д. Таким образом, уравнение (35) при аФ О имеет ровно и различных корней: г = у'р с~о+'о-"п~", )с = О, 1,..., и — 1. (37) На комплексной плоскости ати точки расположены в вершинах правильного п-угольннка, вписанного в окружность радиуса ~Гр с центром в точке О (рис.

6). Замечание. Комплексное число г называется корнем пей о степени из числа а (обозначается Ьг а), если г" =а. Выше пока. 2 ю. в. согозоо о аю Гл. ь ввкдение вано, что при аФО имеется ровно и различных корней и-й степени из числа а. 6. Дальнейшие свойства комплексно сопряженных чисел. Если х=х+(у, то по определению (7) й х — (р. Как уже отмечалось (см. (9)), модули комплексно сопряженных чисел равны; 1г! = )х). Установим связь между их аргументами.

Пусть с=ге". Тогда из (22) и (23) (или из рис. 7) видно, что х гс *'. Следовательно, если <р = -агах, то -<р агях. Отметим, что операция сопряжения первстановочна с арифметическими операциями над комплексными числами: г,~х, =г,~х„ г,х, =г,х„ х,~О, ь2, ..., хчьО при в~О. Рве.

7 Эти равенства проверяются непосредственно. Пример 8. Пусть Р(г)=ах" +а,г"-'+...+а„— многочлен с действительными коэффициентами. Тогда Р(г) = а, (г) '+ о, (г) " '+... + а„= Р(х). Если Р(г,)=О, то Р(г,)=Р(х,) О, т. е. если число г, является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то и комплексно сопряженное число х, также является корнем этого многочлвна. П Иш !г„— а) = О. и ов (2) $2.Последовательности и ряды комплексных чисел 1.

Последовательности. Определение предела последовательности (г,) комплексных чисел х„ х„ ..., х„, ... формально такое же, как и определение предела последовательности действительных чисел. Определение. Комплексное число а называется пределом последовательности (х„), если для любого е ) О существует такой номер )т'=Ю(е), что для всех п)Ж выполняется неравенство )х„— а! (в.

(1) При этом пишут Пшх„= а. Ньса Другими словами, число а называется пределом последовательности (г„), если 5 2. последовлтвльноств и Ряды Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Геометрический смысл неравенства (1) заключается в том, что точка с„лежит в круге радиуса е с центром в точке а (рис. 8). Этот круг, т. е.

множество точек с, удовлетворяющих неравенству Ь вЂ” а! ( е, где е)0, назы- вается е-окрестностью точки а. Следовательно, точка а является пределом последовательности (з„), если в любой окрестности точки а содержатся все члены этой последовательности, за исключением их конечного числа. Таким образом, определение предела последовательности (с.) является обычным определением предела последовательности точек плоскости, сформули- рованным в терминах комплексных Рис. з чисел. Каждой последовательности комплексных чисел (с„) соответствуют две последовательности действительных чисел (х„1 и (у„1, где с„ = х„ + су„, и = 1, 2,...

Имеет место Теорема 1. Существование предела 11пзз„= а, гдв а и-нв = а+ср равносильно существованию двух пределов: 11ш х„= сс, 11ш у„= р. в ь (см. (15), 5 1). Из теоремы 1 и свойств сходящихся последовательностей действительных чисел вытекают следующие свойства последовательностей комплексных чисел: если 1пп з„= а и 11ш ~ = Ь, то 11ш(з„~~„) = ас-. Ь, 11ш(з„~„) = аЬ, (3) (4) 11ш — "=,— (~ ~0 р =1,2,...; Ьчь0). (б) „„„с„=.ь Доказательство. Пусть существует предел 1ппс„=а,т. е. ь выполняется условие (2). Тогда из неравенств !х„— сс! < ܄— а! п 1у„— ф < Ь, — а! следует существование пределов 11ш х„= а и 1СШ уь — Р.

Обратное утверждение вытекает из оценки ܄— а!=! (х„— и)+1(у„— р)! ~!х„— а!+!у — ф Гл. ь Вввдкннв 20 если 1пп г„ =- а, то Пш ! г„ ) = ~ а ~. 2. Достаточным условием сходимости последовательности комплексных чисел является следующее условие. Пусть г„= = т„вши, где ти = ~г„~, фи = аглг„. Если 1ппти = Р и 1пп ф„= п э и со = а, то Пш.

х„= ре'". и и Это свойство вытекает из формулы г„= т„соа ф„-т 1т„з1а ф„ и теоремы 1. 2. Расширенная комплексная плоскостт. Понятие «бесконечность» вводится с помощью следующего определения. О п р е д е л е н и е. Последовательность комплексных чисел Ь„1 называется сходящейся к бесконечности, (6) 1(ш г„= оо, и си если (7) Пш(х„( = оо.

Характеристики

Список файлов книги