1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Отметим также, что комплекснозначная функция о(С), непрерывная на отрезке [а, р), ограничена на этом отрезке: [о(с) ! <М для некоторого М>О и всех с~ [се, р[. Проивводнал функции о(с) = Ь (с)+ (с) (с) определяется формул оус о'(с) - й'(()+ (ц'((). (2) Следовательно, производная о'(с) существует, если существуют производные $'(() и с)'(1).
Это определение эквивалентно определению производной с помощью формулы о(с+ йс) — о(с) (3) ас- е Ьс ГЛ. Ь ЭВЕДЕНИЕ Пример 1. Функция а(~)=еэ дифференцируема на отрезке [О, 2п), а'(г) 3е*', [а'(г) [ =1 при всех ты[0, 2п). Таким образом, а'(г) не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [О, 2н), хотя а(0) = а(2л) = 1. Д Интеграл от функции а(г)=$(г)+й~(Е) определяется формулой э Р Р ) а (г) ог = ~ $ (г) Ж + г ) т) (1) й1. (4) Это определение эквивалентно определению интеграла с помощью предела интегральных сумм: в 7Ь К а (~) иг = Иш ~ а (ть) йть, ь-ьь г (5) ! э ~ в ~ а(Ю) гЫ~(~ [а(г) [М. е а (6) где а = т, < 1, «... ~„= р, й~„= т„— т„о тг, < т„< г„, гь *~ = шах ЛЬ.
па Очевидно, комплекснозначная функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на этом отрезке. Имеют место формулы: Р <ца- ~ за. е а Р Р 1. (т,щ~,ггг~.— [,ею*[,(ьа. а е а э е 6. ) ар)йт= — ['а(т)а. а Р ь 4. ) а(г) гЮ = ) а(г) Ж + ) а(г) йг. а а с Имеет место угормула Ньютона — Лейбница 5. а(8)гй = Ф(р) — Ф(а), где функция Ф(г) — первообразная функции а(г), т. е. Ф'(Ю)=а(С), а ~э< 6. 6. Если комплексноэначная функция а(г) иитегрируема на отрезке [а, И, то функция [а(г) [ также интегрируема на этом отрезке и имеет место неравенство я 3.
кРиВые и Овллсти 27 Д оказ а тель ство. Интегрируемость функции )о(»)! следует из свойств интегрируемых действительных функций. Докажем неравенство (6). Используя неравенство (16) 3 1, имеем Отсюда, переходя к пределу при Ь. О, где Л.= тахйгю полу(ю чаем формулу (6).
Следствие. Из формулы (6) вытекает неравенство ! ~о(»)с(»~((6 — а) шах )о(»)), ())а. а а«ыс Заметим, что для комплексиозначных функций теорема о среднем неверна. »л Пример 2. ) еаза =О, а функция ео не обращается в » нуль ни в одной точке отрезка (О, 2н).
'( ) 3 ам е ч а н ив. Комплекснозначную функцию о(») = $(»)+ +Щ(«) можно рассматривать как вектор-функцию (э(«), Ч(»)). Рассмотренные выше определения предела, непрерывности и производной для функции о(«) являются обычными определениями соответствующих понятий для вектор-функции, сформулированными в терминах комплексных чисел. Комплекснозначная функция в =о(е), и < «< 6, отображает отрезок (а, Я на некоторое множество точек комплексной плоскости, которое можно рассматривать как «график» этой функции. В частности, если функция г = о(«) непрерывна, то ее «графиком» является некоторая кривая на комплексной плоскости.
2. Кривые. Пусть на конечном .отрезке а ~ Ф- 6 задана непрерывная комплекснозиачная функция г о(т). Тогда говорят, что задана непрерывная кривая *) г = о(«), х < г < 6, (8) а уравнение (8) называется параметрическим уравнением этой кривой. При этом, если г, о(г,) и г,=о(«,), где а<с,<г»<6, то говорят, что точка г, кривой (8) следует за точкой г, (или: точка г, предшествует точке г,). Таким образом, кривая (8) нвляетсн упорядоченным множеством точек ком екеной плоскости. Другими словами, кривая (8) всегда считается ориентированной в направлении возрастания параметра й Направление движения точки г вдоль кривой (8), соответствующее возраста- *) В дальнейшем для краткости слово «пспрерызкая» опускается.
Рл. ь Введвнив нкю параметра г, называется положительна м. Точка а = о(а) называется началом (или начальной точкой) кривой (8), а точка Ь вЂ” о(р) — ее концом (или конечной точкой). Пусть кривая 7 задана уравнением (8). Тогда на комплексной плоскости точки г = о(г), а < г < р, образуют некоторое множество М("~). Это множество отличается от самой кривой, вопервых, тем, что кривая является упорядочен-7 Пример 3. Кривая г сове, я(г~2л, ра 11 является отрезном [-1, 1], ориентированным в направлении от точки г — 1 к точке г = 1 7 (рнс.
11). [ ! Пример 4. Кривая г е", 0 < г ( и, является полуокружностью [г! 1, 1пт г ) О, - у ориентированной против часовой стрелки р„с гт. (рнс. 12).Ц Второе отличие кривой т от множества вг(7) состоит в том, что различным точкам кривой может отвечать одна и та же точка плоскости: если о(Ф,) о(г,) при г, чь 1„ то точки г, = о(г,) н г, = о(1,) являются различными на кривой 7, но как точки плоскости они совпадают. Такие точки называются точками самопвреееченил кривой (8), Исключением является совпадение начала и конца кривой: если о(а) о(р), то зта точка не считается самопересеченнем кривой (8). Кривая, не имеющая точек самопересечення, называется простой кривой.
Кривая, у которой начало и конец совпадают, называется замкнутой кривой. Кривые в примерах 3 и 4 являются простыми незамкнутыми (рис. 11 и 12). Пример 5. Кривая в=е", 0< в<2я, является окружностью [г! -1, ориентированной кротнв часовой стрелки, с началом и концом в точке в= 1. Это пример простой замкнутой кривой (рис. 13). Д П р н м е р 6.
Кривая г = а (г), — — ' ( Ф ( (2я, где е", — — ($(я, о (~) = зс — — 4, л~ !(2л, является незамкнутой с сам опере сечением в точке г 1 (рис. 14). При этом точки г,=о(О) и г,=о(5л/3) являются различнымн на данной кривой, хотя как точки плоскости они совпадают: г, =г,=1. Ц Пример 7. Кривая г сове, -и~в<и, является отрезком [-1, 1), проходимым дважды: сначала от точки г — 1 к г 3. кгивын и овллсти точке «=1 и затем от точки «= 1 к точке «= — 1 (рис.
15). Это пример замкнутой кривой, у которой каждая точка интервала ( — 1, 1) является точкой самопересечения. () Замечание. Две кривые «=о,(«), а,<Ф~~, и «=о,(т), а, <т< ~, считаются совпадающими, если существует действительная функция «=г(т), непрерывная и монотонно возрастающая па отрезке а,< т< рм такая, что г(а,)=а„г((),)=~, и о,(г(т)) о,(т) при а,~«<~я Совпадающим кривым, очевидно, отвечает одно и то же множество точек плоскости.
Ясно, что уравнение любой кривой «о,(«), а<«<р, можно записать в виде «=о,(т), 0<«<1, например, с помощью Рвс. 13 Рвс. 14 Рис 1$ замены «=а+(Р— а)т; о,(«) о,(а+(р — а)т) о,(т). Таким образом, не теряя общности, уравнение кривой можно записывать с помощью комплекснозначной функции, определенной яа отрезке (О, 1). Пример 8.
Уравнение кривой, рассмотренной в примере 3, можно записать в виде «=«, — 1 < «~1, или в виде «=2« — 1, 0<«< 1. () Рассмотрим кривую у, заданную уравнением «о(«), а~ < «< Р, Обозначим через у ' кривую, полученную из кривой ( изменением ориентации на противоположную. Тогда уравнение кривой т ' можно записать в виде « =о( — г), -Р < «< -а. Часть кривой (, проходимая от точки «, = о(г,) до точки «, = о(1,), где «, и «, принадлежат отрезку [а, и, называется дугой кривой "(. Пусть а «, <1~ < ~~ <...
< «Р и (г — дуга кривой у, проходимая от точки «,,=о(1,,) до точки «„о(с,) (Й 1, 2, ... и). Тогда будем говорить, что кривая Т разбита на дуги '(„ "(„ ..., Т„ или кРиваЯ ( состоит иг дрг то т„ ..., "(„. Этот факт будем обозначать так: т - "(,у1...у . Ломаная с последовательными вершинами в точках «, = о(сг), й = О, 1, ..., и, называется ломаной, вписанной в кривую ( (рис. 16).
Рассмотрим совокупность всех ломаных, вписанных в кривую "(. Если множество длин этих ломаных ограничено, то кривая у называется спрямляемой, а точная верхняя грань этого множества называется длиной кривой (. ГЛ. Ь ВВЕДЕНИЕ Кривая называется гладкой, если ее уравнение можно записать в виде в=а(1), а «1«]1, где функция а(1) имеет на отрезке (и, Я непрерывную и отличную от нуля производную а'(1)чь О, причем, если кривая е Я П замкнута, то должно выполняться равенство а' (а) = а' Ц) . гг ге Кривая называется кусочно гладкой, если ее можяо разбить уг глиа конечное число гладких кривых. Простейшим примером кусочно гладкой кривой является ломаная. Риг.
16 Уравнение кусочно гладкой кривой можно записать в виде в =а(1), а «1«р, где функция а(1) непрерывна и кусочно непрерывно дифференцируема иа отрезке (и, ()] и на этом отрезке а'(1)чь О. Всюду в дальнейшем уравнение кусочно гладкой кривой будем записывать только с помощью таких функций. Геометрический смысл производной комплекснозначной функции, состоит в следующем: если кривая 7 задана уравнением г а(1), а«1«р, и в некоторой точке гааги(а, ])] существует а'(1)пьО, то кривая 7 в точке г, а(1ь) имеет касательный вектор а'(1,) (см. замечание на с. 27). Следовательно, кусочно гладкая кривая во всех точках имеет касательную, кроме, быть может, конечного числа точек, в которых существует предельное положение касательной слева и справа.
Эти исключительные точки называются угловыми тачками кривой. Из курса математического анализа известно, что кусочно гладкая кривая 7: в=а(1), а«1«р, спрямляема и ее длина 1(7) выражается формулой Е(7) = ~ ]а'(1)]д1, а так как !а'(1)!аг=а1 — элемент длины кривой 7. Всюду в дальнейшем будем рассматривать только кусочно гладкие кривые. Введем понятие неограниченной кривой.
Пусть на луче 1> а задана непрерывная комплекснозиачная функция г = а(1) и а(+ ь)=, т. е. 11ш а(1) =со. Тогда говорят, что задана не- Ф.++Ф ограниченная кривая (9) г *= а (1), а «1 «ь, а уравнение (9) называется параметрическим уравнением этой кривой. Неограниченная кривая (9) называется кусочно глад- $ З. КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ кой, если для каждого конечного р > с» кривая г п(1), а < Ф < р является кусочно гладкой. Аналогично определяются неограниченные кривые в случае, когда параметр Ф пробегает полуось — ( ( ~ с» или всю числовую ось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
