1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Тогда максимум и минимум этой функции достигаются только на границе области Р. Доказательство. Заметим, что достаточно доказать теорему для случая максимума, так как точка минимума гармонической функции и(х, у) является точкой максимума функции — и(х, у), которая также гармоническая.
Предположим противное: пусть максимум гармонической функции и(х, у) достигается во внутренней точке г,=х,+ву, области Р. Рассмотрим любую односвязную область Р„лежащую в Р и содержащую внутри себя точку г,. В области Р, существует регулярная функция /(г) такая, что Ве/(г)=и(х, у) (г 7). Тогда функция у(г) = епо регулярна в области .Р, и модуль етой функции 1у(г)1= е"'* "' достигает своего максимума в точке г,. Следовательно, д(г) = сопеь (теорема 4), откуда /(г) сопег и и(х, у)=сопе1 при гонР,. В силу произвольности области Р, имеем и(х, г) — = сопз1 при г~иР, что противоречит условию теоремы.
и 33. Общие свойства конформных отображений 1. Определение конформиста отображения. В $8 дано определение конформного отображения областей, не содержащих бесконечно удаленную точку. Выло отмечено, что такие отображения осуществляются однолистными регулярными функциями. Для областей расширенной комплексной плоскости введем следующее 18 Ю В Сидогов и ДР. Гл. чг. конФогмнъхв ОтОБРАжения Определение 1.
Отображение ю=~(х) области Р расширенной комплексной плоскости х на область С расширенной комплексной плоскости и называется конформным, если 1) это отображение взаимно однозначно, т. е. функция Дх) однолистна в области Р; 2) функция Дх) регулярна в области .Р, за исключением, быть может, одной точки, в которой эта функция имеет полюс первого порядка. Рассмотрим локальные свойства конформного отображения ю = г(х) в окрестности конечной точки х„в которой функция г'(х) регулярна. Так как критерием однолнстностн функции Ях)' в точке х, является условие 1'(х,)~ О (1 32), то из геометрического смысла производной ($8) вытекают следующие два свойства конформного отображения: 1.
Постоянство растяжений. Линейное растяжение в точке х, одинаково для всех кривых, проходящих через эту точку, и равно Ц'(х,) ~. 2. Сохранение углов. Все кривые в точке х, поворачиваются на одинаковый угол, равный агу)'(хо). Отметим следующие свойства конформных отображений: 3. Отображение, обратное к конформному отобрахсению, также является конформным. 4. Суперпозиция двух конформных отображений также является конформным отображением. Эти свойства вытекают из определения 1 и свойств однолнст~ых и обратных функций (Ц 8, 13, 32).
2. Конформноеть в бесконечности. Введем понятие угла между кривыми в бесконечно удаленной точке. Определение 2. Углом между кривыми ть чп проходявзими через точку х =, называется угол между образами этих кривых при отображении ь 1/х в точке ь О. Из этого определения и свойства 2 вытекает, что отображение 1/х сохраняет углы между кривыми в каждой точке расширенной комплексной плоскости.
Пример 1. Пусть два луча ть т, выходят из одной и той же конечной точки х.. Тогда угол между лучами (ь "(, в точке х= равен углу между этими лучани в точке х„взятому с противоположным знаком. Доказательство. Ограничимся, для простоты, случаем, когда х,=О. Пусть (; — луч: агйх=у, (1=1, 2). Тогда угол между Ъ, (, (в направлении от (, к (,) в точке х-0 равен и ср,— ср, (рис.
80). Образом луча у; прн отображении ~ 1/х является луч Ъ: агй~ = — <р~ (у = 1, 2) (3 8) и поэтому угол между (и т, в точке ь = 0 равен ( — ср,) — ( — <р~) -а (рис. 80). Следовательно, по определению 2 угол между лучами (ь "(, в точке х= равен -а. Ц 3 33. Овщие своистВА конФОРмных ОтОБРАжений 278 Из определения 2 и свойства 2 вытекает следующее свойство конформного отображения: 5. При конформном отображении области Р расширенной комплексной плоскости сохраняются углы между кривыми в каж— дой точке этой области. Рис.
80 Доказательство. В силу определения 1 и свойства 2 нужно доказать справедливость следующих утверждений: 1. Если функция с с /(г)=с,+ —, +=,'+ ..., ~г~)Л, регулярна в точке г= и с,чьО, то отображение ш=/(г) сохраняет углы между кривыми в точке г = 2. Если функция /(г) имеет полюс первого порядка в точке г, (конечной или бесконечной), то отображение ш /(г) сохраняет углы между кривыми в точке г,. Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично.
Представим функцию ш = /(г) в виде суперпозиции двух функц й: 1-1/г и ш-у(~)=/(1/~)-с,+с-,~+с-.~*+... По определению 2 отображение ь 1/г сохраняет углы между кривыми в точке г = . Отображение ш = у(ь) сохраняет углы между кривыми в точке ь=О, так как у'(0) с,чьО (свойство 2). Следовательно, отображение ш /(г) сохраняет углы между кривыми в точке г к. Замечание 1. Можно показать, что отображение ь 1/г ярляется поворотом сферы Римана на 180' вокруг диаметра с концами в точках г=ж1 (их образами при стереографической проекции).
Следовательно, зто отображение сохраняет углы между кривыми в каждой точке сферы Римана. Позтому определение 2 является естественным. Можно показать, что любое конформиое отображение сохраняет углы между кривыми на сфере Римана. 18~ гл. Ре конФОРмные ОтОБРАжения 3. Соответствие границ при конформном отображении. Пусть Р и С вЂ” ограниченные односвязные области, границами которых являются простые замкнутые кусочно гладкие кривые Г и Г соответственно. Тогда имеет место Теорема 1 (принцип соответствия границ)'. Если функция ш=~(г) конформно отображает область Р на область С, то 1) функцию Дг) можно непрерывно продолжить на замыкание области Р, т.
е. можно доопределить Дг) на Г так, что получится непрерывная в Р функция; 2) эта функция й = ~(г) отображает взаимно однозначно кривую Г на кривую Г с сохранением ориентации. Доказательство этой теоремы содержится в [5), Докажем теорему, обратную к теореме 1. Пусть Р и С— ограниченные односвязные области с простыми кусочно гладкими граничными кривыми Г и Г соответственно.
Тогда имеет место Теорема 2 (критерий одноли от ности функции в области). Пусть функция й =Де), регулярная в области Р и непрерывная вплоть до ее границы Г, отображает взаимно однозначно кривую Г на кривую Г с сохранением ориентации. Говда зта функция однолистна в области Р и отображает конформно область Р на область С. Доказательство. Нужно доказать, что 1) для каждой точки ш,ш С существует только одна точка г,ш Р такая, что ~(г,)= и„т. е. функция ~(г)- ш, имеет ровно один нуль в области Р; 2) для каждой точки ш„не принадлежащей области С, функция г (г) не принимает значение ш, при г ш Р.
Докажем первое утверждение. По условию теоремы функция ~(г) — ш, не обращается в нуль на Г, так как при г 1н Г точка ш- ~(г) принадлежит Г, а й, ш С. Значит, по принципу аргумента (т 30) число нулей функции ~(г) — ш, в области Р равно К= (1/2я) ЛгагуУ(г) — й,) = (1/2я)Л-агя(й — ш,). Так как точна ш, лежит во внутренности замкнутой кривой Г (рис. 81), то Лрату(й — й,) = 2Я и Аг = 1. Аналогично, если точка ш, лежит во внешности кривой Г, то Ь„-агу(ш — йг) =О (рис.
81) и уравнение 1(г)=ш, не имеет решений в области Р. 3 а и е ча н и е 2. Теоремы 1 и 2 справедливы и для областей расширенной комплексной плоскости с кусочно гладкими границами: при конформном отображении граница области переходит в границу образа области взаимно однозначно с сохранением ориентации (см. (5)). 4. Теорема Римана. Фундаментальной теоремой теории конформных отображений является 3 гз. ОБщие сВОЙстВА конФОРмньгх ОтОБРАжении 277 Теорема 3 (теорема Римана). Пусть Р— односвязная область расширенной комплексной плоскости, граница которой состоит более чем из одной точки.
Тогда 1) существует функция в=7'(з), которая конформно отображает область Р на круг (ю! ( 1; Рзс. 81 2) зта функция единственна, если вьтолняются условия 7(з,) = иъ, агу )'(з,) = я. (1) Здесь зн й, — заданные точки (г, еиР, !и,~ (1), а — заданное действительное число. Исключительными являются следующие области: а) зся расширенная комплексная плоскость, б) вся расширенная комплексная плоскость с одной выколотой точкой. Эти области нельзя конформно отобразить на круг ) ю( ( 1. В самом деле, пусть функции и=7'(з) конформно отображает всю расширенную комплексную плоскость на круг ~ и! ( 1.
Тогда эта функция регулярна и ограничена во всей расширенной комплексной плоскости и, следовательно, 7'(г) — = совами по теореме Лиувилля (З 19). Аналогично, если функция и = 7'(г) конформно отображает всю расширенную комплексную плоскость с выколотой точкой г. На круг ~и~~ (1, то зта функция регулярна и ограничена при гФг,. Тогда точка г, является устранимой особой точкой функции 7'(г) (8 18), т.
е. функция 7(з) регулярна и ограничена во всей расширенной комплексной плоскости, и 7(з)= = сопз$ по теореме Лиувилля. Отметим, что если граница односвязной области Р содержит две точки, то границей области Р является некоторая кривая, проходящая через эти точки. Такую область по теореме 3 мояшо конформно Отобразить на единичный круг. Доказательство теоремы 3 содержится в (5). Из теоремы 3 вытекает Следствие. Пусть границы односв зных областей Р и 6 состоят более чем из одной точки.
Тогда существует одна и толь- Гл. Рь конФОРмныа ОтОБРАжения 278 ко одна сдункцил и )(г), которал кон4орг»но отображает область Р на область С так, что ~(г») = ш„агу»'(г,) = а, (2) вде г,шР, ш,»н С, а — действительное число. Доказательство. Существование. По теореме 3 существует конформное отображение », у(г) области Р на круг !ь» (1 такое, что у(г»)=0, агуу'(г») 0 (рис. 82). Аналогично, существует конформное отображение ь Ь(и) области С на круг ф (1 такое, что Ь(ш»)=0, агйЬ'(ш,)= — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
