1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Тогда с=сан ш=»»»с» ш=Уа»- » ~И Рис. 82 ф ия ш — ф(~) обРатная к фУНЕЦНН ~ Ь(и) ~ конфоРмно отображает круг ! Ц ( 1 на область С так, что»(» (0) и„ агу»)»'(0)- а (рис. 82). Следовательно, функция и = р(г) = =»г(у(г)) конформно отображает область Р на область С н удовлетворяет условиям (2). Единственность. Пусть две функцни ш=(,(г) ()=1,2) конформно отображают область Р на область С так, что ~~(г«) = и, ага~»(г) = а„у = 1, 2. Докажем, что 1»(г) 5(г) при г»НР.
По теореме 3 существует единственное конформное отображение ~ Ь(и») области С на круг»ь» (1 такое, что Ь(и»,) О, агдЬ'(и») О. Функции ь=у»(г)=Ь(р»(г)) (1 1, 2) конформно отображают область Р на круг»ь» (1 и удовлетворяют условиям у (г«) = О, агу у' (г,) = а, у = 1, 2. Следовательно, по теореме 3 у»(г) у»(г), т. е. Ь(~»(г)) Ь(),(г)), откуда Д(г) к«Ь,(г).
Замечание 3. Вместо единичного крута можно было взять какую-нибудь другую «каноническую» область, например, верхнюю полуплоскость. В дальнейшем, как правило, рассматриваются отображения на единичный круг или на верхнюю полу- плоскость. з Зи ДРОБИО-линкинАЯ Функция 279 Итак, если границы односвязных областей АУ и С состоят более чем из одной точки, то существует конформное отображение области Х» на область С, причем зто отображение не единственно. Для единственности достаточно задать условия (2), которые называются нормировкой конформного отображения.
Эта нормировка содержит три произвольных действительных параметра: и„о, (и~, = и, +1о,) н и. Вместо (2) можно задать другие условия, содержащие три независимых действительных параметра. Например: 1. Существует единственное конформное отображение в =»'(з) области Р на область С, удовлетворяющее условиям 7(ее) = ~е 7(з~)»оо где е„й,— внутренние, а яе и, — граничные точки областей Х» и С соответственно. 2. Существует единственное конформное отображение ю = =»(е) Области 1» на область С, удовлетворяющее условиям ~(е,) =юм 7с = 1, 2, 3, где ео ен г, — различные граничные точки области В, а и~„и~„ и,— различные граничные точки области С, занумерованные в порядке положительной ориентации граничных кривых областей 1» н С соответственно. В случае неодносвязных областей вопрос о существовании конформного отображения является гораздо более сложным.
Даже для простейших двусвязных областей »»: р(!з! <В, С: р, ~ ~и ~ ( В, не всегда существует конформное отображение 1» на С (см. 4 36). Теория конформных отображений многосвязных областей изложена в [5]. 3 34. Дробно-линейная функция Функция и =, ай — ЬОФО, аз+ Ь се+а' где а, Ь, е, й — комплекснъ1е числа, называется дробно-линейной. Отображение, осуществляемое функцией (1), называется дробно- линейным.
Условие аа — ЬсФО означает, что»о засопзЬ. В формуле (1) предполагается, что если с Ф О, то и( ) = а/е, ит( — й/е)=, а если с=О, то ю( )= . Таким образом, дробно- линейная функция определена во всей расширенной комплексной плоскости. В частности, при с = О функция (1) является линейной, а отображение, осуществляемое линейной функцией, называется линейным. Рассмотрим основные свойства дробно-линейных отображений. ГЛ. УД. КОНФОРМНЬИ ОТОБРАЖЕНИЯ 1. Конформкость. Теорема 1. Дробно-линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость на расширенную комплексную плоскость.
Доказательство. Очевидно, функция (1) регулярна во всей расширенной комплексной плоскости, за исключением точки г = — Ы/с — полюса первого порядка. Решая уравнение (1) относительно г, находим функцию г=, ад — ЬО~О, — сц«+ а' (2) а а+6, адд1д — Ь,с ~О, (3) аа1+62 и = ~„а~, адૠ— Ь,с, Ф О. (4) Подставляя (3) в (4),получаем а«+ Ь с«+ а (5) обратную к функции (1). Функция (2) однозначна на всей расширенной комплексной плоскости и также является дробно-линейной.
Следовательно, дробно-линейная функция однолистна в расширенной комплексной плоскости. 3 а м е ч а н и е 1. Имеет место обратное утверждение; если функция и = /(г) конформно отображает расширенную комплексную плоскость на расширенную комплексную плоскость, то зта функция является дробно-линейной. В самом деле, по определению 1 1 33 функция /(г) регулярна в расширенной комплексной плоскости, кроме одной точки— простого полюса. Если эта точка г.— конечная и гез /(г) = А, ««д то функция у(г) = /(г) — А/(г — г,) регулярна во всей расширенной комплексной плоскости.
Следовательно, по теореме Лиувилля (Ь 19) у(г) сопзд, т. е. /(г) — дробно-линейная функция. Если г, =, то /(г) — целая функция и /(г) =О(г) (г - ) ($19). Тогда по теореме Лиувилля /(г) = аг+ Ь. 2. Групповое свойство. Т е о р е и а 2. Совокупность дробно-линейных отображений образует группу, т. е.
1) суперпозиция (произведение) дробно-линейных отображений является дробно-линейным отображением; 2) отображение, обратное к дробно-линейному, также является дробно-линейным. Доказательство. Свойство 2 доказано в п. 1. Докажем свойство 1. Пусть з за дРОБнО-линейнАя Функция 281 где ай — Ье =(а~й~ — Ь|е~) (азиз — Ьзсз)чьО, т. е. отображение (5) является дробно-линейным. Замечание 2. Группа дробно-линейных отображений некоммутатнвна. Например, если 1о(з) = 1/з, Ь(з) = з+ 1, то и~(~(з)) = —, ь(ш(з)) = — + 1, ю(~(з)) Ф ~(й(з)). 3.
Круговое свойство. Т е о р е м а 3. При дробно-линейном отображении образом любой окружности или прямой является окружность или прямая. Доказательство. Сначала рассмотрим линейное отображение в=аз+ Ь (ачьО). Это отображение сводится к подобию, повороту и переносу (з 8), Следовательно, линейное отображение переводит окружности в окружности, а прямые — в прямые. аз+ Ь В случае, когда дробно-линейная функция ю= + не является линейной (с ныл), представим ее в виде й=А+ В где А=а/е, В=(Ье — ао)/с', з, й/е. Тогда отображение (б) сводится к последовательному выполпению следующих отображений: + з т) = — = А + Вт). 1 (7) Первое и третье отображения (7) обладают круговым свойством, так как они линейные. Остается доказать, что второе отображение (7), т.
е. отображение И=в 1 (8) з ' также обладает круговым свойством. Уравнение любой окружности или прямой на плоскости з =х+1у имеет вид сс (х'+ у') + рх + 7у + б = 0 (если а О, то (9) — уравнение прямой). Так как з — 1 хз -ь у' =- ( з)з = зз, х = — (з .(- з), у = —, (з — з), то уравнение (9) записывается в виде азз + Рз + Рз + б = О, (10)' где Р= — (р — 17). Подставляя в (10) г=1/ю, получаем 1 бипе+Рю+Рю+ и=О. (11) 282 ГЛ. ЧЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Следовательно, образом окружности (10) (прямой, если сг=0)' при отображении (8) является окружность (11) (прямая, если 6=0). аа+ Ь Отметим, что дробно-линейное отображение ю= аа+ а переводит окружности и прямые, проходящие через точку г = — 8/с, в прямые, а остальные окружности и прямые — в окружности.
В дальнейшем будем считать, что прямая — окружность бесконечного радиуса. Позтому круговое свойство можно коротко сформулировать так: при дробно-линейном отображении окружности переходят в окружности. 4. Свойство сохранения симметрии. Понятие симметрии (инверсни) относительно окружности определяется в элементарной геометрии следующим образом. Пусть à — окружность радиуса В с центром в точке О. Определение. Точки М и М» называются симметричными относительно окружности Г, если они лежат на одном луче, выходящем из точки О, и ОМ . ОМ» = В' (рис. 83).
В частности, каждая точка окружности Г является симметричной сама себе относительно этой окружности. Таким образом, на комплексной плоскости точки г и г* являются симметричными относительно окружности Г: Ь вЂ” а~ = В, если они лежат на одном луче, выходящем из точки а и Ь вЂ” а~Ь» — а~ =В'. Точка г= считается симметричной относительно окружности Г с точкой а — центром этой окружности. Из этого определения вытекает, что симметричные относительно окружности Ь1 В точки г, г* связаны соотношением г» =ВЫ.
(12)' В частности, симметричные относительно единичной окружности Ь! = 1 (рис. 84) точки г, г» связаны соотношением г» = 1/г. (13) Так как точки г и й симметричны относительно действительной осн, то из (13) следует, что точка Уг получается ив точки г двойной симметрией: относительно действительной оси и относительно единичной окружности (в любом порядке) (рис, 84). Иа (12) вытекает, что симметричные относительно окружности Ь вЂ” а~ = В точки г, г» свяааны соотношением я' г» =а+= (14) 6 ы.
дговно-линвинля а тнкция 283 Дробно-линейное отображение обладает следующим свойством сохранения симметрии. Теор ем а 4. При дробно-линейном отображении пара точек, симметричных относительно окружности, переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности. Здесь «окружность», в частности, может быть прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
