1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Предварительно докажем следующую лемму. Рис. 88 Рис. 84 Лемма. Точки М и М» являются симметричными относи тельно окружности Г тогда и только тогда, когда любая окружность у, проходящая через зти точки, пересекается с окружностью Г под прямым углом. Доказательство. Необходимость. Пусть точки М, М* симметричны относительно окружности Г радиуса В с центром в точке О (рнс. 85). Рассмотрим окружность т, проходящую через точки М, Мв.
Проведем из точки О прямую, касающуюся окружности ( в точке Р. По теореме элементарной геометрии (квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть) имеем ОР'=ОМ ОМв. Это произведение равно В*, так как точки М, М* симметричны относительно окружности Г. Значит, ОР= В, т. е. точка Р лежит на окружности Г. Таким образом, касательная к окружности ( является радиусом окружности Г и, следовательно, окружности т, Г пересекаются в точке Р под прямым углом. Достаточность. Пусть любая окружность т, проходящая через точки М, Ма, пересекается с окружностью Г под прямым углом (рис.
85). Тогда прямая (частный случай окружности), проходящая через точки М, Ма, также пересекается с окружностью Г под прямым углом, т. е. эта прямая проходит центр О окружности Г. Более того, точки М, М* лежат на одном луче, выходящем из точки О, так как в противном случае окружность гл. уь конФОРмные отовглжвния радиуса — ММ*„проходящая через точки М, М*, не пересекается с Г под прямым углом. Остается докааать, что ОМ.ОМ* Вз. Пусть окружность (, проходящая через точки М, М*, пересекается с Г в точке Р (рис. 85). Тогда ОР— касательная к ) н, следовательно, ОР'= ОМ ОМ* по теореме о квадрате касательной (см.
необходимость) . Доказательство теоремы 4. Пусть точки г н гз симметричны относительно окружности Г и пусть дробно-линейное отображение и~= 1(г) переводит окружность Г в Г, а точки г, г* — в точки й, юз соответственно. В силу кругового свойства à — окружность. Нужно доказать, что точки ю, юз симметричны относительно Г. Для этого в силу леммы достаточно докааать, что любая окружность (, проходящая через точки й, гоз, лересекается с Г под прямым углом. Прообразом окружности ( при дробно-линейном отображении ю=((г) является окружность (, проходящая через точки г, г".
Эта окружность ( пересекается с Г под прямым углом. Следовательно, ( пересекается с Г также под прямым углом, так как дробно-линейное отображение является конформным во всей расширенной комплексной плоскости и поэтому сохраняет углы между кривыми в каждой точке.
5. Дробно-линейное отображение, переводящее три точки в три точки. Т е о р е м а 5, Существует единственное дробно-линейное отображение, при котором три различные точки го гз, г, переходят соответственно в три различные точки о„в„юз. Это отображение определяется формулой Ю вЂ” И> Ю вЂ” Ю з з 1 з з з — з з — з (15) к — в и — в з--з з — з з з з з з Доказательство.
Из теоремы 2 следует, что функция и = ~(г), определяемая соотношением (15), является дробнолинейиой. Ясно также, что ю„=!(г,) (й= 1, 2, 3). Докажем, что если дробно-линейная функция и=1,(г) удовлетворяет тем же условиям, что и функция и~=((г), а именно и„= Л (г„) (й = 1, 2, 3), то (,, (г) = Дг). Пусть г = ~у(й) — функция, обратная к функции и> =1(г). Тогда ф(1,(г)) — дробно-линейная функция: зуД (г)) = + и ф(~,(г„))=гз, т.
е. аз,+ Ь вЂ” =гз у=1 2 3. сз +а С ы. дговно-линвиноя етнкция Отсюда получаем его + (й — а) гд — Ь = О, т. е. квадратное уравнение ага+(а — а)г — Ь 0 имеет три рааличных корня. Следовательно, с =О, а'=а, Ь=О и ар(1а(г))=г, откуда 1,(г)=1(г). Следствие 1. Функция ю=((г), определяемая формулой '(15), конформно отображает круз, граница которого проходит через точки г„(й = 1, 2, 3), на круг, граница котороео проходит через точки ш„(й=1, 2, 3). Здесь и далее «кру㻠— внутренность окружности, или внешность окружности, или полуплоскость.
Замечание 3. Иа доказательства теоремы 5 следует, что дробно-линейное отображение»о = ж(г) может иметь не более двух неподвижных точек г„га, т. е. таких, что»о(го)=га (й= 1, 2), если иа(г) Яг. Дробно-линейное отображение, имеющее две неподвижные точки г„г„определяется формулой  — а а — а Э а а где А — комплексное число. П р и м е р 1. Всякое дробно-линейное отображение, переводящее точку г, в точку и~ = О, а точку г, — в точку»о =, имеет вид (16) где А — некоторое комплексное число. П 6. Примеры дробно-линейных отображений.
П р и м е р 2. Дробно-линейное отображение полуплоскости 1ш г ~ 0 на круг !»о! ( 1 имеет вид ао ьа й= ое а — а о где 1шг, ) О, а — действительное число. Доказательство. Пусть дробно-линейная функция и— = ю(г) отображает полуплоскость 1шг>0 на круг !й! (1 так, что»о(г,) = 0 (1шг,~0). Тогда в силу свойства сохранения симметрии»о(г,) = и по формуле (16) (18) ао Покажем, что !А~ = 1. Так как точки действительной оси переходят в точки единичной окружности, т.
е. ~М = 1 при дей- гл' 1е коиФОРмньге отовгажения а — г о ж й==е 1 — ай о (19) где !е,! 1, а — действительное число. Доказательство. Пусть дробно-линейная функция й= й(з) отображает круг !г! (1 на круг !й! (1 так, что й(з,)= 0 (!хо! ~1). Тогда в силу свойства сохранения симметрии (п. 4) й(1/У,)= и по формуле (16) имеем й=А' (20) 1 — ее о Покажем, что !А! =1.
Так как точки единичной окружности переходят в точки единичной окружности, т. е. !й! 1 при з е", то из (20) ео! !'"!!' " — ъ! (!е" — з,! = !е~-з,! = !е и — з,!). Следовательно, А=е'" и из (20) получаем формулу (19). П ствительных з=х, то из (18) ((х — з,! !х — зо!). Следовательно, А е' и из (18) получаем формулу (17). Замечание 4. При отображении (17) угол поворота кривых в точке з, равен а — — (рис.
86), так как из (17) имеем агб й' (з ) = а — — (з 8, пример 5) . Замечание 5. Всякое конформное отображение полупло- скости 1ш г ) 0 на круг ! й ! ( 1 (г) Ов имеет вид (17). В самом деле, по теореме г Римана (3 33), существует со~Г~7~~~~~:с~~~т. р~ г единственное конформное ото- 0 бражение й = й(з) полуплоскости 1шг~О на круг !й! ( (1, удовлетворяющее условиям й (з,) = О, агб й' (зе) = и— рви 86 — —.
Следовательно это ото- 2' бражение совпадает с отображением (17). Это аамечание относится и к формулам (19), (21), Пример 3. Дробно-линейное отображение круга ! з ! ( 1 на круг !й! (1 имеет внд 8 34. ДРОБНО. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Замечание 6. При отображении (19) угол поворота кривых в точке з, равен и (рис. 87), так как из (19) имеем агя ю'(г,)=со (в 8, пример 5). П р и м е р 4, Дробно-линейное отображение полуплоскости 1оп з ) О на полуплоскость 1ш ю ~ 0 имеет вид И=в ао+ о ао + (21) где а, Ь, с, Н вЂ” действительные числа и ад — Ье) О.
Доказательство. Пусть дробно-линейная функция и= ю(г) отобран<ает полуплоскость 1га г ) 0 на полуплоскость Рнс. 87 1пт ю) О. Рассмотрим трн различные точки зь гь ао границы области 1птг) О, т. е. г,— различные действительные числа. Образы этих точек являются граничными точками области 1пгю~ ) О, т. е.
ю„= ю(го) — действительные числа. Тогда функция ю = ю(г) определяется формулой (15), откуда получаем формулу (21), где я, Ь, с, Ы вЂ” действительные числа. Покажем, что ас — Ьс) О. В силу принципа соответствия границ (8 33) конформное отображение ю' и (з) переводит действительную ось 1п~ з О в действительную ось 1оп и = О с сохранением ориентации.
Следовательно, при действительных з = х имеем агя ю'(х)) О, т. е. иа(х) = ~О, (ах+ а) откуда аб- Ьс) О. !! Пример 5. Конформное отображение ю = ю(з) круга !х! ~ 1 на круг !ю! ( 1, удовлетворяющее условиям ю(зо)= ю„ агя и>'(з,) — со, определяется формулой оа ' е 4 — ив 1 — я1 о о Доказательство. Функция о — хо ~ = б (з) — о е 1 — оо о ГЛ. ЧЬ КОНФОРМНЬГЕ ОТОБРАН(ЕНИЯ отображает круг,'!г1(1 на круг 4! (1 так, что я,(г,)=0 и агбл'(г,) =а (пример 3).
Функция ь(,) о 1 — ооо о отображает круг ! и! ~ 1 на тот же круг ) ~! с 1 так, что Ь(юо) =0 и агбй'(йо)=0 (пример 3). Следовательно, функция и =ю(г), определяемая формулой (22), отображает круг Ь! <1 на круг !и ) (1 так, что ю(го)=и~, н агя и'(г,)=а. Г~ П р и м е р 6. Конформное отображение ю = ю (г) полуплоскости 1шг>0 на полуплоскость 1шю>0, удовлетворяющее условиям ю(го) = ю„агя ю'(г,) = а, определяется формулой в — м о — о о о оа = — е и — и о — о о о Доказательство этого утверждения аналогично докааательству формулы (22). 11 в 35. Конформные отображения элементарными функциями 1.
Функция и~ =го. Рассмотрим свойства функции й го, некоторые сведения о которой были приведены в 1 8. 1. Однолистность. Напомним, что функция в=э' однолистна в области Р тогда н только тогда, когда в этой области нет различных точек г, и г„ связанных равенством г, =-г,. Равенство (1) означает, что точки г, и г, симметричны относительно точки э=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
