1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Из $13 и теоремы 1 вытекает, что уравнение у(г)=1/А, равносильное уравнению (4), имеет ровно п различных решений г ж У, если 1/)А1 ( е для некоторого е ~ О. б) В случае г, = рассмотрим взаимно однозначное отображение ~=1/г окрестности точки г= на окрестность точки О (г 8). Тогда число решений уравнения (4) в окрестности точки г = совпадает с числом решений уравнения ~(14) А в окрестности точки ь=О. Функция Ь(ь)=~(1/Д имеет полюс порядка п в точке ь О (г 18).
Следовательно, как и в случае а), уравнение Ь(ь)=А имеет ровно и решений. Ц 2. Однолистные функции. Определение однолистности функции в области было дано в в 8. Введем понятие однолистности функции в точке. Определение. Функция ~(г) называется однолистной в точке г„если зта функция однолистна в некоторой окрестности точки г,. Очевидно, что однолистная в области згункция является однолистной в каждой точке этой области. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: однолистная в каждой точке области 1) функция может не быть однолистной в области 1) (см. ниже пример 5).
Рассмотрим критерии однолистности функции в точке. Теорема 2. Функция 1(г), регулярная в точке г, ~, является однолистной в этой точке тогда и только тогда, когда ~'(г,) чь О. Доказательство. Необходимость. Если ~'(г) О и ~(г)гьсонзй то по теореме 1 в любой окрестности точки г, найдутся по крайней мере две различные точки г, и г, такие, что у(г )=)(гз), т. е. функция )(г) не является однолистной в точке г,. Очевидно, функция )(г) = сопзс также неоднолистна в точке г,. Достаточно с ть.
Если ~'(г,)чь О, то по теореме з 13 функция )(г) однолистна в точке г,. С л е дс т в и е 8. Функция с 1 с 3 ~(г)=с + + + ..., )г~)В, 270 ГЛ. УЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ регулярная в точке з, является однолистной в этой точке тогда и только тогда, когда с, = — гев /(з) ~ О. $ СЮ Доказательство. Рассмотрит функцию д(~) 7'(1/Ь)=с, +с Д+с,~'+..., 1~~ < 1/г(, регулярную в точке ь О.
Функция ь 1/з ваанмно однозначно отображает окрестность 1з! ) Л точки г = на окрестность 1~1 <1/Л точки ь 0 ($8). Следовательно, для однолистности функции /(з) в точке г необходимо и достаточно, чтобы функция у(~) была однолистна в точке ь = О, т. е. по теореме 2 должно выполняться условие у'(О) с, чь О. Следствие 4. Функция 7"(г), имеющая полюс в точке з, (конечной или бесконечной), является однолистной в этой точке тогда и только тогда, когда этот полюс простой (первого порядка) .
Для доказательства этого утверждения достаточно применить теорему 2 (следствие 3, если г, ) к функции 1//(г), Впрочем, следствие 4 вытекает также иэ примера 1, Пример 2. а) Функция /(з) г' однолистна в каждой точке гчь О, и н неоднолнстна в точках з О и з = е . б) Функция /(г)= 1/з' однолистна в каждой точке гМО, и неоднолистна в точках з 0 и з . Д Пример 3. Коли з,— существенно особая точка функции 7(г), то эта функция не является однолистной в точке з,. Действительно, в любой окрестности точки з, уравнение /(г)=А по теореме Пикара ($19) имеет бесконечное число решений для каждого значения А, кроме, быть может, одного, т. е. функция 7(з) неоднолистна в точке з,. Д Пример 4.
Пусть функция 1(з) регулярна в области Р, эа исключением двух точек г„з„которые являются полюсами функции /(г). Покажем, что эта функция не является однолистной в области О. В самом деле, если !А~ — достаточно большое число, то уравнение /(г) А имеет по крайней мере два решения з, и з„где точка з, блиака к точке г, (1 1, 2) (пример 1), т. е.
функция 7'(з) неоднолиства в области .О. () Пример 5. а) Функция /(з)=е* однолистна в каждой точке зчь, но не является однолистной во всей комплексной плоскости. Действительно, эта функция во всех точках з, =а+ 2йп1 (й= О, ~1, ~2, ...) принимает одно и то же значение е'. б) Функция /(з) з' однолистна в каждой точке кольца 1 < Ь~ < 3, но не является однолистной в этом кольце, так как /(г) — четная функция: /(г)=/( — г).
П Подведем некоторые итоги. Пусть функция /(г) регулярна и однолистна в области П с выколотыми точками з„з„..., з„, З ЗЗ, ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ 271 Среди этих точек г„(й 1, 2, ..., и) не может быть существенно особой точки функции ~(з) (пример 3) и не может быть двух полюсов (пример 4). Следовательно, функция ~(г) может иметь только один полюс, причем первого порядка (следствие 4). Таким образом, необходимыми условиями однолистности функции ((г) в области Р являются следующие условия: 1) функция ~(г) должна быть регулярна в области Р, за исключением, быть может, одной точки — простого полюса; 2) в каждой конечной точке БАР, в которой функция ~(г)' регулярна, должно выполняться условие ~'(г) Ф О; 3) если точка г = » принадлежит области Р и в этой точке функция Яг) регулярна, то должно выполняться условие с, = = — гез ~(з)+О.
Условия 1) — 3), вообще говоря, не являются достаточными для однолистности функции в области (пример 5). Достаточные условия будут рассмотрены в з 33. 3. Принцип сохранения области. Теорема 3 (принцип сохранения области). Пусть функция ~(г) регулярна в области Р и ~(г)Ф сопзь. Тогда при отображении ш = ~(г) образом области является область. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 6 — образ области Р при отображении ш = Дг).
Покажем, что 6 — открытое множество. Пусть точка ш, принадлежит мноя'еству 6, т. е. ш, =~(з,), где г,ыР. По теореме 1 и теореме з 13 для любой точки ш из достаточно малой окрестности точки ш, существует по крайней мере одна точка г из окрестности точки г, такая, что ш =1(г), т. е. шш 6, Таким образом, существует окрестность точки ш„целиком принадлежащая 6. Связность множества 6 вытекает из непрерывности отображения ш = 1(г), так как при этом отображении образом любой непрерывной кривой, лежащей в области Р, является непрерывная кривая, которая состоит из точек множества 6. Следовательно, 6 — открытое связное множество, т. е.
область. Следствие 5. Пусть Функиия ~(г) регулярна в области Р расширенной комплексной плоскости, га исключением, быть может, полюсов, и ~(з)Фсопз$. Тогда образом области Р при отображении ш=~(г) является область расширенной комплексной плоскости ш. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим случай, когда функция 1(з) имеет один полюс в конечной точке г,~вР. В остальных случаях доказательство аналогично.
Пусть Р, — область Р с выколотой точкой г,. По теореме 3 образом области Р. при отображении ш = ~(г) является область 6,. Из примера 1 вытекает, что существует кольцо Л ( ~ш~ ~ ( сь, принадлежащее 6,. Следовательно, множество 6 = 6, 0 0 (ш ) является областью. Гл.
уь конФОРмкые отовглжяния 272 4. Принцип максимума модуля. Теорема 4. Пусть функция /(г) регулярна в ограниченной области Р, непрерывна вплоть до границы этой области и /(з)эа Ф сонэк Тогда макси ум модуля этой функции шах ! /(г)! достигается только на границе области Р. Доказательство. Рассмотрим точку г,~иР и докажем, что существует точка г, ~иР такая, что 1/(г,)1)17'(з,)1.
По теореме 3 образом области Р при отображении и=/(г) является область С, для которой точка и~, /(г,) является внутренней. Значит, можно выбрать точку и, ш 0 на прямой, проходящей через точки О, ю„такую, что 1и7,1)1й,1 (рис. 79). Эта точка и, Рэс. 79 является образом некоторой точки э~~нР, т. е. и, =/(г,). Следовательно, 1/(з,)1. 1/(з,)1. Следствие 6. Если функция /(г)эа сопзФ регулярна в области Р, то 1/(г)! не может иметь локального максимума во внутренней точке области Р. В самом деле, иэ доказательства теоремы 4 вытекает, что в любой окрестности точки г, нР существует точка з, такая, что 1/(з )1 ) !/(г.)1. С л е д с т в и е 7. Если регулярная в области Р функция /(г) Ф сопзь не имеет нулей в области Р, то 1/(з)1 не может иметь минимума во внутренней точке области Р.
Действительно, в этом случае функция 4//(г) регулярна в области Р и по теореме 4 в любой окрестности точки з, азР существует точка г, ыР такая, что 14//(г,)1) 1л//(з )1, т. е. 11(з,)! ~ < 1/(го) 1. Пример 6. Пусть функция /(г)Ф сонат регулярна в ограниченной области Р, непрерывна вплоть до границы Г атой области и 1/(г)11, т = с сопзФ. Покажем, что функция /(з) имеет хотя бы один нуль в области Р. В самом деле, если /(з)чьО для всех зшР, то в силу следствия 7 имеем 1/(з)1> с при зееР, что противоречит утверждению теоремы 4: 1/(г)1( с при г ыР.
! 1 9 33. ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ 273 Лемма Шварца. Пусть Функция /(г) регулярна в круге !г1(1, /(0)=0 и 1/(г)1(1 при 1г1 (1. Тогда во всем круге 1г)(1 имеет место неравенство 1/(г) 1 ( 1г!. Кали хотя бьг в одной точке гчь0 круга Ь1(1 выполняется равенство 1/(г) 1 = 1г1, то /(г) е'"г, где и — действительное число. Доказательство. Рассмотрим функцию у(г)=/(г)/г, Эта функция регулярна в круге 1г! ( 1, так как /(О) = 0 Я 18).
На окружности !г! р, 0 ( р ( 1 имеем 1у(г) 1 1/(г) 1/Ь1( 1/р. Следовательно, по теореме 4 во всем круге Ь1(р имеет место неравенство 1у(г)1(1/р. Так как р можно взять как угодно близким к едкнице, то 1у(г)1(1, т. е. Щг)1( Ь1 при Ь! (1. Далее, если в некоторой точке г, (13,1(1) функция 1у(г)1 достигает своего максимума, т. е. 1у(го)1=1, то у(г) сопгг (следствие б), т. е, у(г)=е и /(г) е г. Имеет место следующий принцип максимума и минимума для гармонических функций. Теорема 5. Пусть функция и(х, у), гармоническая в ограниченной области Р, непрерывна вплоть до границы этой области и и(х, у) Ф сопе1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
