1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Здесь 0 < а„< 1 (й 1, 2, 3), а, + а, + а, = 1. ® 1исг. Н сс,=сс» а су 4» Н Рис. 145 Положим ас О, ае 1, ис (рнс. 145). По формуле (й) имеем с г ~ 1ас-с (~ 1)ас — с с1~ 4 ~ асс»-с (1 ~)ссс с с(ге е е где А=се"("с ')с,а подынтегральная функция принимает положительные значения на интервале (О, 1). Из равенства с А — А =1=А) с с (1 — с) с с11=А ° В(а,а) е находим А = 1/В(а„ас), где В(а„а,) — бета-функция [91.
Таким образом, функция -=в(„'„)1~" '( -~)" 'Ы~ (10) е конформно отображает полуплоскость 1ш г ) 0 на треугольник П. П Пример 2. Отображение полупло с ко сти на п р я м о у г о л ь н и к. Найдем конформное отображение к» = =~(г) полуплоскости 1ши) 0 на ограниченный прямоугольник П с вершинами в точках А„(й 1,. 2, 3, 4), где А, = 1, А, = =1+1Н Ас 1+сНсАс= 1 Н)0, ссь= Е (й=1с2с3,4) 1 (рис. 146). Рассмотрим правув половину прямоугольника П: прямоугольник П+ с вершинами в точках О, 1, 1+ сН, сН (рис. 147) Пусть функция и» ° 1'(г) конформно отображает первый квадрант Нет)0, 1шз)0 на прямоугольник П+ так, что 1(0)= =О, 1(1)=1, Д ) сН.
Прн этом отображении интервал 7: (О, +с ) переходит в интервал 7': (О, 1Н), прообрааом точки и»= = 1+ РН является точка з = а, где 1 < а < +ее (рис. 147). Гл. Ть конФОРмные ОтОБРАжения По принципу симметрии (т 36) продолжим аналитически функцию ~(г) в полуплоскость 1п1 г ) 0 н обозначим зто аналитическое продолжение тем же символом 1(г). Функция и1 = /(г) О Яд=1 -гН 1Н А =тчтН О 1о=,т)з) ь а А,=7 Рас. 14е О сн Хан ю=.'"Ю Н 7 а а Рис 147 коиформно отображает полуплоскость 1ш г ) 0 на прямоугольНнк П (рис. 146) так, что т(0)=0, ~(~1)=~1, т(~а)=~1+ +1Н ~( ) 1Н, По формуле (1) имеем и1 =1(г) = А) (И) , Ъ (1 — 4') (1 — БАРС') где )с=1/а, 0~)с<1 у(1 — 1')(1 — й'г'))0 при Осг(1.
Здесь параметры )с, А, Н связаны в силу (8) уравнениями 1 на — — и а1 1 ( ас Н ~(1 — 11) (1 — аг11) Л )) ~(11 1) (1 — а111) Интеграл (И) при А 1 называется зллиптичесним интегралом Лежандра первого рода. Функция г =1Р(и1), обратная к функции (И), называется зллиптичесной 1дункцией Я к оби. Эта функция конформно отображает четырехугольник П на полуплоскость 1ж г ) О. е 37. Интвгглл кгистоФФБля — швлгцл Отметим основные свойства функции ф(г): 1.
Функция ф(г) регулярна в комплексной плоскости г, за исключением точек г 2п+ 1Н(2к+ 1) (й, и — целые числа), которые являются простыми полюсами этой функции. 2. Функция ф(г) имеет дза периода, Т, = 4 и Т, = 2Н1, т. е. ~у(г+ 4п+ 2НЫ) = ф(г) (й, и — целые числа). Доказательство этих свойств аналогично доказательству тео- ремы 1.
Отметим, что с помощью эллиптических функций мож- но найти конформное отображение внутренности эллипса на полуплоскость (10). Подробнее эллиптические функции рассмат- риваются в 151, 115). 4. Отображение полуплоскоети на неограниченный много- угольник. Рассмотрим неограниченный многоугольник П, не со- держащий внутри себя точку й = . Пусть одна или несколько вершин этого многоугольника расположены в точке ю— Если яа, — угол многоугольника П в его вершине А; = вь, то — 2 ~ а; ~ 0 (3 33).
При этом сохраняется равенство о ~ аь= и — 2. ь=1 Можно доказать, что в этом случае остаются справедливыми теорема 1 и следствие 1, т. е. имеет место общая Т е ор е и а 2. Конформное отображение в = у (г) полупло- скости 1ш г - 0 на многоугольник П осуществляется а) функцией (1), если а,чь (к=1, 2, ..., к); б) функцией (9), если а~Ф ьь (й=1, 2, ..., и — 1), а„= ь . Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы аналогично доказатель- ству теоремы 1 (подробнее см. 1101). Пример 3. Пусть П вЂ” треугольник с вершинами в точках А,=О, А, 1, А,= и 0<а,~2, О<а,<2, — 2~а,<0, а,+и,+ а,= 1.
Из теоремы 2 и примера 1 следует, что функ- ция (10) конформно отображает полуплоскость )п1 г ~ 0 на треугольник П. На рис. 148 показаны примеры таких треугольников: 3 1 1. а) аг= — аг= —, ав= — —; 4' 2 4' 3 3 б) а,= — а,= — а,= — 1; 4' 4' 1 3, в) а~=2, ссг 2' аа 2 ' 3 3 г)а,= —,, а= —, а= — 2. Гл. чь конФОРмныв Отовгьжвния В этих случаях по формуле (10) находим агсзшу'з — у'г )/1 — Уз ~; с агс19 з + аг1)г —, —— ~'~/2 ь ~/2 12 ~/2) — 1+ 1' 1+ 1'1' 2 а) ит= — ~ б) и=в 1 я в) в =1 — ~1+ — )'1 — з; 2/ г) и~ = — (агсв1п~~з + (2х — 1))~з(1 — з)~. Здесь рассматриваются ветви многозначных жительные прн з = х, 0 ~ х ( 1.
Д П р и м е р 4. Пусть четырехугольник П ( 1пг и~ ( и с разрезом по лучу ( — + нй1, функций, поло- — полоса О ~ яй11, 0(Ь~1 А;-а А,=а Рис. 148 (рис. 149). Здесь А, = яй1, Аз=, Аз =, А,=, а, = 2, а, а,=а, О. Положим а,=О, а,=1, а,= . Тогда а, — Ь, где О~Ь(+о. В силу теоремы 2 н формулы (9) конформное отображение полуплоскости 1нг г ) 0 на четырехугольник П осуществляется функцией 1 НР ю= 1(з) = с~( ('+ ) + яйй (12) о Найдем ага с (ср. п. 2). Рассмотрим точку г, на интервале (О, 1]: г, = хо 0 ( х, ( 1. Ее обРаз — точка и, = 1(з,) — лежит $37. НнтеГРАл кРистоФФеля — шВАРцА ззз па стороне (Ао А,) четырехугольника П (рпс. 149), т. е.
Кем, (О, 1ш и, = лЬ. Иэ (12) имеем Х1 ,) (1 — 1) О+ь)' и — А,=с( о Здесь и, — А, Ко ю, ( О, н подыитегральная функция отрицательна (О < 1 х= х, < 1) . Следователг но, с ) О. 1юг>Ы О ,4„=хо и9 А=~ ж, А,=со и) Рис. 149 Таким образом, в формуле (12) осталось два неизвестных параметра: с) О, Ь) О. Найдем эти параметры. Пусть г, 1 — р, г,=1+р, где р)0 достаточно малб.
Тогда точка и~, =1(г,) лежит на стороне (А„А,), а точка и, = =/(г,) — на стороне (А„А,) (рис. 149), откуда 1ш(й, — и,)= = — ля. Иа (12) имеем 'сг — 'сг =1(г,) — 1(гг) = с ~ 4 — 1) Я ь ' ср где С, — полуокружность )ь) = р, 1ш ь ) О, ориентированная по часовой стрелке (рис. 149). Рассмотрим интеграл (13).
Точка ь = 1 является полюсом первого порядка подынтегральной функции и 1 ; <4 1)(4 + ь) = 1 ) ь. Следовательно, = — — + у(ь), где функция й(~) регулярна 'в точке ь=1 и, значит, ограничена в иекото- ГЛ, УЬ КОНФОРМНЫВ ОТОБРАЖЕНПЯ рой окрестности этой точки: !д(~) ! < М. В соответствии с этим интеграл (13) запишем в виде суммы двух интегралов. Первый из них равен Н„" сги 1+ь) ~ — 1= 1+ь' (14) ср Для второго интеграла имеем оценку ~ д(~) с)~= 0(р) (р-~0) ср так как ~ ) б(~)с)~ (М'лр. ! ср Из (13) — (15) получаем 1ш(и,— и~,) = — лй = — — + 0(р) (р- 0) г+ь (15) откуда при р — 0 находим (16) — = — 1 — Ь. ьс 1+Ь = (11) т — ь Решая систему уравнений (16) — (17), находим с 1, Ь = — „ Подставляя эти значения в формулу (12) и вычисляя интеграл, окончательно получаем ю=)(з)=1и~(г — 1) (1+ — „) ~, Д с — = Ь.
1+Ь Отметим, что изложенный выше способ получепия соотношения (16) из формулы (12) можно применять для любого многоугольника, рассматривая и~ в окрестности вершины А„если О а, О. Применим этот способ Риср для четырехугольника П в окрестности точки А,. Имеем шс — и~с = 1 (гс) — 1(зс) = с с ) (4 1) (1 + Ь)„ Рис.
150 с р где з, — Ь вЂ” р, з,= — Ь+р, 1ш(й,— и~,) л(Ь вЂ” 1), Ср— полуокружность !(.+ Ь! =р, 1ш~~ О (рис. 149). Отсюда находим 1ш(вс — ю,) = л(Ь вЂ” 1) = — + 0(р) (р-~О), и при р — 0 получаем $38. эадхчА дигихлв Заметим, что функция ь = е' (п. 4, т 35) конформно отображает четырехугольник П яа область С вЂ” полуплоскость 1т ь ) ) 0 с разрезом по отрезку 10, 'е'""~ (рис. 150). Следовательно, функция 1=(г — 1) ~1+ — „» коыформно отображает полуплоскость 1ш г > 0 на область 6. в 38. Задача Дирихле Широкий класс стационарных фиэических задач сводится к отысканию гармонических функций, удовлетворяющих некоторым граничным условиям 121, (101. В этом параграфе рассматривается метод решения таких задач с помощью конформных отображений. 1.
Постановка задачи Дирихле. Существование и единственность решения, Пусть на границе Г ограниченной области Р задана непрерывная функция и,(г). Клас си ч е с к а я э а- дача Дирихле для уравнения Лапласа состоит в следующем: найти функцию и(г), гармоническую в области Х», непрерывную вплоть до границы Г и принимающую на Г значения и,(г): йи = О, г ж Х»; и!,„г = и,(г). (1) Здесь и далее и(г) и(х, у), и,(г) = и,(х, у) — действительные д д функции, Х» = — г + — — оператор Лапласа.
дхг дд~ Решение классической задачи Дирихле (1) существует и единственно. Доказательство существования решения содержится в 121. Единственность решения вытекает иэ принципа максимума и минимума для гармонических функций(теорема 5, $32). В самом деле, пусть и,(г), и,(г) — гармонические в области Х» функции, непрерывные вплоть до границы Г и и,!.~г = из)~~г. Тогда разность и,(г) — и,(г) — гармоническая в области Р функция, непрерывная вплоть до Г и равная нулю при гж Г.
По теореме 5 т 32 и,(г) — и,(г)=0 при гжР, т. е. и,(г)—= и и,(г), г ж Х», Наряду с классической задачей (1) будем рассматривать также более общу»о аадачу Дирихле, когда функция и,(г) ограничена и имеет конечное число точек разрыва. Требуется »»айти гармоническую в области Р функцию и(г), ограниченную в Р, непрерывную вплоть до границы во всех точках пепрерывности функции иэ(г) и в этих точках удовлетворяющую граничному условию и(г) = и,(г). При атом область Р моя»ет быть неограниченнои. Решение атой задачи Дирихле существует и единственно 12]. Гл.
тт. КОнФОРмныв ОУОБРАжения Следующий пример показывает, что если в постановке задачи Дирихле отказаться от требования ограниченности искомой функции и(г), то теорема единственности будет неверна. Пример 1. а) Функция и(х, у)= у, гармоническая в полуплоскости у ) О, непрерывна вплоть до границы и равна нулю при у = О (хчь»). Функция, тождественно равная нулю, очевидно, таки;е удовлетворяет всем этим условиям. 1 — х — у 1-1-г б) Функция и(х, у) =,, = йе —, гармониче(г — 1)'+ д~ окая в круге х'+у'(1, непрерывна вплоть до границы этого круга, за исключением точки (1, О), и равна нулю во всех точках окружности х'+ у' = 1, кроме точки (1, 0).
Функция, тождественно равная нулю, также удовлетворяет всем этим условиям. П 2. Инва риавтность уравнения Лапласа относительно коиформиых отображений. Т е о р е м а 1, Пусть регулярная функция г д(ь) конформно отображает область б на область Р и и(г) — гармоническая в области Р функция. Тогда функция й(ь) и(у(ь))— гармоническая в области С. Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
