1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 60
Текст из файла (страница 60)
П Задачу Неймана (46) — (47) в односвязной области 1) можно решить с помощью конформного отображения области 1) на круг и формулы (58). Задачу (46) — (47) в односвязной области 1) можно свести к задаче Дирихле для сопряженной гармонической функции о(з). де ! до! В самом деле, — ~ = — ~ = иг(з) в силу условий Коши— 'а!, д~н Римана, откуда ГЛ. УЬ КОЫФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ где интеграл берется по дуге кривой Г.
Решив задачу Дирихле для уравнения Лапласа Ли=О, зыР, граничным условием (59), можно простым ~нтегрированием найти функцию и (г) (з 7). 9 39. Векторные поля на плоскости 1. Основные понятия. Пусть в каждой точке з=х+оу области Х) на плоскости задан вектор А =(А, А„), компоненты которого — функции от (х, у): А =А„(х, у), А„А„(х, у). Тогда говорят, что в области Ь задано векторное иоле А(х, у). Предполагается, что функции А, А„непрерывно дифференцируемы в области Р. Векторное поле на плоскости можно задать с помощью одной комплекснозначной функции, которую также обозначим А: А =А.+1Ао. ($) Во многих важнейших физических задачах функция А есть ана.литическая функция х, и это позволяет применять методы теории функций комплексного переменного. Напомним основные понятия векторного анализа (9].
Линии тона. Рассмотрим автономную систему обыкновенжых дифференциальных уравнений —, = А„(х, у), — ", = А„(х, у). (2) Параметр 1 во многих задачах можно интерпретировать как время. Линиями тока векторного поля (1) называются фазовые траектории системы (2), т. е. кривые вида х ф(Т), у ор(Т), 4,(8<~„где (ф(Т), о)о(~)) — решение системы.
Точка (х„у,), в которой вектор А равен нулю, т. е. А*(хо, уо) = О, Ао(хо, уо) = О, лазывается точкой покоя системы (2) или критической точкой векторного поля А. Точке покоя (х„у,) отвечает фазовая траектория (линия тока), состоящая из одной этой точки. Из теории ообыкновенных дифференциальных уравнений известно, что фазовые траектории системы (2) — а стало быть, и линии тока — не чгересекаются и что через каждую точку области Р проходит линия тока. Как следует из (2), вектор А(х, у) — касательный вектор к линии тока, проходящей через точку (х, у), которая не есть точка покоя.
Поэтому линия тока касается вектора поля в каждой точке. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений позво.ляет судить о качественной структуре линий тока. Именно, возможны следующие случаи: 5 99. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТН т. Линия тока состоит из одной точки (точка покоя).
2. Линия тока — гладкая замкнутая кривая. 3. Лилия тока — гладкая незамкнутая кривая. В этом случае каждый из концов линии тока либо лежит ка границе области )7, либо совпадает с одной из точек покоя. Одна из важнейших физических аадач, связанных с плоскимн векторными полями — это задача об установившемся плоско- параллельном течении жидкости. Пусть течение параллельно плоскости (х, р).
Тогда скорость частицы жидкости, проходящей через точку (х, у, г), есть вектор вида у = (у (х, у), у„(х, у), 0), и соответствующее векторное поле есть поле скоростей. Вместо векторного поля в пространстве в данном случае можно ограничиться плоским векторным полем — полем скоростей У=(У„, Ух). (3) Линия тока — это кривая, по которой движется (течет) частица жидкости.
Поток и дивергенция. Потоком векторного поля А через замкнутую кривую 7 называется интеграл Х=) (А, п)йг. дАх дЛ„ о(РА = —" + — ". дх дд' (6) Из формулы Грина вытекает связь между дивергенцией и пото- ком 1(А, п)дг= ) ~ 61РАйхйр т и Здесь 7 — простая замкнутая кривая, ограничивающая область Э. Приведенная выше формула для дивергенции (6) неинвариантна — она зависит от выбора системы координат. Формула (7) позволяет дать инвариантное определение дивергенции.
Пусть кривая 7 стягивается в точку (х., р,) и 8 — площадь, ограничен- Здесь и далее (А, и) — скалярное произведение вектора А на единичный вектор и, нормальный к 7, Аз — элемент длины кривой 7. Если 7 — простая замкнутая кривая, ориентированная против (по) часовой стрелки, то нормаль к 7 направлена во внешность (во внутренность) кривой 7. Формулу для потока можно также записать в виде Х =- ~ — Азиях+ А„йу.
(6) т Дивергенцией или расходимостью векторного поля А называется величина гл. Ре конФОРмнык ОтОБРАжения ная кривой у. Тогда дивергенция в этой точке равна пределу поток через кривую Т (8) а(т А = 1пп а о площадь Г = ) (А, г) йг, (9) где 1 — единичный вектор, касательный к кривой (. Эту формулу можно записать в виде Г = ) А„йх + Аейу. (10) Ротором или вихрем плоского векторного поля А называется величина дА„дА. го1А = —" — — ". (11) дх ду' Замечание 1. В некторпом анализе ротором пространствеппого векторного поля (в данной точке) называется трехмерный вектор; вьппе ротором было незвано число. Связь между атими определениями такова: построим по вокторпому полю (1) пространственное плоскопараллельпое векторное поле А = =(А„, А„, О).
'Гогда го1Х=(0, О, го1А). (12) Из формулы Грина вытекает связь между циркуляцией и ро- тором ~(А, Т) Ыг = ~ ) го$Айхйу (13) 7 Ю Здесь ( — простая замкнутая кривая, ограничивающая область З. С помощью атой формулы ротор может быть определен инвариантным образом вкркуляляя вдоль Т (14) ~~0 площадь Здесь, как и в (8), кривая ( стягивается в точку (х„у,) и Я— площадь, ограниченная кривой (. Следовательно, ротор есть плотность циркуляции векторного поля. Замечание 2.
Поставим плоскому векторному полю А в соответствие плоско-параллельное векторное поле А н пространстве,(см. аамечание 1). Из векторного апализа можпо получить Следовательно, дивергенция есть плотность потока векторного поля. Циркуляция и ротор. Циркуляцией векторного поля А вдоль замкнутой кривой ( называется кнтеграл 3 99. ВектОРньте пОля ИА плоскости 333 следующую интерпретацию ротора. Пусть У вЂ” бесконечно малая окрестность точки (х„у,), тогда мгновенная угловая скорость гз вращения области У равна оа = '/,го1 Х, где гоз Х дается формулой (12) . 2. Солеиоидальные и потенциальные векторные поля. Векторное поле А называется соленоидальным (в области Р), если его дивергенция равна нулю: О(РА = О.
(15) Соленоидальное векторное поле сохраняет площадь. Именно, возьмем на плоскости некоторую область Р, и сдвинем каждую точку этой области вдоль линий тока за одно и то же время Р. Тогда область Р, сдвинется в область Р, и из условия (15) следует, что площади областей .Р, и Р, равны. Если рассматриваемое векторное поле — это поле скоростей жидкости, то иа условия Ыто = О следует, что если плотность жидкости всюду постоянна, то жидкость несжимаема. Пусть Р— одиосвязная область. Тогда из формул (6), (8), (15) следует, что интеграл и и(х, у) = ) — Авах+ А„ау (16) не зависит от пути интегрирования.
Следовательно, этот интеграл определяет одноаначяую в области Р функцию, которая называется функцией тока векторного поля А. Компоненты векторного полн можно выразить через функцию тока А„= —, АР— — — —. до до дд' Р дх' (17) Функция тока определяется по векторному полю однозначно, с точностью до постоянного слагаемого. Если векторное поле соленоидально, то линии тока являются лини ми уровня функции тока.
Действительно, вдоль линии тока из (2), (17) имеем Но до дх до НР— = — — + — — = — АРАХ + А„А„= О, а д*де дд дг так что Р(х, у) = сопз$ вдоль линии тока. Если область Р неодносвязпа, то функция тока, определенная формулой (16), будет, вообще говоря, неоднозначной.
Тем не менее, формулы (17) остаются в силе (они справедливы для всех еветвейэ функции тока), а локально (точнее, в любой одно- связной области, лежащей внутри Р) функция тока существует. Если векторное поле обладает функцией тока, т. е. существует функция о(х, у) такая, что соотношение (17) выполняется всюду в области Р, то поле соленоидально.
23 ю в, сидоРов и дР. 354 гл. ть конФОгмныв ОтОБРАжения Векторное поле А называется потенциальным, или беввихревым, в области Р, если его ротор равен нулю: гоФА=О ($8)' всюду в области Р. Пусть Р— односвязная область, тогда ин- теграл и (х, у) = ) А„ах + Ауау е« (49) не зависит от пути интегрирования и потому определяет однозначную в области Р функцию. Эта функция и(х, у) называется потенциалом векторного поля А. Компоненты векторного поля можно выразить череа потенциал (20) Обратно, если существует потенциал, т. е. функция и такая, что компоненты поля выражаются через зту функцию по формулам (20), то векторное поле потенциально. Линии уровня потенциала и(х, у)=совам называются дквипотенциальными линиями.
Эти линии ортогональны к линиям тока. Действительно, вектор-градиент угайи = (А„, А„), ортогонален к зквипотенциальной линии и касается линии тока. Коли же поле — потенциальное, но в неодносвязной области Р, то локально (а точнее, в любой односвязной области, содержащейся в Р) потенциал существует и определен однозначно, с точностью до постоянного слагаемого. Во всей же области Р потенциал может быть многозначной функцией, но соотношения (20) выполняются всюду в Р для любой из его «ветвей». Как известно из векторного анализа, всякое векторное поле может быть (локально) представлено в виде суммы соленоидзльного и потенциального векторных полей (9), [13), 3, Гармонические векторные поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
