1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Рассмотрим односвязную область С, = ~ Р. Образом области 6, при конформном отображении г = у© является односвязная область Р, =.Р. Пусть 7" (г) — регулярная в области Р, функция такая, что Ве((г)= и(г) (существование такой функции ~(г) доказано в з 7). Тогда функция Д~) = -~(д(Ь)) регулярна в области бн и поэтому й(Ь)= Ве ~(Ь)— гармоническая в С, функция (т 7).
Так как 6, — произвольная односвязная подобласть области 6, то й(ь) — гармоническая в области С функция. Теорему 1 можно также доказать следующим образом. Обозначим х(Е, ц) = Ке у(ь), у($, ц) — 1шу(~), где ь — $+ 1Ч. Тогда отображение г=у(~) (г =х+ 1у) можно записать в виде х х($, ц), у=у(э, и). (2) Так как у(~) — регулярная функция, то функции х(б, ц), у(б, ц) удовлетворяют условиям Коши — Римана. Поэтому при замене переменных (2) непосредственно получается формула (3) дг дц ~ дг~ дгг/ Из формулы (3) следует, что если и(г) — гармоническая функция по переменным х, у, то й(Ц)= и(у(~)) — гармоническая функция по переменным $, ц, т.
е. уравнение Лапласа инвариантно относительно конформных отображений. Этот факт лежит в основе метода решения задачи Дирихле с помощью конформных отображений. 8 88. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ Из условий (5) получаем и )~п=, =- О, и!д, (71 Таким образом, задача (4) — (5) свелась к задаче Дирихле (6) — (7). Решим зту задачу. Пусть Ь =$+1ц =ре*'. После замены $ = рсозО, т! = =рзшО уравнение Лапласа (6) запишется в виде ди 1 ди 1 ди — "+ — — + — -', =О. др' Р дР рг де Так как граничные функции в условиях (7) не зависят от О, то естественно предположить, что и решение задачи (6) — (7) не зависит от О, т.
е. функция й(~) является функцией только от одной переменной р. Найдем такое решение — тем самым, в силу единственности решения задачи Дирихле будет доказано, что решение задачи (6) — (7) не зависит от О. В случае, когда функция й(ь) не зависит от О, уравнение Лапласа (6) является обыкновенным дифференциальным уравнением д'й 8 ай — + — — = О.
др р др Общее решение этого + с,1в )~!. Из условий (7) функция и (ь) уравнения й(ь)= с, + с,1пр = с~+ находим с,=О, с,=Т/1пВ„т. е. = — 1п!~! являетсн решением задачи (6) — (7). Для нахождения решения задачи (4) — (5) остается перейти к координатам г = г+ 1у. 22 го, в. свдавов и ии. Пример 2. Пусть Р— область 1шг(О, )8+ М! ) В, где 1 > В = О (рис.
125). Решим задачу Дирихле Ьи О, гвиР; (4) и)и .=в = О, и)>*+и ~ и = Т = сопзт. (5) в+ 8а Рассмотрим конформное отображение ь = й (г) = —. области Р на концентрическое кольцо К: В, ( )ь! .= 1, где а У1' — В', В, =(В + 1 — а)/(В + 1 + а) (пример 38, $ 35). При этом отображении прямая 1ш г = О переходит в окружность !~! =1, а окружность )8+й! = — в окружность )1! = В,. Пусть г = у(Ц) — функция, обратная к функции ~ =18(г). По теореме 1 й (~) = и(д(~) ) — гармоническая в кольце К функция: 88й = О, ~ ы К.
(6) Гл, ть ко««ФОРз«пь«к отоБРАжения 838 Так как и(г) = й(Ь(г)) и )з+«а! )х +у — аз+«2ах! ! з — ха ! х ! ( )з то решением задачи (4) — (5) является функция и(а,у) = — )п т У(хо+ у' — а')'+ 4а'х' хо+ (у — а) где а = И' — П', зз« =(В+1 — а)/(В+1+а). Д 3. Задача Дирнхле для уравнения Лапласа в круге. Теорема 2. Пусть фу««к«)ия и(г), гармоническая в круге )г! ( 1, непрерывна в замкнутом круге )г!» 1. Тогда имеет место Формула Пуассона и (те«о) = — ( и (г«е) ««О, (8) / 1 — 2т сох(«р — 0)+ т~ о где г = ге", 0 (г(1.
Доказательство. Заметим, что при г =0 формула (8) совпадает с (6) $10 (теорема о среднем для гарма«п«ческих функций). Покажем, что при г оа 0 значение и(г) также можно найти по теореме о среднем с помощью конформного отображения. Зафиксируем точку г, = т,е з,О» г, < 1 и рассмотрим кон— озо формпое отображение з — з й (г) о 1 — зз о (9) Функция г = у(Д) конформно отображает круг )ь! (1 на круг )г! ( 1 так, что у(0)= г,. Функция и(г), гармоническая в круге )г! (1, непрерывна в замкнутом круге )г!» 1. Следовательно, функция й(~) = и(у(ь)) является гармонической в круге )ь! (1 (теорема 1) и непрерывной в замкнутом круге )~!» 1. По теореме о среднем для гармонических функций ($10) находим и(г) = и(0) = — ) и(е«Е)с)зр. о Вернемся к прежним переменным.
В интеграле (11) сделаем круга (г! ( 1 на круг )ь! ( 1, Ь(гз) = 0 ($34). Из (9) находим 1+ зо =у(ь) =='. (10) 1+ ьх 1 38. ЗАДАЧА Дигихлк замену 1 — г 1 — ~о~о оо+о о м г 1е — Ве— 1 — 2гссо(ц — 0) -,-е ~ е — е~ е — о Поэтому формулу (8) можно записать в виде 1 Г . еое).о и (г) = Ке — ) и (е'о) —, 86, 2я .) еоо — е о (14) так как и(е") — действительная функция. Полагая в интеграле (14) е" ~, откуда НО = †., получаем и (г) = Пе — )~ и К) —. —, ~ г ~ ( 1. 1 1 Е+еа~ (15) Зз о Таким образом, формулу Пуассона (8) можно записать в виде (15).
3 а м е ч а н и е 1. Теорема о среднем справедлива для гармонических и ограниченных функций в круге, непрерывных вплоть до границы круга, за исключением конечного числа точек. Поэтому для таких функций справедлива и формула Пуассона. С лед с те не 1. Пусть функция 1(г) регулярна в круге ~г~ ~1 и ее действительная часть и(г)=Не((г) непрерывна в замкнутом круге Ь~ ~ 1. Тогда имеет место формула Шварца У(г) =- —, ~ и(Я) —,— +11гп1(0), ~г((1.
(16) 1Р=г Доказательство. Пусть Р(г) — интеграл, стоящий в правой части формулы (16). Функция Р(г) регулярна в круге ~г~ (1 (теорема 1 2 16) и в силу (15) Вер(г)= и(г)=йе1(г). Следовательно, Г(г)=1(г)+1С (и. 3 2 7), где С вЂ” действитель- 22* е оэ вез — ь, (еоо) — о 1 — е~ое 'о Тогда й(ео) й(Й(е")) п(е*'). Из (12) находим (е оо) (е оо) 1 2го соо (Цо Е) + "о Заменяяг, = г в~о' на г ге" из (11) — (13), получаем формулу (8), Теорема доказана. Преобразуем формулу Пуассона к другому виду. Заметим„ что 24О Гл. уь коп(ьогмньге отовглжепия ная константа. Так как 2а г (Р) = —.
~ и(~) — = — ) и(е'е) с!9 = и(0), в1 46 2п(',) ь 2п,) щ=1 о то 1шГ(0) =О. Из равенства 1шг(0) =1ш1(0)+С находим С= — 1ш((0), т. е. Р(г)=1(г) — !1ш)(0), и формула (16) доказан». С помощью формулы Пуассона можно решать задачу Дирих- ле для уравнения Лапласа в круге )г! (1. В частности, если граничная функция является рациональной функцией от з)п()( и соз(р, то интеграл в формуле (15) вычисляется с помощью вычетов. П р и м е р 3. Найдем решение задачи и)а, = б,ю4" (17) где г= те". Воспользуемся формулой (15).
Пусть (.=е", тогда з)п9= —,', ~~- — ',~. со 9= —,' (~+ —,') з(а 9 ьг — 4 5+ 4соз9 2г(2йг.(- 5~+ 2) Вычислим интеграл У = —, (' (~' — 4) (~ + .) где ок=2п 2 (ц +5~+2)(~ .)~ ружность К! 1 ориентирована против часовой стрелки. Подын- тегральная функция г" (~) в области )ь! ~ 1 имеет одну конечную особую точку ь = — 2 — полюс первого порядка и устраннмую особую точку ь= . Следовательно, по формуле (19) $28 1 = — гез Г(~) — гез г" ((".). 4= — г 4= ю По формулам (3), (12) 2 28 находим 4' 2' (~) 4'' 2' 2 4= — г 4( (г + 2)' По формуле (15) получаем решение задачи '(17) и(а, у) = Ве ( ( '-(( (*(.(( (.,' .((„„~(-4 Задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце р ( )г! (П (в частности, в круге или во внешности круга) можно также решать методом разделения переменных [2!.
При эхом использу- ются гармонические функции 1пт, г созп(р, т" ашп(р, и=О, ~1, ~2, ... (18) 4. Задача Дпрнхле для уравнения Лапласа в полуплоскости. Теорема 3. Пусть функция и(г), гармоническая и ограни- ченная в полуплоспости 1шх)0, непрерывна вплоть до прямой з зо злдлсьл дигихле 1нтг=О, за исключением, бььть может, конечного числа точек. Тогда имеет место формула Пу а с со на + э и (г) = — ),, ььь', 1 ( уа(ь) ) (ь — х)'+з где г =х+ ьу, у > О. Д о к а 3 а т е л ь с т з о.
Зафиксируем точку го = хо + ьуо уо > 0 и рассмотрим конформное отображение з — г о о полуплоскости 1пь г > 0 на круг 1ь1 ( 1, Ь(г,) = 0 Я 34) . Из (20) находим (1) = ' ~' (21) Вернемся к прежним переменным. В интеграле (22) сделаем замену ~ь — ь еиа = ь,(() = (23) ь — ь о Имеем й (е'о) = й (й (() ) = и (() . Из (23) находим зо ьо ~ "о (24) ь1ь оо! (ь ~о) +зо Заменяя г, = хо+ ьу, на г=х+ ьу, нз (22) — (24) получаем формулу (19).
'лак как з,, = Ве, „, то формулу Пуассона (19) ( П вЂ” х)о -1- о ь (ь — о)' можно записать в виде + О и (г) = Ве —, ) —, ььь. 1 ( и (ь) (25) Функция г= у(ь) конформно отображает круг !ь1< 1 на полу- плоскость 1ьпг > 0 так, что д(0) =г,. По теореме 1 й© = и(у(ь) ) — гармоническая в круге 1ь1(1 функция. Из условий теоремы следует, что функция й(Ц) ограничена в круге 1ь! (1 п непрерывна вплоть до окружности 1ь! = 1, за исключением конечного числа точек. По теореме о среднем (замечание 1) имеем ол и (г,) = и (0) = — ~ и (еьз) ь(ь!ь.
о гл. уь конюогмные отоБРАженпя С помощью формулы (19) или (25) можно решать задачу Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости 1шх)0. Рассмотрим, например, задачу йи=О, у~О; и)„,=В(х), (26у где рациональная функция Л(х) действительна, не имеет полюсов на действительной осн и А(х)- О при х- . Решением этой задачи в силу (25) является функция + ОО и (х) = Ке — ~ Г яО) где 1шх) О. Этот интеграл можно вычислить с помощью вычетов (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
