1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 65
Текст из файла (страница 65)
П Пример 18. Рассмотрим интеграл х о (х) = ) )/ йо + о(т) й, о где функция э(х) непрерывна и неотрицательна при х ~ О, и(х)- О при х- + и й> Π— постоянная. Вычислим асимп- тотику Р(х) при х- + а) Так как Уйо+ э(х)- й при х — +, то в силу теоремы 1 г"(х)- йх, х- + О б) Пусть, кроме того, ) э(1)М(со. Тогда можно получить о более точные оценки для Р(х). Имеем г" (х) = ) ( ~~ йо -)- э (1) — й) М + йх = о СО СО = йх + " от — ~ " о)1. (31) о У'й"-)-о(о)+й ~о о'й~+о(о)+й зво Гл. чп. элемеитАРные Асимптотические методы Последнее слагаемое есть о(1) ири х — +»; следовательно, Г(х)=йх+С+о(1), х- + С = ( оо. , Уе+.ома в) Если известна более точная информация о функции о(х), то можно получить еще более точную оценку для Г(х). Пусть, например, и(х)+ й'~ 0 при х > 0 и и(х)- Ах-, х- +с, где А то О, а ) 1. Тогда о(.
) — х ", х -о. + оо, у'й + (х)+й так что иэ формулы (31) и примера 17 получаем Ах о+1 Г (х) = йх+ С +, „„+ о (х "+'), х ~. + оо. П Пример 19. Вычислим асимптотику при в — +О интеграла 1 Г(в) = Гу(0 и ,) о+в' о Здесь 1(1) — непрерывно дифферекцируемая при 0 е 1< 1 функция. Заметим, что при е = 0 интеграл Г(в) расходится, если 1(0)~0, и сходится, если 1(0)= О.
Поэтому представим этот интеграл в виде 1 1 Г (е) = ) — оо + ) ' ', Ж = Г, (в) + Г,(е). Имеем Г,(в) = ДО)11п(1+ в) — 1п з1 = — ДО) 1п е+ 0(в). Покажем, что Г,(е) = О (1), в - +О. Функцию 1(1) — г(0) можно представить в виде 1(1) — ДО) йр(1), где <р(Г) — непрерывная при 0~1<1 функция. Сле- довательно, 1 1 )Г,(.)(~~ ('Р("(' А1<М~ —,', В~М, о о где И = п1ах ) 1(~(Г) (. Таким образом, ОХ1Х1 1 ~ 1 в У(0) 1пв+ 0(1), е- +О П о $ !!.
пРОстейшие лстгмптотические Оцкнки З81 3. Асимптотические оценки некоторых сумм. Рассмотрим сумму и ~(п) = Х ((й). (32) в=о Нас интересует асимптотическое поведение Я(п) при и — +аа. Эта задача в общем случае крайне сложна; ограничимся тем, что рассмотрим только знакопостоянные суммы (т. е. все слагаемые ~(11) действительны и одного знака). Один из основных методов получения аснмптотических оценок для сумм вида (32) — это приближенная замена суммы интегралом.
Теорема 2. Пусть 1бунпция !(х) нвотрицатвльна, непрерывна и монотон11а при хЛ-"О. Тозда а и ~~'"„~(й) = ) !(х) дх+ 0(1) + О(!(п)) (и-эоо). (33) ь-е о Доказательство. Пусть 1(х) не убывает. Тогда ) ~(х)с)х(~()с)( ~ ~(х) Мх, Суммируя зги неравенства при й-1, 2, ..., и — 1, получаем и — ! а ) !'(х) с1х(Б(п) — ~(0) — т'(п) () /(х) с!х. в 1 Следовательно, ! 8(п) — ~(0) — 1(п) — ) ((х) дх1( ) ~(х)Ых(~(п), (34) в 1 и†! что и доказывает (33). Аналогично рассматривается случай, когда функция Дх) не возрастает.
П р и м е р 20. Покажем, что — = 1п и + О (1), и -и + оо. Х ! Из теоремы 2 следует, что при п- Х вЂ”,' = 1 — ",*+О(1)+О ~ ! ) =1 +,О(1). П Ь1 332 Рл. Тн. элементАРные Асимнтотические методы Пример 21. Пусть а) — 1. Тогда 2- па+1 к —, и- сс. а+1 ' А 1 В данном случае, по теореме 2, имеем при пи ~ 1с = ) х дх+ О (1) + О (па) = А +ф ~1+О( а++ )+О( 11 " ' П Приведем еще один реаультат о приближенной аамене сума мы (32) интегралом ) ((х) 11х. о Теорема 3. Пусть функция 1(х) непрерывно дифференцируема при х ~ О. Уезда ! и и и ~ч", ) (к) — ) 1(х) дх1( ~ 1'(0) ~ + ~ ~ (' (х) ~ дх. (35) А=о о о Докаеательство.
Имеем 1(й)= ) .~(й)~*=,~ 1()д + () А-1 1-'1 ~Ж) = ) У()с) — П~))д~. А-1 Оценим 1д()с)!, Так как 1()с) — ((х) = ~ ('(1) ос, то при х й — 1(х<й 11(й) — 1(х)!<,) ~1'(1)!дс А-1 откуда вытекает оценка у д (й)( ~ ) ~ у (й) — 1( ) ~ д < ) ~ ) ~ у (с) ~ дт ) д* = ~ у' (т) ~ и. А-1 А — 1',А — 1 1 А — 1 Следовательно, ! и и 1 и Х((й) — ~у()а~=~у(0)+ Х у(й)~<!у(0)~+ ч', ) )1«)~а, А=о о А=1 1А — 1 откуда вытекает (35). $ 42.
Асимптотичнскик РАзлОжения Следствие 3. Если условия теоремы 3 выполнены, то справедлива опенка ! ФФ аэ ОЬ Е У(Ч вЂ” 3 У(х) д*1<! Пи) !+ ~ ! У'(х) ! 1х, (36) ь з п П в иредполохсении, что все входяи1ие е гту формулу ряды и интегралы сходятся Отметим, что примеры 20, 21 можно было бы исследовать с помощью теоремы 3. П р и и е р 22. Покажем, что прн и ) 1 (Ю Х „ †а я-т. оо. ьа а — 1 М=п Воспользуемся формулой (36). В данном случае ~(х) ° х ", у'(х) — ах ' ', так что ЮФ ОО ) ! 1' (х) ! дх = и — '*, ) 1(х) Нх = и при я- +ге — а+1 — — — + 0 (а-"). Ц $42.
Аснмптотичесние разложения 1. Пример асям птотич еского разложения. Рассмотрим функцию СО 1(х) = ~1 е" М, где х>0, и исследуем поведение этой функции при х-ь + >. Интегрируя по частям, получаем 4Ю ° О 1(х) = ~с-',це*-с) — т ~ т — * — ~,р Повторяя интегрирование по частям, получаем ~(х)= — — — + — — ..
+ + Г т г 2 < — 1)~а!1 х хг х" +~ -(- ( — 1)"+'(и -(- 1) ! ) е" 'г " ' сц Ба (х) + Ва (х) Эя4 гл. чп. элвминтхгньп хсимптотичкскин мктоды где Я„(х) — выражение, эаключенное в квадратные скобки. Оценим В„(х). Так как е"-' < 1 при х - 1, то ) Л„(х) ( а= (п + 1) ! ) 1 " ' а)т = — +, . а Следовательно, при х - + 1(х) ' + а '''+ +О) +1)' 1! 2! [ — 1)~ ' (и — 1)! / 1 Модуль остаточного члена не превосходит величины 2п! х-" '. Мы получили последовательность асимптотических формул, каждая из которых уточняет предыдущую: у( ) = — '+ О( — 1,),,1( ) = — ' — — ', + О~ — 1,), ..., и т.
д. Зти формулы поэволяют приближенно вычислять функцию 1(х) при больших еначениях х, так как ) 1(х) — Я„,(х) (( — „', . Правая часть неравенства (2) мала при больших х. Например, при х ~ 2я имеем Ц(х) — Я„,(х) ! < 1/(и2"). Поэтому при больших значениях х эначение функции 1(х) может быть вычислено с большой точностью, если ваять достаточно много членов асимптотического рааложения (1). Интересно, что полученная асимптотическая (при х — + ) формула (1) годится и для не очень больших аначений х.
Например, при х = 10, и = 5 получаем Я,(10)= 0,09152, 0 < 7(10) — Я,(10)< 0,00012, и относительная ошибка приближенной формулы 1(10) = Я,(10) составляет примерно 0,1 %. Заметим, что непосредственное вычисление функции 1(я) (например, с помощью ЭВМ) тем сложнее, чем больше х. В то же время асимптотическая формула (1) тем точнее, чем больше я. Лаплас писал, что асимптотический метод «тем более точен, чем более он необходим».
Функции 1(х) можно сопоставить ряд т'(х) '%:~ ( — 1) а! а=О Этот ряд расходится прн любом х. Действительно, модуль отношения (и+1)-го члена ряда к и-му равен (и+1)х-'- аа при п — . Тем не менее этот расходящийся ряд, как было покааано выше, может служить для приближенного вычисления функции ~(х). 5 42.
Асимптотическии РАзлОжения 885 Пример, который мы привели, был исследован еще Зйлером. В настоящее время асимптотические методы широко используются в самых различных областях математики, механики, физики, техники и т. д. Ценность асимптотическнх методов состоит в том, что они позволяют получить простые приближения для сложных объектов, что, в свою очередь, дает возможность получить хорошее качественное представление о соответствующем явлении.
Настоящая глава знакомит читателя с некоторыми наиболее употребительными асимптотнческнми методами. Перейдем к строгому изложению понятия асимптотического разложения. 2. Понятие асимятотнческого разложения. Пусть М вЂ” некоторое множество точек (на действительной оси или на комплексной плоскости), а — предельная точка этого множества.
Последовательность функций (ф„(х)), и = О, 1, 2, ..., определенных при х ш М в некоторой окрестности точки а, назьгвается асимптотической последовательностью (при х — а, х ~ М), если для любого и ф„+,(х)=о(ф„(х)), х — а, хшМ. Приведем примеры аспмптотнческих последовательностей. Пример 1. Последовательность ф„(х) = х" является асимптотической при х — 0 (в качестве М можно взять окрестность или полуокрестность точки а = 0).
() П р и м е р 2. Последовательность ф„(х) .= х-" является асимптотической прн х — а, х ы М в следующих случаях: 1) М вЂ” множество !х~ ) с, а = 2) М вЂ” полуось х ) с, а =+ 3) М вЂ” полуось х<с,а= — . П П р и м е р 3. Последовательность ф„(г) = г" — асимптотнческая при г- О, г~М. В качестве М можно взять проколотую окрестность 0 < Ь! < г точки г — 0 или сектор с вершиной в этой точке: О< )г~ <г,а<агяг<р (0<р — и<2п). Д П ример 4. Последовательность ф.(г)= г "— асимптотическая при г-; в качестве М можно взять окрестность точки г= » (~г! >Л) или сектор: Ь1 )Л, и< агяг < р (0< < р — а < 2я) комплексной плоскости.
Д Приведенные в этих примерах асимптотические последовательности нааываются степенными асимитотичесиими последовательностями. рассмотрим понятие асимптотического разложения; это понятие принадлежит А. Пуанкаре. О п р е д е л е н и е 1. Пусть последовательность (ф„(х) )— ОО асимптотическая при х — а, х ж М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
