1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Формальный ряд ~ а„ф„(х)„ 25 Ю. В, Сидогив и ДР, 386 ГЛ. УП. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ где а — постоянные, называется асимптотическим разложепивм функции г(х), если для любого )о ~ О 1(х) — ~~ а„~р„(х) =о(ц»н(х)), х-»-а, хан йт. (3) Ряд ~ а„цо(х) называется асимптотичвским рядом длл функ»-о ции )(х), и употребляется запись )(х) ~ а„ц„(х), х-» а, хееЛХ. В и, 1 было получено следующее асимптотическое разложение: » Ю» ' ..'Г (4) о »»=о В дальнейшем будем опускать указание на множество М в тех случаях, когда зто не вызовет недоразумений. Подчеркпем то важное обстоятельство, что аснмптотнческнй ряд может быть расходящимся.
Например, аснмптотнческнй ряд (4) расходится при любом х. Эта возможность заложена в определении 1. Действительно, положим и )тн(х) = 1(х) — ~ч~~ а„~р„(х). о Тогда, по определению, (х) -»-О, х — «а, х~ Л1, цн (х) но ничего не говорится о поведении остаточного члена Вн(х) при д» вЂ” (ср. с определением сходящегося ряда!). Разумеется, сходящиеся ряды также являются асимптотпчеь скими, например е" ° т —, (х-«О). Однако термин «асимпто— о тический рядо обычно употребляется по отношению к рядам, которые расходятся или же сходнмость которых не удается установить. Важным свойством асимптотического разложения является его единственность. Теорема 1. Асимптотическое разлохвенив данной функции по данной асимптотической последовательности единственно.
888 гл, ать атгементАРные Асимнтотическне методы б) ~(г) у(г) ~~а„с„г "; о=о в) — т, с(„г-", если Ь, чь О. Х (х) г (х) Коаффициенты с„, а„вычисляются по тем же формулам, что и для сходящихся степеннйх рядов. Докажем, например, б).
Остальные утверждения доказываются аналогично. Для любого целого Л «О имеем н и ~ (г) = ~~.", а„г " + О (г и '), д (г) = ~~.", Ь„г ' + О (г н '), о=о о=о поа тому тх(г) д(г) = ~~", с„г "+ 0(г н '), с„= а Ь„+ а,б„х+ ... + а„Ь . х=о 2. Степенные асимптотические ряды можно интегрировать почленно. Именпо, справедлива Теорема 3. Пусть 88ункция )(х) непрерывна при х«О и СО )(х) Д а„т ", х-». + со. Тогда )(т)аг „т„" х — "»', х — «-+ ос. 2 Докааательство. Имеем прн любом целом Ат«2 \ Ж Ю х х о 2 о=х х Так как )Лн(Ф)! < свх в ' при достаточно больших 1, где сх— постоянная, то 00 сн Л~(Т)й <с ~ х и 'ах= — нх — к=О(х-н). Л' 3. Аналогично докааывается следующее утверждение. Теорема 4.
Пусть !Ьункция ~(г) регулярна в секторе Я: !г! «В, со<ага'г< р (О< р — сх<2я) и разлагается в асилхптотический ряд ) (г) ~", а„г-", г — ~ оо, г ен Я. е зг. Аснмптотическне РАзлОжения 389 Тогда при г- », гжо, где У вЂ” любой замкнутый сектор, лежащий строго внутри Ю, справедливо асимптотическое разложение О ОР 1 (ти) д~ ~~ и х-и+1 Здесь интеграл берется по любому пути, лежащему в секторе Я. 4.
Дифференцировать почленно асимптотический ряд, вообще говоря, нельзя. Но если )(г) — регулярная функция, то аснмптотический степеннбй ряд можно почленно дифференцировать. Теорема 5. Пусть Функция )(х) регулярна в секторе Я: 1г~ >Л, ясагдх<~ (О<о — а<2п) и разлагается в асимптотический ряд М ((х) ~ а„г — ", г-+ со, хя 5.
и=о Тогда справедливо асимптотическое разложение Ю ~' (г) — ~~'„"паиг — "— ', х-+. оо, х ен 3, и=1 где Я вЂ” любой замкнутый сектор, лежащий внутри Я. ДОКаеатЕЛЬСтВО. ПуСтЬ Я вЂ” СЕКтОр СО1<атуг<~о СО< < а, < р, с р. При любом г сз Я имеем В качестве ц возьмем окружность )ь — г! е)г!, лежащую в Я, где Ос е<1; так как г1по, то е можно выбрать не зависящим от г.
По условию, прн любом целом Х> О 1(х) = ~л'., а„г и+ Вк(х), )Лн(х)((ск)г! ', х~ я, и о и функция Вв(г) регулярна в секторе Я. Имеем (' (г) = — ~~", паиг-и-1+ Нн(г) и 1 Остаточный член оценивается так: ~ р йн(ь) )Лн(г))= — 1) —,д~1(сне — 1)г) — 1тоах)~) 1(сн)г) и ', так как )ь! ~и(1 — е)!г! при ьаз ц. Здесь сн) Π— постоянная. зео Гл. 711. элементагные Асимптотические методы $43. Метод Лапласа 1. Эвристическне соображения.
В этом параграфе рассматриваются интегралы вида ь г (Л) = 1 Х(Х) е" )1)Х, (1) а которые называются интегралагви Лапласа. Здесь Х = [а, Ь)— конечный отрезок, Л вЂ” большой параметр. Тривиальные случаи Х(х) О или Ю(х) == — «олег не рассматриваются. Всюду в атом параграфе предполагается, что фркк11ия о'(х) принимает только действительные значения. Функция /(х) может быть комплексноаначной.
Пусть функцяи Х(х), о(х) непрерывны при хыХ. Нас интересует асимптотическое поведение интеграла г" (Л) при Л- + . Интегралы Лапласа вычисляются в явном виде в немногих случаях, тем не менее их асимптоткку удается вычислить практически всегда. Пусть дая простоты наибольшее значение функции о(х) на отрезха ке Х доствгается только в одной точке Рис. 157 х, ыХ. Рассмотрим два наиболее важных случая. 1.
шах о'(х) достигается только во внутренней точке х, отрез- ссы 1 ка Х и о'" (х,)ФО. Ясно, что при болыпях Л) О величина интеграла определяется в первую очередь экспонентой е"'*'. Рассмотрим функцию 1(В1Ю-В(и,)) По условию, й(х„Л) = 1 и )«(х, Л)( 1 при х Ф хо Л ) О. С ростом Л максимум в точке х, становится все более и более «острым» (рис. 157). Поэтому значение интеграла (1) будет приближенно равно интегралу по малой окрестности (х,— 6, х,+б) точки х,. В этой окрестности можно приближенно заменить функцию 1(х) линейной, а функцию Ю(х) — квадратичной: 1(х) 1(х«) ~(*) ~(ха) 7, 8 (хо) (х хо) 1 Поэтому (при Х(х,)ФО) имеем и +з г' (Л) е~("о)7(х ) ~ е1мюв"("о)(" "о) дх, (2) »-з а Строгое обоснование этих приближений будет приведено в и.
4. В зг. ИетОд лАплАсА ЗЭ1 Делая замену х — х,=П>'-Лда(ха) (Яа(х,)(0, так как х,— точка максимума), получаем, что последний интеграл в (2) равен гУ=~Ба(.а) 1 е — > (г 61. а, ( о) г-)г гьз,—,(,— При Л- + пределы интегрирования стремятся к ~, и этот интеграл стремится к интегралу ~ е ' >га>1 = 'т'2п, Следовательно, аснмптотика интеграла г" (Л) при Л -+ имеет вид Р(Л) ж1(хг) — „е ( г) 2.
тах Я(х) достигается только на конце х = а отрезка 1 и хит Я'(а)ч» О. Те же соображения, что и выше, показывают, что при больших Л интеграл Р(Л) приближенно равен интегралу по малому отрезку [а, а+ б). На этом отрезке можно прнбли>кенно заменить функции >(х), .Я(х) линейными: У(х) = У(а), Я(х) = Я(а)+(х — а)Я'(а), тогда а+в р (Л) аз>а>г ( >) ~' Цх-а)вца) а 1 а>ге Са> 1 Последний интеграл равен — „,, + „1 — —,, так как Ю'(а) с О. Следовательно, при Л - + Р (Л) „еьз>а>. (4) — ЛЬ" (а) Формулы (3), (4) — основные асимптотические формулы для интегралов Лапласа. Перейдем к строгому выводу этих формул. 2.
Максимум Я(х) на конце интервала. Получим сначала грубую оценку для иптегралов Лапласа. Лемма 1. Пусть 1=(а, (>) — конечный или бесконечный интервал, 8(х)(С, хжЕ, (5)' и интеграл (1) сходится абсолютно при некотором Л,) О. Тогда при ВеЛ)Л, )Р(Л) ) ~~ С,еа не х (6) где С, — постоянная. 392 Гл. уп, злементлгные Асимптотические методы Д о к а з а т е л ь с т в о. При Ве Х > Х, имеем в силу (5)' ( (ъ — ь,)в< >! -С скгь х т где С = е ~а~. Следовательно, ь ь 1аа)1=/! уа),~~~с'-'л~*'а*! .с,.' '[~хс,>~,'а*'н,.
а а По условию, последний интеграл сходится, и оценка (6) доказана. Всюду в дальнейшем предполагается, что 1=[а, 6) — конечный отрезок, и что функции )(х), Я(х) непрерывны при х~Х. Асимптотические формулы для интегралов Лапласа, как будет показано ниже, пригодны не только при Х- +, но и при к Х- °, ).~аЯ„где Я,— сектор )агу) [( —. — з в комплексной плоскости Х. Здесь 0( з ( я/2.
Отметим, что если А~в Я., то [Х ! 'л- Ве Х Р- "!И з1п е. Позтому при ). - аа, Х ш Я. справедливы оценки: (Ве2)-а 0([Х!-а) п)0 !е-са! О(!) (-а) где )У ~ 0 — любое. Теорема 1. Пусть Я(х)(Я(а), хчьа; Я'(а)ФО, (7) и функции !'(х), Я(х) бесконечно дифференцируемы в окрестности точки х= а. Тогда при Х-, Х~ид, справедливо асимптотическое разложение р(ь) — е"воз Х с„) (8) и-О Это разложение можно почленно дифференцировать любое число раз. Козффициенты с„вычисляются по формуле с„=( — 1)"+'(, — ) (, )~ .
(9) Главный член асимптотики имеет вид (4) или, более точно, Р(Х) = „, ~у(а) + 0( — „)~. (10) Доказательство. Так как Я'(а)чь О, то можно выбрать б > 0 такое, что Ю'(х)чьО при а( х( а+ 6. Разобьем интеграл (1) на два: р(х) = р,(х)+ р,(х), где Р,(Х) — интегРал по отРезкУ [а, а+6].
Оценим Ра(Х). Так % 43. МЕТОД ЛАПЛАСА 393 как функция 8(х) достигает прн хш1 наибольшего значения только в точке а, то Я(х) -= Я(а) — с при а+ 6 < х ~ Ь, где с > 0— постоянная. По лемме 1 при ХшЯ. имеем Ув(Х) ] ( сь(ежа~а> о] Внеинтегральная подстановка при х а+ 6 экспоненцнально мала по сравнению с евое (при Х - », Х ш Б,), так как Ю(а+ 6) — Б(а).= О.
Оценим интеграл Р„(Х). На отрезке 1, [а, а+ 6] имеем 8'(х)<0, и потому существует постоянная Я,~О такая, что Я'(х) < — Я, при х ш 1,. По формуле Лагранжа 5(х) — Б(а) =(х — а)Я'(9), где $ы(а, а+6), и Я(х) — Я(а) ( — Я,(х — а), Я, ) О, на отрезке 1,. В силу непрерывности функции 1,(х) имеем: !Л(х)( « М при хш1. Следовательно, а+с ] Р в(Х) в — 1з(а> ( ( ~ ] ~ (х)] ('емз(а) — з(ап]сух а а+в 1 С учетом этой оценки соотношение (12) можно аапнсать в виде Р (Х) = еье( >] 1(,) + О(Х )~. ( — ХЯ' (а) (18) Из этого соотношения, оценки (11) и тождества Р(Х) Р,(Х)+ + Р,(Х) вытекает формула (10) для главного члена асимптотики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
