1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Поэтому интеграл Р,(Х) экспоненциально мал по сравнению с е"" и, в частности, по сравнению с любым членом с„Х "-'е""' асимптотического ряда (8). Интеграл Р,(Х), который берется по отрезку (а, а+6], проинтегрируем по частям: а+ь а а+ь Р (Х) = ~ еш(*11,(х)ь(х, 1,(х) = — — ~ —,3 ). а 334 гл. ттк элвмкнтагнык асикптотнчвскик мвтоды Интеграл Р„(Х) имеет в точности тот же вид, что и интеграл Р,(Х), и 1 (х)аллое )а+с Интеграл Р„(Х) имеет тот же вид, что и Р,(Х), только Для интеграла Р„(Х) справедливо соотношение (18), с заменой ) на ~ь эначит, Р (Х) ьч(а) 7 (а) + 1 ( О (Х-э) — Л8' (а) — Л Я (а) Продолжая этот процесс, получаем разложение (8) и формулу (9).
Остается докаэать воэможность почленного дифференцирования ряда (8). Функция Р(Х) является целой функцией Х (теорема 1 3 16), и асимптотический ряд (8) можно почленно дифференцировать в силу теоремы 5 $42. П р и м е р 1. Рассмотрим преобразование Лапласа функции )(х) Р(Х) = ~~(х)е Ых. о (14) Будем предполагать, что функция ((х) кусочно непрерывна при х>0, бесконечно дифференцируема в окрестности точки х= О и удовлетворяет оценке )((х)1 ( Ме'" при х > О. Покажем, что тогда Р(Х) — ~ )(")(0) Х " (15) прв Х, ХыЯ.. В данном примере 8(х)=-х, так что шах Я(х) = Я(0) = О, хло и Я'(0) ть О.
Но теорему 1 нельзя непосредственно приме- нить к этому интегралу, так как область интегрирования неогра- ничена. Рааобьем интеграл Р(Х) на два: Р(Х)=Р,(Х)+Ра(Х), где Р,(Х) — интеграл по отрезку [О, 1). Так как Я(х) — х( — 1 при х~ 1, то по лемме 1 (Ра(Х) ( (С!е л)„Х аль, эеа мктод лапласА и этот интеграл экспоненциально мал при Х-, Х~нд,. Применяя к интегралу Г,(Х) теорему 1, получаем (15). П П р и м е р 2. Рассмотрим интеграл вероятностей Ф(х) == "е ' сИ ~/ и вычислим его асимптотику при х — + . Так как О е '~сЦ=- 1)~п, 2 о то Ф(х) = 1 — — г" (х), г" (х) = е ' М, ~п Преобразуем интеграл г" (х) к интегралу вида (14). Делая замену переменной 1= хт и полагая затем т*= 1+ и, получаем О Р(х) = —,хе-"'~е *"(1+ и) '~~ди.
2 о Последний интеграл имеет вид (14), где А=хе, 1=(1+ и) '~а, так что ~ю(0) = ( — — ) (2Й вЂ” 1)!!. Применяя формулу (15), получаем, что при х- + со ( — 1)~ (2Л вЂ” 1)!! . У'и 2ьееь Эта же формула справедлива при комплексных х, (х(— Я !агах(( 4 — з (0<э<я(4). Действительно, если х лежит в этом секторе, то Х = х' лежит в секторе Бее: (агля(( —" — 2з, в котором справедлива формула (15).
! 3. Лемма Ватсона. Асимптотика многих интегралов Лапласа сводится к вычислению асимптотики эталонного интеграла а Ф(Х) = !! е м 1 у'(1)сй. (17) о Лемма 2 (лемма Ватсона). Пусть се~0, (3)0, Функция 1(1) неирерыена лри 0~1<а и бесконечно дифференци- 399 гл. чп. элвмвнтлгнык лснмптотнчвскив мвтоды (18) (19) при ВеЛ) О. Здесь Л м — регулярная в полуплоскости ВеХ > 0 ветвь, положительная при положительных Л. Пусть Х) О. Делая замену И" у, получаем, что стоящий в левой части равенства (19) интеграл равен Вж 1 [ в (ич) 1д 1 Л э/сТ/б~ а „) а ~а/ е Этот интеграл — регулярная функция в полуплоскости ВеЛ) О.
Правая часть равенства (19) также аналитически продолжается с полуоси (О, + ) в полуплоскость Ве Х ) О. Так как обе функции совпадают на полуоси (О, + ), то по принципу аналитического продолжения они совпадают в полуплоскости ВеЛ) О. Доказательство леммы 2. Разобьем интеграл Ф(Х)' на два: Ф (Л) = Ф,(Л)+ Ф,(Л), где интеграл Ф, берется по отрезку [О, б), 6~0 мэлб. Так как — с ~' — б" (О при 8<1( а, то в силу леммы 1 для интеграла Ф,(Х) справедлива оценка ! Ф, (Л) ! (С[с — ь")" ! при Ладо [Л! ~1, и этот интеграл экспоненциальво мал. г1а отрезке [О, б! справедливо разложение 1Я = Х 1У+ ~Рн(1), где )с =, и [фз(1) ! ~ Сзб+', О (1< б.
Поэтому интеграл 11") (О) Ф,(Л) равен сумме Ф,(Л) = „'.,' у„Ф,„(Л)+ Л„(Х), руема е окрестности точки 1=0. Тозда при Х-, ХжЯ, справедливо асимптотическое разложение 1 ~ч Л <с+Э)1ар / н + () ') 11") (о) а ле и / и! с=с Это разложение можно дифференцировать по Х любое число раз. Прежде чем докааывать эту лемму, докажем формулу 398 ГЛ. У11. ЗЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСНИЕ МЕТОДЫ и интервалов по берегам разреза.
Так как !/(1)! ~с!1! ' при !1! -, то интегралы по дугам окружности !1! =В стремятся к нулю при П- » в силу леммы )Кордана. Далее, при 1~С, имеем !1'-+ 1! = ! (1 — 1) (1+1) ! = р!21+ 0(р) ! ~ р, р - 0; таким образом, подынтегральное выражение имеет порядок 0(1/ор) при р- О, 11ЕС,. Поэтому интеграл по С, стремится к нулю при р- 0 и интеграл Х.(х) равен интегралу по разрезу.
Покажем, что при т) 1 У'(11 + 0) = т т~ — 1 (это значение функции /(1) на правом берегу разреза). Имеем у(! + О) = 3 1 '«де( +~ >, 1)/' — 1 Оро - А1 ата(1+1), ро = А, атя(1 — 1), Здесь кривая ( лежит в верхней полуплоскости и соединяет точ- ки О, !1+ 0, так что 1р, = О, ~р, =+и.
Аналогично, /(1т — 0) = !/У т' — 1. Следовательно, ОФ вЂ” хо „,— хх à Π— хо ; )/, 1 ) )/: 1,"УЕР+Е! (здесь сделана замена переменной т=С+1). К последнему интегралу применима лемма Ватсона (здесь сс 1, (1=1/2), следовательно, Хо(х) =е "у/ Е, (1+ О~ — !) (х-о. !- Ос). 4. Максимум Ю(х) внутри отрезка.
Те ор ем а 2. Пусть Я(х)<Я(хо), хтох„а<х,< Ь, Ях(хо)т'-0 (20) и функции /(х), Я(х) бесконечно дифференцируемы в окрестности точки х,. Тозда при Л-, ЛоеЯ. Справедливо асимптотическое разложение г (Л) е~!"о! ~ схЛ (21) х=о Это разложение можно дифференцировать почленно любое число раз. Е ЬЗ. МЕТОД ЛАПЛАСА Главный член асимптотики имеет вид (3), или, точнее, Р (А) = ~/ — „е~~("о) Ь (хе) + О (Л ') 3, (22) Нам понадобится следующая Лемма 3. Пусть функция Я(х) бесконечно дифференцируема е окрестности точки х, и Я'(х,) О, Я" (х,) ( О.
(23) Тогда существуют окрестности П, т' точек х х,, у =0 соответственно и функция ф(у) такие, что Б(сг(у) ) — 8(х,) = — у', у ги )г, (24) функция <р(у) бесконечно дифференцируема при уев т', Ф(0)= 1/ л (25) ( о) и функция х=ц(у) взаимно однозначно отображает 1т на ТТ.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что х, = О, Я(х,) = О. По формуле Тейлора х 1 Я(х) = ~ (х — т) Я (~)йт= хз~(1 Г) Я" (х~) Ж= хзй(х). о о Если Г, — малая окрестность точки х = О, то Я" (х8) ( 0 при х ж б;, 0 < г < 1, так как Я" (0) < О. Поэтому функция й(т) = ) (г — 1) Я" (хй)ЙХ о положительна при хж 0', и бесконечно дифференцируема. По- ложим хуй(х) = у, (26) т. е, х'й(х)= у*, или, что то же, 8(х)= — у'. Здесь Уй(х)) О. Так как — ( )/'й( ))(„„=)Гй(О) = )/ — —,ьО, то по теореме об обратной функции уравнение (26) имеет реше,ние х=ц(у), ц(0) =О, обладающее указанными в формулировке леммы свойствами.
Доказательство теоремы 2. Пусть хе= О, Я(хз)=0. Выберем малую окрестность ( — б„бг) точки х= 0 и разобьем интеграл Р(А) ка три: р'(х) = р, (х) + р, (л)+ р; (й). 400 ГЛ. УП. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Здесь Р,(Л) — интеграл по отрезку (а, — 6,], Рв(Л) — по отрезку ( — 6„6,], Рв(Л) — по отрезку (бв, Ц. Так как Б(х)(Я(0) при хви1, хтьО, то интегралы Р,(Л), Рв(Л) зкспоненциально малы при Л-, ЛжЯ., т. е. Р1(Л)=0(е ' ) (с>0), 1=1,3, Доказывается зто так же, как и в теореме 1.
Выберем 61 так, чтобы Я( — 6.) = Я(б,); имеем Я(б,) = — з*, где е ) О, так как х = 0 — точка максимума функции Я(х), и сде- лаем в интеграле Рв(Л) замену переменной х = ср(у): 8(р(у) )--у'. Это можно сделать в силу леммы 2. Тогда в Рв(Л) = ) е-вв Ь(у) ду, Й(у) = 1(<р(у)) ~р'(у). -в Далее, Р,(Л) = ~ е вв у(у) с(у, в , = Г( —,) й(О) =- Г( —,) У~,) ц (О) = ~1, 1(*,), ( о) гак как Г(1/2)= Ум, а «р'(0) имеет вид (25).
Из доказательства теоремы 2 вытекает Следствие 1. Пусть втахЯ(х) достигается только на конце ва1 х=а отрезка 1 и Я'(а)=0, 8" (а)МО. Тогда кри Л-, ЛжЯ. справедливо асимптотическое разложение Р(Л) е"жю ~ч~ З Л свз гнв в=о Главный член асимктотики имеет вид Р ( Л ) е ~ Э ~ в 1 У ( а ) + О ~ ~ ~ 1 (28) (29) где у(у) й(у)+й( — у).
Остается применить лемму Ватсона к интегралу Рв(Л). Здесь а — 2, р 1, кроме того, функция у(у) — четная, так что у'"' (0) = 0 при всех нечетных к. Окончательно получаем для Рв(Л) разложение (21), где козффициенты с„имеют вид ~ ~ А<в">(0) с„=Г и+ — / 2 / (2вд (27) Здесь мы учли, что у""'(0) = 2й""'(0). Коэффициент с, равен 40$ о оз, митод пьпласА п) и"е "У2ли (п- + ). Асимптотическая формула (30) справедлива также при комплексных г, если г-, гжесе где Я.— сектор [агля <л — е [7[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
