1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Тогда существует функция ф(ь), регулярная в окрестности т' точки ~ =-0 и такая, что Я(~р(~) ) Я(г«) — ~', ~ ж $' (2) (следствие 2 $ 32). Кроме того, ~р'(О) чь О, и функция г = ф(~) 414 Гл. Тп. злвментлвные Асимптотическив методы взаимно однозначно отображает (т на 7У. Линии уровня функций Вед(г), 1шд(г) переходят при отображении Т.=гр '(г) в линии Ве ь' = сопз1, 1ш ь'=сопз1, структура которых была исследована выше, Возвращаясь к переменной г, получаем утверждение леммы, Следствие 1. Через секторы, в которых Вед(г)( ( Ве Я(г,), проходит гладкая кривая 1, такал, что 1ш Я(г) = = 11п Я(г,) при г ш1, Функция Ве Я(г) строго монотонно убывает вдоль 1 при удалении г от точки г,. Линия 1 является линией наибыстрейшего спуска (рис.
162 пунктир). Рес. 162 Рас. 161 3. Вклад от конца контура интегрирования. Всюду в дальнейшем предполагается, что ( — конечная кривая и что функции /(г), Я(г) регулярны в некоторой области П, содержащей контур (. Теорема 1. Пусть шахВед(г) достигается только в на- гпт чальной точке а контура ц, и 8'(а)чьО. Тогда при Л вЂ” +" справедливо асимптотическое разложение р(Л)= ~((г)ехв1мдг Л 'ехз1ю ~~~ с„Л ". (3) 7 и=О Это разложение можно почленно дифференцировать по Л любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид р (Л) =, 1 1 ехзои [У (а) + О ( — Д. (4) Козффициенты с„разлолсения (3) вычисляются по формуле со = ( — 1) ЛХ ( —, ) (, 1"тз = —, ь и 1' 1(г) ) ~ 1 В (О) Ь (),)(*=.' Заметим, что формулы (3) — (5) полностью совпадают с формулами (8), (9) для интегралов Лапласа (2 43). Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 1 т 43. 5 44. метод пеРБВАлА 4. Вклад от простой точки перевала. Вычислим асимптотику интеграла (1) в случае, когда поахйе5(г) достигается во внутоыт репней точке контура. Именно, пусть выполнены следующие условия: а) поахйеЯ(г) достигается только в точке г„которая явоат ляется внутренней точкой контура и простой точкой перевала (т.
е. Я'(го)= О, Б" (г,)Ф 0); б) в окрестности точки г, контур 7 проходит через оба сектора, в которых Ве Я(г)(йод(г,) (рис. 162). Теорема 2. Пусть условия а), б) выполнены. Тогда при Л вЂ” +» справедливо асимптотическое разложение Г(Л) = — ~1(г)е~м ~аг е ' 2о с„Л (6) т о=о Это разложение можно почленно дифференцировать по Л любое число раз. Главный член асимптотики имеет вид Г (Л) =-- у" — „е~~('о) ~1 (го) + О ( — )], Л вЂ” о. + оо. (7) Выбор ветви корня в формуле (7), а также формулы для коэффициентов разложения (6) будут указаны ниже.
Доказательство теоремы 2. Пусть 6Т вЂ” малая окрестность точки го, 7 = 7 0 У и 7о, 7, — оставтпиеся дуги контура 7. Разобьем интеграл Г(Л) на трн: Г(Л)=Г,(Л)+Г,(Л)+ +Г,(Л), где Го(Ц вЂ” интегРал вида (1) по дУге 7ь 1=0, 1, 2. Так нал поахКеЯ(г) достигается только в точке г,о-=7„то точоао по так же, как н в доказательстве теоремы 2 3 43, можно показать, что для интегралов Го(Л), Г,(Л) имеет место оценка /Г (Л)(а.с~с~( ('о) о)! Л)0 у = — 1, 2, (8) где с, 6 > 0 — постоянные. Получим асимптотическое разложение для интеграла Го(Л). Если область У мала, то существуют окрестность т точки ~ =О и функция г = ф (~) такие, что а) Я(ф(~))= Я(г,) — Ь', ~ он от; б) функция ф(ь) регулярна в области от н взаимно однозначно отображает о'на 6', ф(0) = г,.
Это вытекает из следствия 2 $ 32. Делая в интеграле Г,(Л) замену переменной г =ф(~), получаем ьв(о,) ~ (9) Здесь У(ь) = 1(ф (ь) ) ф'(ь), а 7 — обРаз контУРа 7о. В качестве 416 ГЛ. ЩЬ ЗЛЕМЕИТАВНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКНЕ МЕТОДЫ Р' можно взять круг [ь[» р малого радиуса р >0; можно также считать, что функция ~р(~) регулярна в замкнутом круге 1~1» р. Линия уровня Ве( — ь*) = 0 состоит иа двух прямых: $ ~ Ч = = 0 (ь = ь+ 1ц) и разбивает Р' на 4 сектора. Пусть Р, — сектор, содержащий интервал 1,: (О, р), Р, — сектор, содержащий интервал 1;.
(-р, 0), Кривая 7„по условию, состоит из двух кривых т„, т„(с общей начальной точкой х,); зги кривые лежат в разных секторах, в которых Ве Я(з)» ВеЯ(г,). Следовательно, точка ь 0 разбивает кривую 7 на две кривые 7„у„ лежащие в секторах Р„Р, соответственно. Пусть С1 — дуга окружности ~~[ = р, которая лежит в секторе Ро и соединяет концы кривых 1О 7,. По теореме Коши Р ~ е — ьс у (ь) оь = [ е ьс я ~$) Н~ + ~ е ь* "у(~) Иь. (10) т 1 Р 6, Так как Ве( — ь')»0 на С„то существует постоянная 6,) 0 такая, что Ве(-ь')» -6, на Сь и интеграл по кривой у~ равен сумме интеграла по отрезку [О, р) н слагаемого порядка Р— ТС ~ с'(е ), Л-Р+ со.
Применяя те же рассуждения к интегралу по дуге 7„ получаем, что е ~('Р)г" (Х) = ~ е-"~ у(с) Иь+ 0(е ьс'), ) — ~+ ос, (11) где 6')0 — постоянная. В правой части формулы (11) стоит интеграл по отрезку, т. е. интеграл Лапласа ($43, (1)), где Я = — ь'. Далее, гаах Я (ь) достигается только в точке ь = О, Р~1~Р прпчем Я" (0)зьО, Применяя теорему 2 3 43, получаем разло- жение (6). Теорема доказана. Укажем выбор ветви корня в формуле (7) (который, оче- видно, зависит от ориентации контура 7).
В доказательстве тео- ремы 2 было показано, что контур 7 можно продеформировать в контур 7, который в окрестности точки перевала ТР совпадает с линией наибыстрейшего спуска й 1шЯ(г) 1тЯ(зс) на Ве Я(з)» Вес(з,) при я~ 1, Таль Покажем, что агЯ ~/ х. = рР, (12) где ~р. — угол между направлением касательной к 1 в точке з, и положительным направлением действительной оси. 1 Достаточно ограничиться случаем ) (з) 1, Я (з) = — азз, так как главный член асимптотики выражается только через значения Дз), Я(г), 8" (з) в точке перевала. Линни наибы- 417 з ох метод перкВАЛА Ю вЂ” 1 т';— вко* )гдг соло в-~4мр 7гдр веро 1/ — гю и формула (12) доказана.
Из доказательства теоремы 2 вытекает Теорема 3. Пусть шахйед(г) достигается только в нагов чальной точке а контура 7, причем Я'(а)=0, Я" (а)Ф О. Тогда при ) — + справедливо асимптотическое разложение о.~- г с ().)= — ~/(г)е ' Нг е ' ~г а„7г т о=о (13) Вто разложение можно дифференцировать по )о любое число раз. Главный член асимптотики имеет вид Р(Х) = — ~/ — „в"з<ю(7'(а) + О(Х ')], Х вЂ” о-+ оо. (14) Выбор ветви корня тот же, что и в (10). Следствие 2. Пусть шахИеЮ(г) достигается в конечном га т числе точек г„г,, ..., з„, которые либо являются концал~и кон- тура, либо точками перевала и внутренними точками контура, удовлетворяющими условрло б) теоремы 2. Тогда асимптотика интеграла (1) при Х вЂ” +оо равна сумме вкладов от точек гг, Замечание 1.
Если все точки гь в которых Я'(гг)=0, являются простыми точками перевала, то асимптотика интегра- ла (1) вычисляется с помощью формул (3), (6), (13) (глав- ный член асимптотики — с помощью формул (4), (7), (14) ). Можно вычислить асимптотику и в том случае, когда среди то- чек есть кратные точки перевала (см. (7], (10], (22]).
5. Примеры. ° П риме р 2. Вычислим асимптотику при х — + функции Эйри — Фока А1(х) = — ) соз] — -'- 1х) б7. я.) (,3 о 27 |о. в. сидоров д др. стрейшего спуска 1, проходящая через точку перевала г = 0— это прямая (см. п. 2), на которой 1шд(з)=0, а Пе8(г)С 0 прн з т'= О. Запишем ее уравнение в виде з = во~ор, — оо ( (р~ос, 'тогда Я(з)=- — — )а]р при гоп 1. Интеграл по линии 1 г О равен гл, тп, элкмкнтагныв асимптотичвскик мвтоды 418 Прежде всего преобразуем этот интеграл. Имеем (15) / с' (функция з(п~ — +1х) нечетка, и потому интеграл от нее по ~3 действительной оси равен нулю). Интеграл (15) является условно сходящимся; преобразуем его в абсолютно сходящийся интеграл.
Рассмотрим прямую 1„,: — ос(5<ос, ц=ц, в комплексной плоскости ~ = $+ 1ц, параллельную действительной осн. На прямой 1, имеем з Ве8(1, х) =- — Рц,+ — "," — хц„ (16) где Я(Ь", х) = 1~ — + х~). Следовательно, ) емг' "~с$ сходится чз абсолютно, если ц,~О. Можно показать, что интеграл (15) равен интегралу по прямой 1„, при любом цз) О, т. е. чо> А1(х) = — ) ещ""~сЯ. (17) "а Функция Я(~, х) при каждом фиксированном х)0 имеет ровно две точки перевала ~,(х)= РУх, ~,(х) — $Ух. Выберем в качестве 1„прямую, проходящую через точку перевала Ц,(х), т. е. положим т~, = Ух. Сделаем замену переменной $ = Ух$ в интеграле (17), чтобы привести его к виду (1).
Тогда А1(х) =~— ~ е* ж'Щ У(С) =1~ з+ + $+ '~. (18) О На контуре интегрирования лежит точка перевала $ = 0 функции Я($). Далее, при действительных а имеем Не У(с) = — $' — 2/3, (19) так что игах Ве Я(й) на контуре интегрирования достигается только в точке перевала $ = О.
Эта точка перевала — простая, так как Л" (0)= — 2ФО. Таким образом, для интеграла (18) все условия теоремы 2 выполнены, за исключением одного: контур интегрирования— бесконечная прямая. Разобьем участок интегрирования на трп: 5 11. МЕТОД ПЕРЕВАЛА В данном случае можно вычислить все коэффициенты асимптотического ряда (см. (22]). Асимптотика функции Эйри — Фока при х — — будет вычислена в примере 4.
Д П р и и е р 3. Вычислим асимптотнку при действительных х - интеграла оэ 1 1х Г(х)= ] е '" Ю, — СЮ (21) где п ~ 1 — целое число. Так как г'(-х) = й (х) (22) при действительных х, то достаточно вычислить асимптотику интеграла (21) при х — + . С помощью замены переменной х-""" О$- 1 приведем интеграл г"(х) к виду (1): Ю Г(х) = хпм" ОФ(Х) Ф()) = ~ е ео с11 (23) 27х лучи ( — ха, — 1), (1, ) и отрезок [ — 1, 1]. В силу (19) имеем и ] Е*'"ЮЕ(Е)4 (Š— <1/мха~1] Е- '~хх'4 1 1 В силу леммы 1 $43 последний интеграл есть О (е хи') (х- +х1)л так как — е'< — 1 при ф~1, так что интеграл по лучу 1 < $ < оо экспоненцнально мал по сравнению с функцией 1 121 е прн х — + .
Точно так же оценивается интеграл по лу- чу — хо <$<1. Асимптотика интеграла по отрезку ( — 1, 1] вычисляется с по- мощью теоремы 2; главный член аснмптотикн вычисляется по формуле (7). Имеем Я(0)=-2(3, О"х (0)= — 2, и остается указать выбор ветви корня в формуле (7). Имеем 3(~) — ~(0)-:1', 1-0, где ~ = е+ щ. Поэтому линия наибыстрейшего спуска 1, прохо- дящая через точку перевала ь = 0 функции 3(ь), имеет в точ- ке ~ =0 ту же касательную, что и линия наибыстрейшего спу- ска 1„отвечающая функции — ~'.
Уравнение 1, имеет вид Ь =р, — х><р< хх, т. е. 1р1=0 в формуле (12). Окончательно полу- чаем следующую асимптотическую формулу: 1 — ХЗГ1 А1(х) =-- =х П1е э [1 + 0(х М1)), х-х + оо, (20) 2 $'я ГЛ. Ч!1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКПЕ МЕТОДЫ 420 где с«а Л= х' д'"-", я(с) = — '— + сс, (24) 2« Точки перевала функции Я(1) определяются иа уравнения С' =1 н имеют вид Следовательно, 8(С~) = (1 — 2 ) СС«, Вез (С") = ~2 — 1) зс~сЭ«. (26) ( Поэтому ВеЯ(С,)(О, если точка С«лежит в верхней полуплоскости комплексной плоскости с, и КеЯ(с«) = О, если точка с«лежит в нижней полуплоскости, Интеграл (24) стремится к нулю при х- +~ в силу леммы Римана — Лебега ($ 44).
Следовательно, точки с„лежащие в нижней полуплоскости, не могут давать вклада в асимптотику интеграла Ф(Л), так как значение модуля подынтегральной функции !е ( «) ! =- е ( ") в такой точке перевала экспоненцнально растет при х — +~~. Поэтому асимптотвка интеграла Ф(Л) должна определяться точками перевала С«, лежащими в верхней полуплоскости 1псг ~ О. Так как на контуре интегрирования нет точек перевала функции Я(С), то необходимо продеформировать этот контур в перевальный.?1ри !С! — имеем Я(С)- — Сз"/(2п), т. е. ВеЯ(С)- —, когда !с! — в секторах ! агяс! (л/(2п), ! агяс — л! ' ( л/(2п), содержащих действительную ось. Кроме того, на каждой прямой 1ш С = с (с — постоянная) имеем Ве Я (С) — — (Ке С)'"(Ве С -э ~ оо); следовательно, интеграл вида (23), вп взятый по прямой 1шс = с, сходится абсолютно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
