1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Из доказательства леммы следует, что формула (9) справедлива, если функция У(х) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке (О, а]. Теорема 2. Пусть функции 1(х), Я(х) бесконечно дифференцируемы на отрезке [а, Ь] и функция Я(х) имеет единственную стационарную точку х, ~н [а, Ь], причем а < хг < Ь.
Если Я" (х,)т= О, то для интеграла (1) справедлива формула Л(~ (*в)! Здесь 6, = зйп Я (х~) ° Доказательство. Разобьем участок интегрирования на два: [а, х,], [хн Ь] и соответственно интеграл Р(Л) на два: Е(Л)=Е,(Л)+Е,(Л). Пусть 5" (хв)>0, для определенности, Тогда Я'(х,)>0 при х,<х<6, и функция Б(х) монотонно возрастает при х, <х< Ь, т. е. Я(х)>Я(х,) на етом интервале.
В интеграле Е,(Л) (по отрезку [х„Ь]) сделаем замену переменной х = ~р(1) так, чтобы Я(х) — Я(х,) = г' (см. 3 43). Тогда д с', (Л) = е "( ") ] еил у Я йг. о Здесь д(г) = (()р(1) )<р'(С), Ь' = УБ(Ь) — Я(хо) > О. По лемме имеем при Л вЂ” + Ез(Л) — емв("о)е~"ы 1/ д(0) + П ~ )) 2 причем у(0) = У(хв) „. Точно такая же формула имеет ( о) место для интеграла г") (Л), откуда следует (12) .
Случай 408 ГЛ. 'ЛЬ ЗЛРМЕНТАРНЫВ АСНМПГОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Я" (х,)( О приводитсн к случаю Яа (х,)) О: ь Р (~~) = ) ем<" >~ (х) Ых, У (х) = — Я (х), а и Я" (х,) ) О. Теорема доказана. Пример 2. Вычислим асимптотику при х- (- функции Бесселя К (х) = — ) еиамаа ат) с(<~. 1 р . а — 2л ) а Здесь л> Π— целое число. В данном случае фаза Я(ср)= з1пф, и имеются две стационарные точки фазы <р, = я/2, <р, = Зя/2.
При этом о(р1)=1, Яа(р|)= — 1, Я(~*)= — 1, 8а 0р.)= 1. Асимптотика интеграла Х„(х) равна сумме вкладов от стационарных точек ~ро ~рз (т. е. выражений вида (12)) и слагаемого порядка 0(1/х), т. е. ,/-„.(,) =~/ ' ..~ ",;;)+О®, + 3. Формула суимирования Пуассона. Эта формула позволяет заменить ряд вида ~~'„, /(и) другим рядом, а именно О ~(п) = ~~э~ ~ е " ' "/(х)с(х. (13) с~(х) = ~ фпеа"*'* й Формула (13) справедлива, если а) функция /(х) непрерывно дифференцируема при < х ( аа; б) ряд ~~э /(л) сходится; Ю в) ряд 2', /"(и+ х) сходится равномерно при О(х~ 1. 5 Доказательство формулы (13) при этих и при других условиях см.
в (7). Мы ограничимся формальным выводом формулы (13). Рассмотрим функцию ~р(х) = 2.", /(х+ и); зта функ- а ция периодична с периодом 1. Разложим функцию у(х) в ряд Фурье: 409 э и мвтод стационы*ноя эллы откуда «р = ~~ 1(п). ь— и= — » (14) Покажем, что иэ формулы (14) вытекает формула суммирова- ния Пуассона. Имеем, 1 1 с «рз - — — ) е ол'"л«р(х) ««х = ~ ~~~ Яп+ х) е ~~~~<Ь = о о" и '-« РР 1(х) е '"' а«х = ~ е '"' "1(х) «Ь, л=-юа О и подставляя «р„в (14), получаем (13).
Формулой (13) удобно пользоваться в том случае, когда интегралы «р = ) е ол" 1(х)дх Я = ~ ( — 1) ао ао = [(х + й)о + Р) о « Так как функции а,(х) монотонно убывают по а при каждом фиксированном х~[0, 1), а частичные суммы ряда ~«( — 1) о « ограничены, то ряд Я«сходится равномерно на отрезке [О, 1) по признаку Дирихле [9], Аналогично доказывается равномерная сходимость при х ~ [О, 1) ряда Ю Я = ~к~ ( — 1) (х+ й) [(х+ й)'+ г') з-о убывают при и- ~ быстрее, чем 1(п) (т.
е. если преобразование Фурье функции 1(х) убывает при [х~ — оо быстрее, чем ~(х)). В частности, этот факт имеет место для быстро осциллирующих функций ~(х). ( — 1]' П ример 3. Рассмотрим ряд Р(Г) = „~, и вы— ~/и +« числим асимптотику функции г"(1) при г- ~ . В данном примере ~(х, г) = е'"*Лх'+ Р. Применим формулу суммирования Пуассона. Условия а), б) теоремы выполнены, проверим условие в) (при фиксированном г) О).
Имеем «лл( ., 1«) — «го «лл( о + эо)-зй Рассмотрим ряд Ато Гл. чге элементАРные Аснмптотические метОды а также рядов вида Яо Я„где суммирование производится от — до — 1. Следовательно, условия а), б), в) выполнены. Применяя формулу (13), получаем СО т'(г)= Ж ф„(г), фз(Т)= ) с (хз+г'Г~ пх. ь — оэ Делая замепу х =1у, получаем ) с — косм — 1М( 2 ~ 1)-1/з ( фа так что ф,(1)=2К,((2й — 1)яГ) (Э 43, пример 3). В примере показано, что К,(Ь) — четная функция и что К (Ь) =- ~l — е 11+ 0(Ь )1, Ь-~+ со.
Следовательно, при )Ь! ~ 1 !К,(Ь)! Сс- ', где С не зависит от Ь, и ! Р Р) — ф.(~) — ф (1)! ( (4С ~ !К ((2й — 1)лй))<4С ~ е ~ы По'(8Се зж. а=а ь з Окончательно получаем, что Р(1) =2фз(1)+0(е ' ') = 2 1/ — е [1+ 0(1 ')), 1-++ со. П 5 45. Метод перевала 1. Предварительные соображения. Рассмотрим интеграл вида Р (Х) =- ~ ((г) е ' пг, (1) где т — кусочно гладкая кривая в комплексной плоскости г, функции 1(г), Я(г) регулярны в некоторой области П, содержащей кривую (. Нас интересует асимптотика функции Ь'(Х) при Х- + . Тривиальные случаи Дз)= — О или Я(г)=сонет не рассматриваются.
В 5 43 было показано, что если Т вЂ” отрезок, а функция 5(а) принимает на Т действительные значения, то асимптотику интеграла (1) можно вычислить с помощью метода Лапласа. Попытаемся преобразовать интеграл (1) так, чтобы к полученному интегралу можно было бы применить метод Лапласа. Так как функции 1(г), Я(г) регулярны в области Р, то можно деформи- 412 ГЛ. У11. ЭЛЕМЕНТАРНЬГЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ перевального контура (, эквивалентного исходному контуру у (эквивалентность контуров (, "( означает, что интегралы вида (1) по ахим контурам равны). С помощью метода перевала решено много конкретпых аадач [7), [10), [12), [21), [22), но сколько-нибудь общие рецепты, позволяющие по данным функциям ((г), Ю(г) и по данному контуру ( найти эквивалентный перевальный контур (, отсутствуют.
Перейдем к строгому выводу асимптотических формул для интеграла (1) по перевальному контуру. Предварительно исследуем локальную структуру линий уровня Ве Ю(г) = сопес, 1ш Я(г) сопвп 2. Структура линий уровня гармонических функций.
Пусть функция Я(г) регулярна в окрестности точки г,. Исследуем структуру линий уровня Ве Я(г) = Ве Б(г,)+ е, 1ш 8(г) = =1шЮ(го)+ е при малых е, в окрестности точки г,. Лемма 1. Пусть Б'(г,)ФО. Тогда в малой окрестности точки г, линии уровня ВеЯ(г)=сопес, 1шБ(г) сопзс являются сладкими кривыми. Доказательство. Функция О(г) однолистна в точке г„ так как Я'(г,)ФО. Поэтому функция ьо = Я(г) взаимно однозначно и конформно отображает малую окрестность У точки г, на малую окрестность т' точки и, = Я(г,).
Выберем У так, чтобы область т' была квадратом (и — и,! (6, Ь вЂ” о,) (б, где ю и+ 1о, ю, и, + 1о,. При этом отобрангении линии уровня функций Ве Б(г), 1ш Я(г), лежащие в У, переходят в отрезки прямых и = сопзс, о = сопз$, лежащие в т'. Эти отрезки, йе АЮ=де~йо) очевидно, являются гладкими кривыми, их прообразы также являются гладкими кривыми, так как функция г Я-'(и), обратная к функции Я, регулярна в точке ю, (теоРис.
159 рема 1 $13), Лемма доказана. Таким образом, локальная структура линий уровня функций Вес(г), 1шЯ(г) в окрестности точки, которая не является точкой перевала, точно такая же, как и структура этих линий для функции Б(г) г (рис. 159). Исследуем структуру линий уровня функций ВеЯ(г), 1шЮ(г) в окрестности точки перевала.
Предварительно рассмотрим простейший случай. Пример 1. Исследуем линии уровня действительной и мнимой частей функции Я(г) = — г'. Точка и=О является точкой перевала. Полагая г = х+ еу, Б и+ 1о, получаем и = у' — х*, 5 мх мвтод пеРБВАлА и = -2ху, и семейство линий уровня имеет вид х' — у'=С„2ху =С,, где С„С, — постоянные. Если С«т- О, С, Ф О, то каждая из кривых ВеЯ =Си 1п1 Я=С, является гиперболой, кривая и =О состоит из двух прямых х — у = О, х + у = О, кривая о = 0 состоит кз двух прямых х=О, у = 0 (рнс.
160). Линии уровня Ве Я(г) = Ве Я(0) (т. е, прямые х~ у=О) делят плоскость на 4 сектора; знаки Ве(Я(г) — Я(0) ) в соседних секторах (рис. 160) раз- я личны. Пусть Р, — сектор ~агдг~ с -с н!4, Р, — сектор ~агу( — г) ~ ( ( л/4; в этих секторах Ве ( — г') ( 1',Г х ( О. Через точку перевала г = 0 проходит линия уровня 1т Я(г) 1ш Я(0), а именно, врямая 1: у=О.- Вдоль этой линии имеем ВеЯ(г)= — х', т.
е. функ- Рвс. 160 цня Ве Я(г) строго монотонно убывает при удалении точки г вдоль 1 от точки перевала г= О. Линия 1 называется линией наибыстрейшего спуска. ( ) Рассмотрим трехмерное пространство с координатами (х, у, Ве Я) и поверхность Ве 5 = Ве( — г'), т. е. Ве Я = у' — х'. Эта поверхность — гиперболический параболонд (рис. 161), а начало координат — седловая точка. Точно так же устроен перевал в горах, отсюда и происходит название «точка перевала». Линия наиболее крутого спуска с перевала проектируется на плоскость (х, у) в линию наибыстрейшего спуска 1. Покажем теперь, что если г,— простая точка перевала функции Я(г) (т.
е. если Я" (г,)ФО), то в окрестности этой точки ливни уровня функций Ве 5(г), 1шЯ(г) устроены точно так же, как и в случае Я(г) = — г'. Л е и м а 2. Пусть г, — простая точка перевала функции Я(г), т. е. Я'(г,)=0, Я" (г,)чь О. Тогда в малой окрестности У линия уровня ВеЯ(г) ВеЯ(г,) состоит из двух гладких кривых 1„1ь которые ортоеональны в точке г, и разбивают У на 4 сектора. Знаки функции Ве(Я(г) — Я(г,)) в соседних секторах различны. Соответствующая картина изображена на рис. 162. Доказательство. Пусть У вЂ” достаточно малая окрестность точки г,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
