1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 74
Текст из файла (страница 74)
е "'Р(р). (16) Действительно, полагая 1 — т = $, получаем 00 О 7'(1 т) -~ ~ ~ (à — т) е "Дг = ) .7'(5) е Р<'+'1 1$ = о =е Р~~ )($)е Р <ц=е "~р(р), о откуда следует формула (16). П р и и е р 6. Найдем изображение ступенчатой функции О, 1(О, У(1) = (и + 1) й, пт (1 ~ (п + 1) т, п = О, 1, 2, ..., где т) О, й сопзс, й) О. Заметив, что 1(1) = й(6(1)+ 6(1 — т)+...+6(1 — йт)+...), где 6(1) — функция Хевисайда, по свойству запаздывания оригинала ГЛ.
УП1, ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ получаем ее(1)= й~ — + — е +... + — е +...~. 1 — ре, 1 ор (р р Пусть Ке р>0, тогда !е "! (1 и ряд 2', е ""' сходится, а его А=о сумма равна 1/(1 — е "). Ь Следовательно, 1(1) —. °, или р(1 — е 7(1)-.— "((+.1й Р ). 2р1 2!' Пример 7. Найдем изображение периодической при 1)0 функции 1(1) с периодом Т ) О, Рассмотрим функцию 1(1), 0(С =Т, ~(') = 0, ~~0,1~Т. Тогда 7(1) =т(1)+((1 — Т). (17) Если 1(1)еер(р), ер(1)-. Ф(р), то из равенства (17) в силу свойства запаздывания оригинала получаем Р(р) = Ф(р)+ е *"Р(р), откуда т ') -рег(1)ее (р)= ' (18) Найдем по формуле (18) изображение периодической функции )(1) = ~з1п1! с периодом Т = я. Имеем е Ре 1'е 1+ е е Р з(п1 111 = —, ( — р з1п1 — соз 1) ~ ро+ 1 о 1+го о Следовательно, ) з!п1) ~ 1+е "1' с1Ь(яр/2) (1 — е "р)(1+ ро) 1+ ро 8.
Смещение изображения. Если 1(1)-.*Р(р), то для любого комплексного Х е '1 (1) -. ° Р (р — 2). В самом деле, е117(1),- ~ 7(1) е 1р '~'е)1 = г (р — Х). о 5 сь ОснОВные сВОЙстВА пРВОВРАВОВАння лАплАсА 44й вся ее-. „то по правилу сме- Р +е Так как сов ее Р +и щения иэображений Р— Х е созесм (Р-Х)'+е' е зспес е ы е П (Р— Х)'+ соо 9. Изображение свертки. Свортвсй функций )' и д называется функция, которая обозначается 7'«д и Определяется с равенством (~ей) (с) = ~ ~ фя(с — $) сс$. о Докажем, что при свертывании оригиналов их изображения перемножаются, т. е. если ~(с) .
г" (р), д(С) ° 6(р), то У"б)(с) " Р(р) С( ) (19) Покажем сначала, что ф(с)=()ай)(С) — оригинал. В самом деле, функция ф(с) удовлетворяет условиям 1 и 2, так как ~(с) и д(С) — оригиналы. Пусть (=спах(а, р), где сс, р — показатели роста функций ~(г) и я(с).
Тогда !1(с) ! ~ Се"+", (я(с) ! ~ Се"+"', где С)0, е) О, поэтому с ! ф(с) ! <Со 1 'а+о)+тсс+ и4 = С~с т(с+со) е Фиксируя б)0, найдем число С,) 0 такое, что С с <С,е" при с >О. Следовательно, (ф(С) ! «С,о" *'+"', т. е. ф(с) — оригинал. Заметим, что показатель роста функции ф(с) не превосходит наибольшего из показателей роста функций 7(с) и д(С), так как е и 6 можно взять сколь угодно малымя.
Найдем изображение Ф(р) функции ф(С). По определению иэображения с' с оос-Х -"'()7ако-иас)о. е е 'Так как двойной интеграл абсолютно сходится при Нер у, то, меняя порядок интегрирования, получаем Ф(р) = ) ~(о) сс$) е "~й(8 — $) ссс. о е П р к м е р 8. Найдем изображение функций е"' соз ес и е" зсп ей ГЛ. ЧИЕ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ вш ве е"1 в)п озе с сов ве 5 48. Восстановление оригинала по изображению 1. Формула обращения преобразования Лапласа, Теорема 1. Пусть )(! — оригинал, а Р(р) — его изобразкение. Если !дункция Г(1) непрерывна в точке 1 и имеет в этой точке конечные односторонние проиэводньге, то о+100 1(г) =2— „, ) е"Р(р)др Полагая ! — ь = т во внутреннем интеграле, имеем Э Ф(р) = ) е Р ~(5) а$) е Р у(т) дт = Р(р)0(р).
о о Формула (19) доказана. В заключение приведем таблицу оригиналов и изображений, часто встречающихся в приложениях. Оригинал Изображение Р го и! . О+1 ,и Р— Х 1 е О 11 и! ) )О-~-1 Р сов вг з + в" Рз+в' ы Р Х е СОО ве з з (Р )+ (Р— Х)'+ в' 2вр гв)пве ( з+ з)а ,Π— ЕО (Р+ з) Р сЬ он з з ,Π— В вЬ вг Рз — в' % 48, ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 445 Интеграл (1) берется вдоль любой прямой Вер Ь)сг„где сг, — показатель роста функции Дг), и понимается в смысле главного значения.
Д оказ а тел ь с та о. Рассмотрим функцию у(г) = е-"~(г), где Ь)яа. Функция Г(Ь+1и) является преобразованием Фурье функции у(г), так как Г (Ь + 1и) = ~ ) (С) Е ~'+'аиде = ~ у Р) Е ' Ъ. а В силу условии теоремы 1 функция д(1) абсолютно интегрируема на всей прямой, непрерывна в точке г н имеет в этой точке конечнь1е односторонние производные. По теореме об обращении преобразования Фурье [9) у(1) = — ) Г(Ь + 1и) е'"'ди, где интеграл понимается в смысле главного значения. Следо- вательно, ~(~) = —, ~ Г(Ь+ 1и) е~~~ и~~ = —.
) (Р) е ~Р. Формула (1) доказана. Ее называют формулой обращения преобразования Лапласа или формулой Меллина. Следствие. Оригинал !Я однозначно определяется по его изображению Г(р) во всех точках, где функция 1(1) дифференцируема. 2. Условия существования оригинала. Теорема 2. Пусть функция Г(р) регулярна в полуплоскости Ве р) и и удовлетворяет условиям: 1, Интеграл ) (Г(а + ~о) ) с)о сходится при любом а) а„ 2, 1~1(Л) = тах ! Г(р)~.~-0 при П вЂ” а, где Рз — дуга окружрмгв ности: !р! =П, Вер) а) сс. Тогда Г(р) — изображение функции а+ гаа У(г) = — — ~ е"'Г (р) др, (2) где а)сг, интеграл понимается в смыс е главного значения.
Доказательство. Покажем сначала, что интеграл (2) не зависит от выбора а(а) к). В самом деле, интеграл от функции е"'Г(р) по границе прямоугольника с вершинами в точках а ~ гЬ, ГЛ. ЧПЕ ОПЕРАЦИОННОЕ НСЧНСЛЕННЕ 446 а +ОЬ а, ~ ьЬ (а>а, а,>а, Ь>0) равен нулю по интегральной теореме Коши. Интегралы по горизонтальным сторонам етого прямоугольника стремятся к пулю при Ь- в силу условия 2. Следовательно, а+ОЬ 1пп ~ е 'Р(р) Ыр = 1пп ) ег'Р(р) Ир, а-'оь а — ГЬ 1 т.
е. интеграл (2) не зависит от а и является функцией одной переменной Е Докажем, что интеграл (2) является оригиналом заданной функции Р(р), т. е. удовлетворяет условиям 1 — 3 4 47. Этот интеграл сходится в силу условия 4 и имеет место не- равенство е» [ ((С) [ ( — „~ ) Р (а + йх) [ йт = Се'".
(3) Из (3) следует равномерная сходямость интеграла (2) по параметру 1 на любом конечном промежутке [О, Т1 и непрерывность функции ф) при 1>0. Покажем, что 1(г) = 0 при 1(0. Рассмотрим замкнутый контур та, состоящий из отрезка [а — 1Н, а+ И) и дуги окружности Га. ~р! =В, Вер>а. По интегральной теореме Коши интеграл от функции ео'Р(р) по контуру та равен нулю, а интеграл по Га стремится к нулю при В- ао (г(0) в силу леммы Жордана «$ 29). Поэтому а+ЬВ а+о 1(1) = 1пп ) ег'Г(р)др = ') еР'Р(р) о(р = О, 1(0. а — 1Я а-и Покажем, что для любого ро(Яер,>а) изображение функции т(1) равно Г(р,). Имеем » а+о» ) е '1(1) еУ =- —, ~ е ' ) е"'Р(р) дрй. (4) о о а-о Так как [Р(р)е ' [=[Р(а+ 1О)[е ' ', причем интегралы с — (не р — а) е )Р(а+ 1О)йт и ) е ' а1 сходятся, а внут1енний интег— С» о рал в (4) сходится равномерно, то можно наменять порядок интегрирования, т.
е. а+о» а а+о ) е оу(г)Ю= — ) Р(р) Нр[ е ' '1 сЫ = — ) ~~~ др. (5) Ю а — 1с о а — Ь» Ро — Р 5 гз. ВОсстАнОВление ОригинАПА по 1ГЗОБРАжению 4г~7 Выберем В>0 так, чтобы точка р=р, оказалась внутри контура то, По теореме о вычетах ~„; ) р „)р=р(р,). 1 Г р(р) ро тя Заметгпи, что — ) — г)р ( Р(р) 1 М(В) 2л)) -о-О, г~)р — р 2 Л вЂ” р( о Поэтому, переходя к пределу при В - в равенстве а+1в Г Р(р) 1 Г Р(р) о — гв Ро Р гв Ати3 Р— Р и используя (5),получаем ~ е "1(1) г)1 = р(р,).
о Так как р, — произвольная точка области Ке р > а, то)(1)-.+ г" (р). Отметим, что формула (2) совпадает с формулой обращения (1). Пример 1. Найдем с помощью формулы обращения оригинал функции г" (р) = — е " Р, а>0. р Пусть Р— плоскость р с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси. Функция г" (р), где ур — регулярная в А)' ветвь корня, принимающая положительные значения при 1тр = =О, Кер> О, удовлетворяет при Кер >0 условиям теоремы 2..
Рассмотрим контур Го, состоящий из дуги окружности Сас )р) =В, Кер»а(а>0), хорды этой окружности )о. 'Кер=а, — УВ' — а' »!т р» УВ' — а', окружности С,: )р! = р < В и отрезков, лежащих на берегах разреза т: 1шр= О, — В» Кер» — р. В силу интегральной теоремы Коши ~ р' (р) е" ~Нр =- О. Пусть р = ге'~, тогда на верхнем берегу разреза ~р =л, р = — г, Ур 1УГ, а ва нижнем берегу ср = — и, р = — г, Ур = — 1УГ. Из (6» ГЛ. У1П. ОПВРАЦИОННОК 21СЧИСЛЕНИЕ имеем о+о)/а -а О= — ) о"'Р(р) а1Р+ — ) ео"Р(р) ар + са о-Эк*-. В 1 1' 1о3 г о-ооО г — ) с "'' ' й — —.
~ оо'Р(р)др. 2ло „) г 2ло. р ср (7) Так как ~ о"'Р(р) Ыр — о.О при Л-о.оо, 1~ 0 (лемма Жордана), св о+1 (г яо-оо à — е" Р (р) Ыр -о ( (г) при Л -о- ос (формула обращения), о — $ В' — о' лг о л .'Р—.~ оР~Р(р)ИР = — ~ е " Р' йр-о.1 при р — «.О, ср чо переходя в равенстве (7) к пределу при р- О, В- о, по- лучим СЮ 1 ~ -гоо1аа 1гг о л О г (8) Полагая в (8) Уг=х, получаем М И) = — ~ ) '" "","* д + 1.
о (9) Обозначим -~хо о1а ао о Тогда из (10) имеем Р(а) = — 1 — е Для вычисления интеграла (9) воспользуемся известным интегралом (т 29, пример 17) о~ -оо' 1 т/л об е сов ахах = — ог — е =2 У о 2 28, ВосстАновление ОригинАлА по иэОЕРАжению 449 откуда аггт 2 1(а) =)/я~ — 'е "''д~=~тя ~ е-"дт 0 0 так как 1(0)=0. Поэтому формулу (9) можно записать в виде а!2т 2 2 ~(2)=1 — = (2 е 'Ыт=1 — ег1~— о где ег1 (х) = 20 (х) = = (2 е ' дт — функция ошибок (интеграл вероятностей).
Полагая — ег1(х) = Ег1(х), окончательно получаем (11) 3. Теоремы разложения. Оригинал 1(р) по заданному отображению Г(р) легко найти, если функция Г(р) регулярна в бесконечно удаленной точке. В этом случае функцию Г(р) можно разложить в ряд Лорана в окрестности точки р = Заметим, что С,=О, так как Г(р)- 0 при Вер- (% 47, (6)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
