1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 77
Текст из файла (страница 77)
а х При 1 — Т вЂ” — а >О интеграл (11) не выражается через эле- ментарные функции, и мы воспользуемся известной формулой операционного исчисления (10) с+ ссс =т,(ь~г' — га) ВУ- ), с — рс где Т, — функция Бесселя мнимого аргумента. Интеграл (11) приводится к такому виду с помощью замены р= р — а/2, так что Ь = ср/2, т = х/а, и окончательно получаем -'-' с — т р ~ и(г,х) = — аге Р гр( ~ ~)/ (1 — Т)' — —, ) 0(г — Т вЂ” — ).
(12) При ср=О зта формула переходит в (8). Решение (12) также описывает волну, передний фронт которой — точка х = а(1 — Т)— движется направо со скоростью а. Фиксируем точку х > О и исследуем поведение и(~, х) при + . Используя асимптотику — х Тр (х) х с + Уж *' ау получаем из (12) и(~, х) — = (1- + ), так что колеба- У ния в фиксированной точке со временем затухают в отличие от (8). Это явление обусловлено наличием трения.
2. Конечная струна, колебания без трения. Пусть струна конечна (0(х(1), ее левый конец х= О свободен, а правый конец х = 1 закреплен, так что и(0, 1)-О. (13) Как и в п. 1, зададим нулевые данные Коши и условие, что при 1= Т > 0 происходит мгновенный удар. Тогда и(1, х) удовлетво- З 00.
КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ ряет уравнению (1), данным Коши (2) и краевым условиям (3), (13). Переходя к преобразованию Лапласа (4), для функции и получаем уравнение (5) и краевые условия и,~а=с =-Ре ит, и)„=~ =.О. Отсюда находим и(р, х) = вЬ ( — (х — 1)1 аее" Гр р еЬ (р1/а) ( а и по формуле обращения получаем с+ Есс и (1, х) = —, 1 еиеи(р, х) е/р, 1 (15) е-Е с р — — и+ —, п= О, ~1, 1ал / Все эти полюсы простые и располагаются на мнимой оси, причем ае'е " ей~ — (а — 1)) гап — т> /Р„ гев (еиеи(р, х)) (01~ — ~ ~ .аае /Мар ( — 1)а е е — 1 ае — )11-Т1 п(еа+ 1) е ' ' ср„(х), (16) где еи„(х) = в/п~ — ~п.(- —,~(х 1)1 ~г(, з) Покажем, что и(/,х) =- —,ч гев (еиеи(р,х)) (17) (18) а -сс ив За при 1) Т+ Уа.
Так как а — скорость распространения возмущений, то за такое время возмущение успеет достигнуть правого конца и отразиться от него. Если же 1( Т+ 1/а, то нетрудно показать, что решение имеет вид (8). Рассмотрим интеграл ./се = — ) ер'и (р, х) е/р, 1 Г Зпе,) ги где е>О. Вычислим этот кнтеграл с помощью вычетов. Особые точки подынтегральноп функции совпадают с нулями функции р1 сЬ вЂ” (точка р= 0 — неособая). Следовательно, подынтегральная функция имеет полюсы в точках р = р„где ГЛ. УПХ. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ~ Р(~ — г+-+"— ) ю~ь — г+ — — "~~ 2т (Р) Р ' Первый сомножитель имеет порядок 0(1/р) на контурах Г» при У-а а, а показатели экспонент строго положительны, так как г) Т+ —, 0(х(1. По лемме Жордана интеграл по контуру Г» стремится к нулю при ЛИз (8), (6) находим Объединяя попарно слагаемые с номерами п, -п — 1 (я О, 1, 2, ...) и учитывая, что <р „,(х) — ~р„(х), окончательно получаем и(г,х) = —,~~ ( „з(п(а„($ — Г)) з(е~ — "(х — 1)~, (20) а=а где ю„= — ~е + — ).
(21) Каждое слагаемое в этой сумме — это собственное колебание струны, у которой конец х = 0 свободен, а конец х = 1 закреплен. Собствееные частоты зтих колебаний равны ю,. Как видно из (20), толчок возбуждает все собственные колебания струны. Их амплитуды убывают как 1!п с ростом частоты, но энергия Е„каждого из собственных колебаний примерно где Г» — прямоугольник с вершинами в точках с ~ гу», ~гу» — у», у» яаХЛ. Интеграл У» равен сумме вычетов по полюсам подын- тегральной функции, лежащим внутри контура Г».
Интеграл по отрезку (с — ~у», с+1у ] при У- стремится к и($, е), и оста- ется показать, что интеграл по контуру Г», состоящему из остальных трех отрезков„стремится к нулю при )У- . Имеем СЬ ~ — е — РИ гр(р), у(р) = 1 + ееИГ . 1Й 1 а 2 Покажем, что ~<р(р) ~ >А >0 при р~я Г», где постоянная А пе зависит от У. На отрезке ( — у„+ 1р», с+ 1у.;) имеем и ! р(р)(=1+.а", — у»~у~С, так что ~~р(р)! ~1.
Такая же оценка имеет место на отрезке и а1 1 — у» — 1у», с — ~у ), а на оставшемся отрезке функция еа экспо- ненциально убывает при У- . Позтому подынтегральная функ- ция из (15) равна ГЛ. ЧН1. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 47о Особенно интересен случай, когда Т совпадает с периодом первого собственного колебания, т.
е. Т = 2лlв, = 41/а. (26) В этом случае имеем л и (1, х) = — г — ып(ю„Т) в1п ~ —" (х — 1)), (27) л=а так что (28) ил(1, х)=Хи,(1, х). Таким образом, колебание и,(1, х) после последующих (У вЂ” 1)-го толчка с периодом вида (24) усиливается в Д' раз. 3. Конечная струна, колебания при наличии трения. В этом случае функция и(1, х) удовлетворяет уравнению (9), а данные Коши и краевые условия остаются теми же, что и в п.
2. Переходя к преобразованию Лапласа, получаем для функцие и уравнение (10) и краевые условия (14). Решив эту задачу, получим lа — 1. г (р.х)- (29) Заметим, что и — однозначная функция р, так как функции СЬ 1'з, ЕЬ 1з/Ух — однозначные функции з ($ 22, примеры 18, 19) . Особые точки функции и — корни уравнения (1 сЬ( — "угро + сор) = О, которые равны Рл = ~ э Юл = —, (2Е + 1)о — ао (30) л — 1о Все они — простые полюсы и расположены на прямой Кер= = — а/2, за исключением, быть может, конечного числа, так как ла(2 л 1-1] Р„~ 0 прн больших е.
Коли а ~ 1 при некотором е, то корни р — действительны и отрицательны. Как и в предыдущем случае, интеграл и(1, х) равен сумме вычетов по всем полюсам подынтегральной функции. При вычислении вычетов следует учесть, что выбор значения 1р'+ир безразличен — важно лишь, чтобы зто значение было одним и тем же во всех содержащих его функциях. Вычисляя интеграл ОО и (1, х) = —. ) его~'(р, х) о)р, 1 471 5 ьь.
колввания стРуны получаем и(ь', х) = — т, )ер" — е " ) 2Ьаар ~ Г а П вЂ” т) р+П-т)) ( — 1) Ч'а (а) Я,О ~а где ~р„(х) — те же, что и в (17). Преобразуем это выражение. Имеем — а — т сган т) агап т) 2)е ь з(п ~ «(т Т) 2 Объединяя затем слагаемые с номерами я, -я — 1, находим и(г,х) = (31) При ьь= 0 это выражение совпадает с (20).
Из (31) следует, что трение изменяет собственные частоты колебаний струны: в данном случае (32) Пусть а(яа/ь' дляопределенности,тогда Уа)„)0 при всех я. а ) à — — с) Решение и(ь',х) = О~а ' / прн г- +, т. е. экспоненциально убывает, что обусловлено наличием трения. Рассмотрим результат воздействия на струну М одинаковых толчков, которые совершаются в моменты времени Т, 2Т, ..., ЖТ. Суммируя эти колебания, при г) РГТ+ ГГа получаем 4азУ е$ ( — 1)" Р (а) ил(ь,х) = — е,Д, Х а а )'~~а Г ф~ТГ„' '),"-г Г у~в ') -"-<мч пт 2 / , Яг -~я+пг Г ~р Х з)н~ 2 "(Ь вЂ” ()1'+ 1)Т)/+ е з(п~ — "(8 — Л7) Х а -1 Х 1 — 2е ' соз( — "Т + е *' .
(33) 2 Пусть число толчков велико, т. е. Л- . Тогда величина а, — -лт е з экспоненциальиомала, и сумму (33) можно приближенно ГЛ, УШ. ОПЕРАЦИОННОЕ ИС*1ИСЛЕНИЕ 472 заменить выражением 4»)« —;(е-т) т» ( 1)» иА«(1, х) ж — е 7 — «р, (х) Х ~1~ "е — Мв — "(т — Т) Х . (34) 1 — е' (« 2 где обозначено «Ц» " '«2 ! + ~»~~~ ( — 1)" »=«)«1)» 11 — е 2 е» во — Т вЂ” В)в — (т — Т) 1 — «е (« "Г)«.
2 «« 4», --(е-т> а ж — е В етом случае резонанс проявляется значительно слабее (ср. (48)), поскольку при наличии трения собственные частоты «е„ не являются целыми кратными наименьшей частоты «о,. 2 = ЖТ+ т, т ) «/а. (35) Рассмотрим случай, когда период толчков совпадает с периодом первого собственного колебания струны, т. е. Т = 2я/«о, = = 4я/Я,.
Тогда соотношение (34) примет вид и«е(г, х) ж СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Б ица две А. В. Основы теории аналитических функций.— Мз Наука, 1984. 2. Владимиров В, С, Уравнения математической физики.— Мх Наука, 1988. 3. Волковыский Л. И., Лунц Г, Л., Араманович И, Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного.— Мз Паука, 1975. 4.
Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.— Мз Наука, 1966, 5, Гурвиц А., Кур акт Р. Теория функций.— Мз Наука, 1968, 6. Евграфов М. А. Аналитические функции,— Мз Наука, 1968. 7. Евграфов М. А, Асючптотические оценки и целые функции.— Мх Наука, 1979. 8.
Копне нфе лье В., Штальман Ф. Практика конформпых отображений,— Мз ИЛ, 1963. 9. К у д р я в ц е в Л. Д, Курс математического анализа.— Мз Высшая школа, 1988.— Т. 1, 2. 10. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного.— Мз Наука, 1988. 11. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций.— Мх Наука, 1967.— Т, 1; 1968.-- Т, 2. 12. Морс Б. А.,Фешбах Б. Методы теоретической физики.— Мз ИЛ, 1958. — Т. 1.
13. Никольский С. М. Курс математического анализа.— Мз Наука, 1983.— Т. 1, 2. 14, Олв ер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные фупкции.— Мз Наука, 1978. 15. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного.— Мз Наука, 1984. 16. Сборник задач по теории аналитических функций/Под редакцией Евграфова М. А.— М.: Наука, 1972. 17. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.— Мз Наука, 1979. 18.
Смирнов В. И. Курс высшей математики.— Мз Наука, 1974.— Т. 3, ч. 2, 474 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 19. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхпоогей.— Мх ИЛ, 1900. 20. Т их ям арш Е. Теории функций.— Мл Наука, 1980. 21. Уиттекер Э. Т„Ватсон Дж. Н. Курс современного аналиаа.— Мл Наука, 1963.— Т. 1, 2. 22.
Ф едор юк М. В. Метод перевала — Мл Наука, 1977. 23. Фукс Б. А., Шабат В. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения.— Мх Фивматтиз, 1959. 24. Шабат Б. В. Введение в комплексный аналиэ.— Мл Наука, 1985.— Ч. 1, 2. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абели теорема 87 Аналитическое продолжение 109 — — вдоль кривой 141 — — — цепочки областей 140 — — гамма-функции 108 — — интегралов 116, 119, 120 — —, принципы 110 — — степенных рядов 142 Аргумент комплексного числа 12 — принцип 252 †, приращение 51 — производной 71 Аркспнус 166 Арктавгенс 165 Аспмптотическая оценка 36, 366 — последовательность 385 †, ряд 386 †, формула 386 Асимптотическое разложение 386 — — Беллеля функции 408 — — гамма.функции 401 — †, единственность 386 — — Макдональда функции 397 — — Эйри — Фока функции 417 Бернулли формула 380 — числа 87 Бесконечное произведение 262 Бесконечно удаленная тачка 21 Бесселя уравнение 215, 431 — функция 408 Бета-функция 329 Бурмана — Баграниса ряд 266 ,Ватсона лемма 395 Вебера уравнение 205 Вейержтрасса признак 38 — теоремы 20, 93, 94 Векторное поле 350 — †, звхревсгачник 352 — †, вихрь 352, 357 — — гармоническое 354 — †, дивергенция 351 Векторное поле, диполь 357 — †, источник 356 — —, комплексный потенциал 355 — †, критнчесиая точка 350 — †, линия тока 350 — †,мультпполь 358 — — цотенциальпое 354 — †, поток 351 — †, ротор 352 — — соленоидальное 353 — †, сток 356 — †, циркуляция 352 — †, зкзипотенциальные линни 354 Ветвь функции 51 — аналитическая 192 — регулярная 169 Вааьтерра интегральное уравнение 460 Вычет 218 — в бесконечно удаленной точке 220 — в полсосе 219, 220 †, основная теорема 222, 223 Гамма функция 115, 401 Гармоническая функции 61 — †, принцип максимума н минимума 273 — — сопряженная 62 Гипергеометрическое уравнение 213 Гомотоппые кривые 34 Граница области 31 Граничная точка области 31 Грина функция 343 Дельта-функция Дирака 454 Диркхле задача 335 Длина кривой 29 Дуга 29 Жордапа лемма 232 — теорема ЗЗ ПРЕДМЕТНЫЙ УНАЗАТНГГЬ )Куковского профиль 312 — теорема 361 — функция 295 Изображение 437 Интеграл вероятностей 395 —, зависящий от параметра 111, 112 — Лапласа 390 — по кривой 44 — типа Коши Н8 — Фурье 402 Комплексная плоскость 11 — — расширенная 21 Комплексные числа 7 — — в алгебраической форме 8 — — в показательной форме 15 — — в тригонометрической форме 13 — — геометрическая интерпретац и10 — — сопряженные 8 Коши — Адамара задача 203 — — интегральная теорема 75 — — интегральная формула 84 — — критерий 20, 24, 38 — — неравенства 125 — — формула 87 Кошл — Рттмава условия 59 Кривая 27 — гладкаи 30 — замкнутая 28 — кусочно гладкая 30 — неограниченная 30 †, параметрическое уравнение 27 — простая 28 — спрямляемая 29 Кристоффеля — Шварца интеграл 323 — — теорема 324 — — формула 324 Лапласа интеграл 390 — метод асимптотических оценок 390 — метод коитурного интегрирования 425 — преобразование 394, 436 — уравнение 61, 335 — формула обращения 444 Лежандра уравнение 216 — эллиптический интеграл 330 Линия наибыстрейшего спуска 413 — тока 350 — уровня 353 — — гармонической функции 412 Лиувилля теорема 137 Логарифм 41, 105, 145 Лорана ряд 121 — †, главная часть 127 — †, правильная часть 127 Луночка 292 Меллнна преобразование 114 Метод Лапласа 390 — перевала 424 — стационарной фазы 402 Мероморфиая функция 138 —, разложение на простейптие дроби 257, 259 Модуль комплексного числа 8 Монодромии теорема 169, 170 Марера теорема 93 Муавра формула 14 Неймана задача 345 Неравенства треугольника 12 Нули регулярной функции 100 Ньютона — Лейбница формула 26 Область 31 — многосвязная 79 — ограниченная 32 — односвязпая 33 Окрестность 19 — бесконечно удаленной точки 21 Операционное исчисление (метод) 436 Определяющее уравнение 214 Оригинал 437 Основная теорема высшей алгебры 137 Особая точка 126 — — граничная 187 — — миогозначиого характера 192 — — однозначного характера 126 — — регулярная 211 — †, существенно особая 126 — — уравнения 207 — — устраннмая 126 Ось действительная 11 — мнимая 11 Отображение 66 — взаимно однозначное 66 — дробно-линейное 279 — однолистное 66 — конформпое 73, 274 Первообразиая 80 Пикара теорема 138 Показатель роста функции 438 пгкдмитнын уклзлткдь 477 Полюс 126 Последовательность 18 — ограниченная 20 — равнозюряо сходящаяся 38 — сходящаяся 19 Предел последовательности 18 — функции 35 Преобразозанве Лапласа 113, 116 — Меллвяа 114 — Фурье 113 Прингсхейма теорема !91 Принцип аргумента 252 — аналитического продолжения 110 — максимума модуля 272 — — и минимума гармонических функций 273 — симметрии 314 — соответствии границ 276 — сохраненяя области 271 Производная 25 — высших порлдков 91 †, геометрический смысл 71, 72 Производящая функции 433 Пуассона уравнение 345 — формула решения задачи Днрнхле 338, 341 — — суммирования 408 Пюпзо ряд 202 Разноствые уравнения 431 Радиус сходнмости 87 Римана — Лебега лемма 403 Римана поверхность 152, 161, 202 — сфера 22 — теорема 276 Руше теорема 254 Ряд абсолютно сходящийся 23 — асиюпотическнй 387 — равномерно сходящийся 38 — степенной 86 — сходящийся 23 Свертка функций 443 Симметрии прннцип 314 Сахоцкого теорема 133 Стереографическая проекция 22 Стирлинга формула 401 Тейлора ряд 91 Теорема единственности 107 — об обратной функции 101, 263 — о среднем 85 — — — для гармонических функций 86 — разложения 450, 451 Точка ветвления !50 — — з!ога1шфмн в свая !00 — перевала 411 Угол в босконе'шо у!!ангиной точке 274 Условие Коши — Римана 50 — Чаплыпша 364 Формула обращении и!н обрввова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
