1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (532772), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Теорема 3. Пусть функция регулярна в точке р Г( ) = 0 и пусть ее ряд Лорана в окрестности точки р = имеет вид (12) Тогда оригиналом функции Г(р) является функция (13) Доказательство. Выберем В, столь большим, чтобы множество ~р~ «В, не содержало особых точек функции Г(р). Так как р= — нуль фунгщни Г(р), то существуют М«0, В, «В, такие, что !Г(р) ! (М/В при !р! =В«В,. 29 ю, в, садовод и др. г 88.
ВОССГАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕИИ10 Я8 Пусть Ä— дуга окружности С„, расположенная слева от прямой г(ер = а, а~ 1܄— точки пересечения С„с этой прямой, '(„— замкнутый контур, состоящий из отрезка (а — 1Ь„; а+1Ь'1 и дуги Г„, Так как интеграл (19) попимается з смысле главного значения и Ь„-~о при п-,то «+'ь „ У (8) = 11 — „, ~ е' Р (р) др. а-гь„ (20) При 8) 0 по лемме )Кордана )пп ) ег'Р(р) др = О.
Поэтому ««г « формулу (20) можно записать в виде ~ (8) = )пп — ) е"~Р (р) Нр. (21) Применяя к интегралу (21) теорему о вычетах, получаем формулу (18). Теорему 4 называют второй теоремой разложения. Следствие. Если Р(р)=А„(р)(В„(р), где А, „— многочлены степени и и гп соответственно, не имеющие общих нулей, и если и < пг, то а~в — 1 ~Я = ~,, (Р(р)ег'(р — рг) А) )г „„, (22) ,=,( ~ ')' вр ' ' где р„..., рг — различные нули многочлена В (р), т„— кратность нуля Р».
Формула (22) получается из (18), если воспользоваться правилом вычисления вычета в полюсе кратности т„(3 28). В частности, если все полюсы функции Р(р) простые, то формула (22) 29» 2. При любом а»и интеграл ) !Р(а+ (о))с(о сходится. Тог- 1» да Р(р) — изображение, оригиналом для которого служит функция ~ (1) = ~~Э~ гез (Р(р) е" 1, (18) (М Р=РА где сумма берется по всем полюсам функции Р(р). Доказательство. Функция Е(р) удовлетворяет условиям теоремы 2 и, в силу этой теоремы, Р(р) — изображение функции а+ Й« 1(8) = .— ~ ее'Р(р) др. (19) а †гл. Чпь опеРАционное исчисление принимает вид А„(р) з~ч А„(рг) рай и (р) ' я' (р) (22') Приме р 3. Найдем оригинал ) (1) по его изображению '(р) Так как функция Р(р) = ) имеет простые полюсы р = 1, рз = -2, то по формуле (22') находим Следовательно, 1(1)=Зе' — 2е ".
Этот же лучить, разложив Р(р) на элементарные 2 1 м — — и используя формулу — ° е . Р+2 Р— Х Пример 4. Найдем оригинал 1(1), = (1+ р')' результат можно по- дроби Р(р) = —— 3 Д если его изображение уф=~ ~,Р1 1 3 Отсюда находим г(1) = — 1соз(-(- — айве. этот же результат следует из равенства 1+2р 1 р — 1 3 1 (...) =2(У+1)з 2рз р — 1 1 и формул,, есозе — ~ ззп 1. Д (р'+ 1)' ' 1+ р' Пример 5. Найдем оригинал 1(1) по его иаображению 1 (Р) =( а+1)з.
Функция Г(р) имеет полюсы третьего порядка р, 1; р,= — 1. По формуле (18) в силу правила вычисления вычета в кратном Функция р(р) =,, имеет полюсы второго порядка 1+ 2р (р — 1)'( + 1) Р~=1 рз= — й Применив формулу (18) и правило вычисления вычета в кратном полюсе (3 28), получаем 1 18. Восстановление огигинллА по изовРАжкнию 483 и И 1 еое 1 1 ео" полюсе получаем /(1) = — ~ о~ + — ~ — о, откуда 2 1(р+1) ~р в 2 <(р 1) )р находим / (1) = — э1а 1 — — 1 сов 1 — — 1о з)п Ф. Д з.
з 1 8 8 8 сходится и представляет функцию, регулярную в области Кер ~0. Вьвчнслим этот интеграл. Пусть р действительно и положительно. Полагая в (23) р1 = т, получаем ОО С Р(р) = ) 1~е Р~е)1 = — е т Ит, с+в з о о Следовательно, Р р) ГЕ+1) (24) Продолжая аналитически функцию Р(р) с полуоси (О, + ) в область Кер) О, получаем, что формула (24) верна при Кер) )О, так что 18 (~+ ) ~) — 1 Кер)0. ра~-в (25) Отметим важный частный случай р = — 1/2 формулы (25), Так как Г(1/2)= Уя, то 1/~я1-. 1/~ р. 2. Импульсные функции. Рассмотрим функцию б ()= ь' ° — 0(1(Ь, (27) О, 1<0, 1>Ь.
Эту функцию при малых Ь можно физически истолковать как силу постоянной величины 1/Ь, действующую на малом 4. Изображение некоторых вчементарных и специальных функций. 1. Степенная функция. Рассмотрим функцию /(1)-1о. Если — 1(р(0, то /(О)=, и поэтому функция /(1) не удовлетворяет условиям, наложенным на оригиналы в $47. Однако при р ) — 1 и Ке р > 0 интеграл Р (р) = ~ 1ае Р'Ж о Гл. уш.
Опкгационное исчисление промежутке 0 (» ~ Ь с импульсом, равным единице: л ~ б,(»)й»=~ — '„"=1. (28) — 30 о Введем условную функцию, которую будем считать пределом при Ь- 0 семейства функций б,(»). Обозначим эту функцию б(») и назовем импульсной функцией нулевого порядка или б-функцией Дирака. В силу (27) н (28) эта функция должна удовлетворять ус- ловиям (сю, »=О, б(») = ~ ) б(») д» = 1, О, »~0, которые для обычных функций не могут одновременно выполняться. Тем не менее б-функция используется кан условное сокращенное обозначение для предельного физического процесса, в котором рассматривается бесконечно большая величина (например сила), действующая в бесконечно малый промежуток времени с суммарным эффектом, равным единице. Заметим, что б„(») = — „(В (») — О (» — Ь)), » (29) где 0(») — функция Хевисайда.
Условимся считать, что изображение б-функции является пределом прн Ь вЂ” 0 изображения функции бь(»). Таи иан бь (») (1 — е ™)/рЬ, то б (») -. ° 11ш ь-г Ра т. е Аналогично вводятся импульсные функции б'"'(») для п~ 2 и получаются формулы бро(»)-р . (32) б(») ~ (30) Отметим еще, что в силу (29) функцию б(») можно формально рассматривать лан производную от функции 6(»), т. е.
б(»)=8 (»). (34) Поэтому формулу (30) можно получить из формулы 9(»)-.1/р по правилу дифференцирования оригинала. Из (30) по свойству запаздывания оригинала находим б(» — т) ме Р~, т)0. 8 88. ВосстАновленне ОРигинАлА по изОВРАженшо 455 Обоснование формул (32) можно дать на основе теории обобщенных функций [2). 3.
Бесселевы функции. Функция Р(р) — ~4+,),,» ( — 1) регулярна в бесконечности и г'( )=О. По первой теореме разложения ОЭ Р(р)-,)', (- $)' „, =У.(8). 288(,, 8 О Таким образом, доказана формула Уа (8) (ЗЗ) р'+ т Заменяя в формуле (ЗЗ) 8 на 8рг, в силу свойства подобия по- 1 лучаем Хз(Щ ~, откуда по правилу смещения изображенил находим е "'Х,(фг) . (34) У(р+ а)' — 5' ' Формулу (34) можно записать так: ~ "'у.(и)- .. 'г' (р+ а) где Х,(8) — бесселева функция от чисто мнимого аргумента. Испольауя формулу (33), докажем методом индукции, что ( Ура+1 — р)и (35) ) р+1 При и =0 формула (35) совпадает с формулой (33), Так как у,(г) = — у,'«),,т,(о) =1, (36) то по правилу дифференцирования оригинала из (36) и (33) находим Х, (Ю) ° ( )~р~ + 4 — р)/ У рз + 1, т.
е. формула (35) верна при п=1. Пусть эта формула справедлива для всех номеров, меньших и (я ~ 2). Испольауя формулу Х (9 = Хи 8(8) — 2Х„,(~) и соотношение У„, (0) О, находим )/ 8 )и-8 ()/ 8 )и — 1 р+1 6Р+ ~ Окончательно получаем Х (8) -. ~', + Гл. чпь опквационнов исчислении (37) (39) Рассмотрим функцию д(1)=е'Ег1(Й) е' — е'ет1(й). Из (40) и (39) следует, что у(О-. ' » — ' (» — т)У»»~-У»' Следовательно, е Ег1('~~е ), откуда получаем »+Ъ» Е" (~'-,. +'Л-.— Далее, из равенства М»+ и и формулы — * = следует, что р» ~/л~ ~/»+ и -а~ т ( — а~ ет -. е — + а ) е » ' уй+ .) рот' о (40) (41) илн р "+ -.
= е "'+ )/аег1()/сМ), а >О. » ~/~т~ (42) 4. Функции, связанные с интегралом вероят- ностей. Рассмотрим функции ег1(т) = = "е ' Ыт, ~/я ~ Ег( (~) = 1 — ет1 (1), 1(1) = е' ег1 (й). Эти функции являются оригиналами, причем Г(е) =1(1)+ —. Пусть 1(т)-. ° Р(р). Тогда иа (37), испольауя формулу 1/~'пе 1/)' р и правило дифференцирования оригинала, получаем рР (р) = Р (р) + —, откуда е' (р) =, т.
е. У» — )~»' е'ег1()/т) и. ( — )(г' Иэ (38) по правилу смещения изображения находим ет1( ~Г) = »)»+ Е НЬ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 457 й 49. Применение преобразования Лапласа к решению линейных уравнений 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение и-го порядка с постоянными коэффициентами Ех = х'"'(1)+ а,х'" "(1)+... + а„,х'(г)+ а„х(1) =/(1), (1) Поставим аадачу Коши: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям х(0) = хв х'(О) = хо, х'-" (0) хэ-о (2) где х„х„..., х„,— заданные постоянные. Предполагая, что 7(1) — оригинал, будем искать решение х(г) аадачи (1) — (2) такое, что х(й)=0 при й(0. Пусть х(1) Х(р), 7(О Р(р).
По правилу дифференцирования оригинала и свойству линейности, переходя к изображениям в уравнении (1), в силу условий (2) получаем р'Х(р) — р" 'х,—...— рх„,— х„,+ + а,(р" 'Х(р) — р" 'х, —... — рх„, — х„,)+... ... + а„, (рХ(р) — х,)+ а„Х(р) = Р(р) илк А (р) Х(р) — В (р) = Р(р), где А (р) = р" + а,р"-'+...
+ а„,р+ а„— характеристический многочлеи уравнение Ех = О, В(р) = х,(р" '+ а р" '+... + а„,) + + х,(р" '+ а р" '+... + а„,)+... ... + х„,(р+ а,)+ х„,. Отсюда Х(р)=(В(р)+Р(р))/А(р). Для нахождения искомого решения х(г) аадачи (1) — (2) нужно восстановить по Изображению Х(р) его оригинал х(1).
Это можно сделать с помощью формулы обращения. При практическом применении операционного метода вместо формулы обращения обычно используются таблицы оригиналов и нх изображений. В частности, если 1(7)— квазимногочлен (линейная комбинация функций вида ге"'), то ° Х(р) — рациональная функция. Для нахождения оригинала эту функцию часто бывает удобно представить в виде суммы элементарных дробей. Для обоснования возможности применения операционного метода к аадаче (1) — (2) достаточно убедиться в том, что х(1), х'(1), ..., хоо(1) — оригиналы.
Воспользуемся представлением х(Ц в виде х(1) =х(7)+ х,(1), где х(8) — решение однородного гч. тпь опкгеционнок исчисление уравнения Ах=О (3) с заданнымн начальными условиями (2), а х,(~) — решение уравнения (1) с нулевыми начальными условиями. Заметим, что х(1) есть линейная комбинация функций вида геи (г>0 — цалое), и поэтому все проиаводные функции х(1) — оригиналы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
