1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Можно взять вместо (91.3) равносильное соотношение ь дх! дьк! дль дх!дкт (91.4) используя закон преобразовзния (89.1) в форме (89.8) Таким образом, переходя от координат х! к координатал! хг, мы можем добиться обращения Г! ! в нуль в наперед заданной точке М. Для этого достаточно подобрать функции х! (х', ..., х") так, чтобы их вторые частные производные в точке М выражались через их первые частные производные и Гьг! в той жг точке М согласно (91А), а зто можно сделать бесчисленным количеством способов. Зададимся, например, неособенной числовой матрицей а! и введем новые координаты х' посредством формул х' = а! (х' — хм) + — аь Гц(М) (и! — хм) (х~ — хм).
(91.5) Здесь х,и, Гг;(М) — определенные числа, так что х' выражаются через х' квздратичными многочленами. Дифференцируя (91.5) по х', а потом по х! почленно и полагая х = хм, получаем: але !' дьк' дл' длгдхт —. (М) = аг, —. (М) = — аь Гг! (М), так что (91 4) соблюдается, а значит, Г, р= О. Полученная коорди- натная система х! пригодна, по крайней мере, в некоторой окрест- ности данной точки М. е В качестве матрицы а! можно взять и просто единичную матрицу. Точкой М можно задаваться произвольно. Однако каждый раз пе- реход к координатаи х! приходится делать по-своему, и каждый раз мы получаем, что Г;! — — О лишь лля одной точки М.
Если бы захотели указанным приемом добиться тождественного обращения Гь; в нуль, то нам нужно было бы обеспечить равенство (91,4) в каждой точке М, т. е. проинтегрировать соответствующую си- стему дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций х' (х', ..., х"). Однако зта системз, вообще говоря, несовместна. К атому вопросу мы вернемся в главе ГХ. Напомним, что мы рассматриваем пространство без кручения, ь ь Это очень существенно, так как в случае Г„-=ЮГ!! вторые частные производные нельзя было бы вычислять по формуле (91.4) Если в даннык координатах х в данной точке М имеет место Ге! (М) = О, то координаты х называются геодезическими в точке М.
428 (гл. Ри РИЫАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА Значение геодезических координат состоит в том, что они вблизи точки М подражают аффинным координатам, насколько это возможно в нашем пространстве. Действительно, формула параллельного перенесения (89.18) в точке М и в соответствующих геодезических координатах х' дает » Это означает, что координаты параллельно переносимого вектора С ' » хоть и не являются постояннымн, как в аффннных координатах, но все же являются стационарными в точке М.
Точнее, это значит., что при бесконечно малом смещении из точки М по любому пути координаты параллельно переносимого вектора С получают приращения Л$» бесконечно малые высшего порядка (ввиду й$ '=0). В остальных точках пространства координаты х', геодезические в ~очке М, никакими преимуществами не обладают. Заметим„ что линейное преобразование геодезических координат хг = А,'.х' + А' оставляет их геодезическими в данной точке.
Действительно, так дэм ! как в этом случае , „ = О, то закон преобразования Гт» прндкрда» ннмает тензорный характер Г'-»-= А'; А,'.А»-Гг»ч и из Гр» (М) = О следует Г,'-». (М) =О. Итак, если пространство без кручения, то длл каждой точки М можно построить координаты хг, геодезические в этой точке. Этот результат можно значительно усилит»П преобразованием координат хг можно добитьсл обращения Г;, в нуль не только в любой наперед заданной точке, но и вдоль любой наперед заданной кривой С Кривая С предполагается несамопересекающейся; координаты хг задаются в некоторой окрестности этой кривой+).
Предварительным преобразованием координат всегда можно добиться, чтобы наша кривая оказалась некоторым отрезком координатной линии х', т. е. чтобы х', ..., х" вдоль нее оставались настоянными. Для простоты всегда можно принять, ничего не теряя в общности, что вдоль кривой х'=... =х" = О, О(х' (1. (91.6) Предположим, что нам удалось перейти к искомым новым координатам х, так что вдоль нашей кривой Г,т =О. Тем самым в каждой г точке нашей кривой должно соблюдаться соотношение (91,4). ") Конец этого параграфа можно опустить беэ ущерба для понимания дальнейшего. 5 91) пгостялнствл лавинной связности вяз кгячнния 7.„' 429 Вдоль нашей кривой значении —. будут функциями от х, что дх' 1 дх' мы обозначим так: дх' —, = а; (х').
(91.7) Тогда (91.4) дает д'х' 4 г = Гп (х') аа (х'), (91.8) дх'дхт где Гы вдоль нашей кривой тоже являютси функциями х'. Отсюда и легко вытекзет, что функции а, (х') не могут быть произвольными: дифференцируя (91.7) по х' почленно и сравнивая с (91.1)) прн 7'=1, получим для а, (х') нормальную сне~ему обыкновенных лип нейных дифференциальных уравнений = Г„(х') а„(х'). Все полученные до сик пор соотношения лишь необходимы, так как мы рассуждали, предполагая задачу решенной. Теперь откинем это предположение н перейдем к фактическому отысканию новых координат х'. Для этой цели интегрируем систему (91.9), произвольи 1 но задавшись начальными значениями а~ (О) функций а; (х') при условии неособенности матрицы а, (О). Как известно, решение а; (х') в этом случае существует (причем матрица а~ (х') остается и неособенной).
Далее, напишем соотношение (91.7) при 1 = 1 д ~ (91. 1О) Интегрируи его при произвольных начальных значениях х' =х' (О), находим х' как функции от х' вдоль нашей кривой: к' хп = х' (О)+ ) а, (х') Их'=ут' (х'). (91.11) а Теперь мы введем новые координаты х' в окрестности нашей кривой по формулам х' У' (х') + а, (х') х" + — Г С(х') аа (х') х'ха. (91.12) Здесь а, р пробегают значения 2, 3 ..., л. По существу мы получаем здесь новые координаты х' в виде разложения в ряд Тейлора по степеням старых координат х', хз, ..., х" при каждом значении х', 0 (~ х' < 1, Для простоты 430 (гл. Рп Рнмкнозы пРостРАнстнл обрываем ряд на членах второй степени. Выражения для вторых частных производных заимствованы из (91,8), Остается проверить, что вдоль кривой (91.6) удовлетворяются уравнения (91.4), а для этого достаточно проверить (91.7) и (91.8).
Дифференцируя (91.12) по хт(7=2, 3, ..., и), имеем; — „= ат(х')+ Г„т,(х') аь (х') х'. (91. 13) В последнем члене мы лифференцировали по х" только ха, а потом удвоили результат, так как дифференцирование х' дает то же самое. Так как речь идет о кривой (91,6), то х'=О, и Дх Р— =а (х), дх" так что (91.7) имеет место при !=2, 3, ..., и. Чтобы проверить (91.?) при !=1, дифференцируем (9!.12) по х' и, полагая затем х'=О, приходим вдоль нашей кривой к выражению дх! и?! (х') Р— = а1(х ), дх' Дх! где последнее равенство слелует из (91.11).
Итзк, (91.7) проверено полностью, Продифференцируем (91.13) пах" (6= 2, 3, ..., и) почленно: дьх! = Га (х') а„(х'), дх"дх" и значит, (91.8) соблюдается при 1, 7'=2, 3, ..., и. Далее, диф- ференцируя (91.13) по х' и полагая х" — — О, имеем: Д'х' йа' (х') т дх'дх! Дх! Заменяя правую часть согласно (91.9), убеждаемся, что (91.8) соблюдается вдоль нашей кривой при ! =1, 7=2, 3, ..., л. Наконец, дифференцируя (91112) два раза по х' и полагая х'= О, получим: д'х' Дь)' (х') Да1 (х') Д11Дх1 Дх1Дх! Дх! Г1 1( ) ь (х ) В этой выклздке мы использовали (91.10) и (91,9).
Итак, соотношение (91.8) проверено полностью. В результате вдоль нашей кривой и соблюдается и (91.4), и тем самым Г, р =О. Координаты хр со свойством Г!,; = О вдоль данной кривой мы будем называть геодезическими вдоль этой кривой. 9 92) изовглжзние кгивой в с„в види кгивой в А„431 Координаты х", геодезические вдоль данной кривой, обладают вблизи нее свойствами как бы аффинных координат; при бесконечно малом смещении из любой точки М нашей кривой дифференциалы координат параллельно переносимого вектора йь' равны нулю, так что Л$е суть бесконечно малые высшего порядка. Таким образом, при параллельном перенесении вектора в бесконечной близости нашей кривой его координаты остаютсн «почти постоянными».
Это справедливо при любом бесконечно малом смещении ие только по нашей кривой, но и «вбок» от нее, Если же, в частности, смещение происходит вдоль самой кривой, то все время д5е =0 и координаты параллельно переносимого вектора просто остаются постоянными; Сп = сопзс. Конечно, наш способ введения координат х", геодезических вдоль данной кривой, отнюдь не является единственным; мы его выбрали ляшь как наиболее простой. Результзт не изменился бы, например, если бы мы в (91.12) добавили еще кзкие угодно многочлены с членами степени ) 2 относительно х', ..., х" и с коэффициентами, зависящими от х'. Наше предположение, что кривая не самопересекаетсн, существенно: иначе она содержала бы замкнутый контур, при обнесении по котороиу вектор $»', вообще говоря, должен был бы измениться, а потому и нельзя было бы подобрать таких координат х', чтобы вдоль кривой координаты вектора сь' оставзлись постоянными.
Но и сейчас не исключено, что хп будут принимать одинаковые значения в разных точках кривой С; в этом случае х' играют роль координат лишь локально †некоторой окрестности каждой точки кривой С. 9 92 . Изображение кривой в г.„ в виде иривой в А„ Рассмотрим в пространстве аффинной связности с„ произвольную несамопересекающуюся кривую С ха= хг(г), а(1е 'д, (92.1) вдоль которой мы параллельно переносим всевозможные векторы ( =1'(г), (92.2] 432 РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА (гл.
Рп так что йс~ = — Г;дтс(х'. (92.3) Одновременно с пространством Е„будем рассматривать аффинное пространство А„. Мы ставим себе следующую задачу: данную кривую С и всевозможные векторы Сг в каждой ее точке М изобразить кривой С и векторами $ в пространстве А таким образом, что: ь Л 1 . Все аффинные свойства (линейные зависимости) векторов $( в данной точке М сохраняются в изображении. 2'. Вектор бесконечно малого смещения дх' вдоль кривой С изображается вектором соответствующего бесконечно малого смещения йх вдоль кривой С* (где х †скользящ радиус-вектор кривой С'). 3'. Параллельно переносимый вдоль С вектор $((() изображается вектором $, параллельно переносимым в А, т. е.
Постоянным. Таким образом, мы хотим получить в аффинном пространстве А„ как бы модель кривой С с параллельно переносимыми вдоль нее векторами $((г) н притом такую, чтобы она правильно передавала все существенные свойства оригинала (однако для С* мы уже не требуем иесамопересечения). Очевидно, что в этой модели касзтельные аффиниые пространства в разных точках М кривой С все отождествятся с пространством А„. Чтобы облегчить себе задачу, выберем из бесконечного множества параллельно переносимых векторов $((г) и линейно независимых векторов Ь( )(г) Ц ) (г) , В(.) (т). Тогда в силу сохранения линейных зависимостей при параллельном перенесении любой параллельно переносимый вектор й((г) разлагается по векторам (92А) с постоянными коэффициентами: $'(() = )%( ) (~)+ +) "$(ю (у). (92.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
