1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Значит, и левая часть симметрична относительно р, д и условия интегрнруемости (93.5) выполняются тождественно (при любых х', ..., х"). В теории дифференциальных уравнений доказывается, что в этом случае система (93.4) имеет решение и притом единственное при любых начальных условиях вида хл=-хьь()г = 1, 2, ..., л) при хы' = х,'(ш' = !', 2', ..., л'), (93.6) по крайней мере, в некоторой окрестности точки х,""ь). В этой окрестности можно считать зависимость хь(х', ..., х"') обратимой, так как в силу линейной независимости векторов $~„,! из уравнений (93А) следует неравенство нулю якобиана: ""„', ~о.
(93.7) Таким образом, х ' можно принять за новые координаты в некоторой окрестности произвольной точки М (х', ..., хьь). Новые координаты хы' подобраны, следовательно, специальным образом, в то время как старые хь были произвольными. В частности, можно взять х" совпадающими с х""; тогда (93.3), (93.4) дают ь Из второго равенства получаем: л л $( )=3 ° и, вставляя в первое, приходим к искомому результату Следовательно, х ' действительно служат аффинными координатами в некоторой окрестности данной точки М, и наше пространство является (локально) аффинным.
") См., например, П, К. Р а ш е в с к н й, Геометрическая теория трав. пенна с частными производными, М.— Л., Гостехнздат, )947. 4 26 $ 94! АФФнннАЯ сВЯзнОсть В Рим»нОВОм пРОстРАнстВе 443 9 94. Аффиннзя связность в римановом пространстве До сих пор мы рассматривали отдельно риманову геометрию порождаемую метрическим тензором уг (М), и геометрию аффинной связности, порождаемую объектом связности Г",;(М).
Наиболее содержательная геометрическая картина получается при объединении той и другой геометрии, причем это можно сделать вполне естественным путем. А именно, в риманоаом пространстве всегда ложно построить и притом единственным образом связность Г»г (М), обладающую слгдующами двумя свойствами.
!', Кручение равно нулю Г; =Г»п 2'. Всякий раз, когда вдоль какого-либо пути одиовргмгнно переносятся параллельно два вектора й, т), их скалярное произведение мг меняется. Из условия 2' следует, в частности, что скалярные квадраты параллельно переносимых векторов также остаются постоянными. Таким образом, мы хотим подобрать связность Г» так, чтобы всевозможные векторы $, Ч, ..., заданные в какой-нибудь точке М, вели себя в процессе параллельного перенесения как одно твердое тело: не только аффннные, но и все их метрические свойства должны оставаться неизменными, в частности, не должны меняться их длины и углы между ними (все это вытекает из постоянства скалярных произведений фч). Это требование должно приблизить нас к положению вещей в евклидовом пространстве, где параллельное перенесение Векторов, очевидно, сохраняет все нх метрические свойства. Условие 1' имеет аналогичное назначение: аффинная связность в евклидовом (или, что то же самое, в аффинном) пространстве имеет кручение нуль.
Вводя связность в римаиовом пространстве, мы стараемся сохранить и это свойство. Переходим к доказательству нашего утверждения. Будем искать связность Г»;, удовлетворяющую условиям !', 2'. Скалярное произведение векторов й, т) записывается согласно (85.3) в виде Требование постоянства $ч! при параллельном перенесении вдоль какого-либо пути можно записать в виде равенства нулю дифференциала д (ьт)) = д (уг;Гт)/) = 0 (94.2) или (94.3) [гл. тн 444 Римзновы пгостРАнстял Так как векторы $, Ч переносятся параллельно, то (й'= — Г',Д' )хР, )т)'= — Г'„)' 7 ', где Г;~ — коэффипиенты искомой связности, а пхР— дифференпиалы координат точки при бесконечно малом смещении по пути.
Кроме того, Вставляем все это в (94.3), изменив предварительно в этом равенстве обозначения индексов суммировании: во втором члене 7 на )г, в третьем члене 7 на )г. Получим: (" д — р — ~цГр~ — КгеГр,/ ьт) пх = О. Так как $', Ч7, Ихг мы можем выбирать совершенно произвольно, т.
е. любые векторы можем переносить по любому пути, то равенство должно представлять собой тождество относительно ~', Ч', пхР. Отсюда вытекает обращение в нуль всех коэффипиентов при этих величинах: аа,у д— , — ~зуÄ— ~гаГрр= 9. (94.4) Из этих уравнений и из условия 1' и подлежат определению искомые Г;;.
Очевидно, от соотношений (94А) можно обратной выкладкой вернуться к (94.2), так что эти соотношения не только необходимы, но н достаточны для соблюдения условия 2'. Обозначим аналогично (79.14): (94. 5) поднятием индекса через величины Го~у Ясно, что обратным е, можно выразить Гн.' ю Гп=д Ггы При этом в силу условия 1' как Г;7, так и Г, Ы симметричны по индексам т', /, Теперь уравнения (94.4) перепишутся в виде ад, Г +Г /Рг+ 'Рl дквп' (94.7) Но эти уравнения по форме вполне совпадают с (79.17) и решаются таким же образом. Получаем (аналогично (79.18)); 8 94] лввнннкя связность в гимкновом пгостгкнстве 445 и согласно (94.6) (94.9) Формулы (94.9) дают решение поставленной задачи, как мы видим, единственное.
Мы нашли связность без кручения, сохраняющую скалярное произведение любых двух параллельно переносимых векторов; оказалось, что она будет только одна. Ранее полученную формулу (79.19) по внешности совершенно такую же, как формула (94.9), нужно рассматривать как частный случай последней. Действительно, формула (79,19), рс:пает длл евклидова пространства по существу ту же самую за,хачу, которую мы решили сейчас для более общего случая риманова лространстви Может показаться, что нужно проверить, образуют ли Го, найденные в различных координатных системах к', один и тот же объект связности, т.
е. удовлетворяют лн они закону преобразования (89.1). Однако это можно утверждать и без проверки. Действительно, в силу инвариантного характера требований 1', 2' безразлично, н каких координатах л' искать нашу связность; она будет получаться всегда одной и той же, Но это и означает, что Гп, вычисленные в любых координатах, образуют один и тот а же объект связности. Конечно, это можно проиерить и непосредственной выкладкой, исходя из (94.9) и пользуясь законом преобразования метрического тензора дг .
Полученную связность в римановом пространстве мы будем называть римановой свнзностью. В дальнейшем будем всегда считать, что риманово пространство снабжено этой связносзью. В заключение покажем геометрический смысл нашего параллельного перенесения в том случае, когда риманово пространство Ь' реализовано в виде поверхности в евклидовом пространстве Й„. х=х(и', ..., и ) (94.10) да (см.
9 86 (86.4)). Разложим вторые частные произиодные х„з= дитдит на составляющие по касательной плоскости А (т. е. по ее надх 1 правляющим векторам х„ = †„) и по нормальной плоскости 8„ (94.11) где Г„а в неко~орые коэффициенты разложения, очевидно, сим-а метричные по нижнии индексам, а у„,— вектор в В„н, так что у.вх, = б. (94.12) [гл. тп тимаковы пгостглнствл Покажем, что Гата совпадают с коэффициентами связности Гата в риманоаом пространстве (т . Умножая для етого (94.11) на х„скалярно и учитывая (94.12), получаем: -а х,х„, = Г.ах,х,. Так как согласно (86.9) х„х = Они то (94.13) (94.14) -ь хх, =О„,Г, =Г,,„, где Г „ обозначает результат опускания индекса. Дифференцируя (94.13) по ит, получаем: дбчь ха ха + хада т, е.
(94.15) (94.17) где й"(1) †координа вектора $ в многообразии (л„. Рассмотрим дифференциал вектора $ при бесконечно малом смещении по кривой: ий = Нх,й" + х„ай" = хмдит$"-(- х„ай". В последнем члене заменяем обозначение индекса суммирования на 6, а х„а выражаем согласно (94.16). Получим: а$ = (Гна дить" ф И~г) х„+ у„диа$*. (94. 18) Эти уравнения в применении к (л совпадают с уравнениями (94.7), а следовательно, Г, „ совпадают с Г „. Отсюда, поднимая пер- вый индекс, убеждаемся и в совпадении Гата с Гта. Окончательно разложение (94.11) принимает вид хю — — Г„вх„-)- у, а (94.16) Здесь принципиально важно, что коэффициенты Г а вполне опрев делаются нз римаиовой метрики 0„ на поверхности (л„ вне зависимости от способа ее вложения в Я„.
Пусть теперь на поверхности Рм задана кривая и"=и" (1), а вдоль втой кривой мы строим поле вектора й(1), касательного к (л . Тем самым согласно (86.6) имеет место разложение 94) лффиннАЯ сВЯзнОсть В РимАнОВОм НРОстРАнстВР 441 Мы хотим, чтобы вектор ф ф при переходе от точки Т к точсе Р-ьд( по нашей кривой изменялся возможно наименьшим обраюм. Мы не можем требовать, чтобы он совсем не менялся, так как сасательная плоскость А„к У, в которой он расположен, вообще говоря, поворачивается при переходе от точки к точке.
Если ф а точке Т задан, то при переходе в точку г +И мы можем распозяжаться лишь значениями с)$6. Г!ри этом мы можем уничтожить в разложении (94.18) первый чяен, направленный по касательной плоскости А в точке 1, если положим: Г~а с)ива"+ с)$6 = О, т.
е. ай" = — Г~,Д"с(из. (94.19) 6 6 Мы заменили здесь Гиа через Гак по свойству римановой связности. Что же касается второго члена, направленного по нормальной плоскости Вь „, то мы не в состоянии его как-либо варьировать, так как он ая не содержит. Поэтому наилучшего возможного результата в смысле малости аф мы добиваемся, уничтожая его касательную составляющую, т. е. перенося вектор $ из точки г в ~очку 1 +~й согласно (94.19). Но это есть параллельное перенесение согласно римановой связности на У . Таким образом, параллельное перенесейие вектора $ в рима- новом пространстве У при вложении У в Иь в качестве поверхности получает следующее геометрическое истолкование: с точки зрения объемлющего пространства Л„ вектор ф переносится так, чтобы касательная составляющая йф все время была равна нулю, т.
е. чтобы йф был нормален к У, с($ ) А, Как мы только что Видели, для вектора $, касательного к поверхности У, этот способ перенесения есть наилучшее приблинсение к идеальноиу случаю, когда переносимый вектор просто не меняется. Тем самым введенное нами параллельное перенесение в римановом пространстве получает дополнительное геометрическое обоснование. Как побочный результат получается следующая теорема. При любом способе вложения данного У в )с„ перенесение касательного вектора $ по полученной поверхности с соблюдением условия а'$ ) А всегда имеет один и тот же смысл, так как совпадает с параллельным перенесением согласно римановой связности на У .
ГЛАВА Ц!П АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИффЕРЕНЫИРОВАНИЯ В пространстве аффинной связности Т.ю в частности, в рима- новом пространстие (с„, естественным путем возникает аппарат абсолютного дифференцирования. Смысл его заключается в следующем. Желая исследовать какое-нибудь тензорное поле, например, Ц~~ (М), в бесконечно малой окрестности данной точки М, мы рассматриваем, как обычно, полные дифференциалы йЦГ, функций Уаг) (х', ..., х"). Однако эти дифференциалы уже не образуют тензора и преобразуются по более сложному закону с участием самих Цг, . Это мешает выявлению инварнантных результатов и не позволяет пользоваться аппаратом тензорной алгебры.
Делу можно помочь тем, что, прежде чем вычислять дифференциалы д(,Я , мы параллельно переносим тензор поля Щ„(М') из бесконечно близкой точки М' е данную точку М и уже после этого вычитаем из него тензор (уагтг в данной точке. Главная линейная часть полученной разности н будет абсолютным дифференциалом 1ХГ(гг тензора (ф . Это будет снова тензор того же строения, как и УЦ,„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
