1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 87

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 87)

5) Изобразим векторы (92.4) в согласии с 3' постоянными векторами (92.6) е„е„..., е„ в пространстве А„. Эти векторы выбираются произвольно при условии их линейной независимости. Теперь любой вектор с', заданный в точке М(!), будет изображаться в согласии с 1' $ = Х'е) + ),аеа+...

+ ),"е„, (92.7) где Х вЂ” коэффициенты разложения $~ по векторам Ц,) (у),..., Я„)()). Очевидно, что при таком изображении все линейные зависимости между векторами й~ в данной точке М(г) переходят и на векторы $. Если вектор $( параллельно переносится вдоль кривой, то его изо- 9 92) изовглжаниа кгивой в Е„в вида кгивой в А„ 433 бражение — вектор $ — остается постоянным, так как согласно (92,5) коэффициенты не меняются. Применим изображение (92,7), в частности, к вектору бесконечно малого смещения дхт в данной точке М(1).

Разлагая — по $ы> (1), ..., ~~ч~ (1): йхг 0х'(г) в(г) =р'Яй> (1)+ +)х" (1) 1~ (1) и используя полученные коэффициенты )г'(() в (92.7), мы получим ч(хч дх изображение вектора — , которое согласно 2' совпадает с дт дт — = )х (1) е, +... + р. (1) е„. дх т и Интегрируя почленно, найдем радиус-вектор х как функцию от 1: х = х (1). (92.9) Это и будет параметрическое уравнение искомое кривой С" в А„. Из построения видно, что все поставленные требования соблюдены, и наша задача решена. Заметим, что самопересечение С" у нас не исключается.

Искомое изображение получилось как будто со значительным произволом: произвольно выбраны линейно независимые векторы е„ и функция х(1) получилась с точностью до добавления произвольного постоянного век~ора. Но это неудивительно: заранее можно было предвидеть, что нашу модель можно подвергать любому аффинному преобрззованию в А„, так как оно не нарушает нн одного из ее свойств 1', 2', 3'. Но с точностью до аффииного преобразовании наша модель будет единственной: если у двух моделей векторы е, ..., е„ будут различными, то их можно отождествить аффннным преобразованием одной из моделей; если, далее, х(1) будут отличаться на постоянный вектор, то их можно отождествить параллельным сдвигом одной из моделей. В результате наши модели совпадут.

Таким образом, решение нашей задачи с точки зрения аффинной геометрии в А„ будет единственным, т. е. все решения будут в аффинном смысле зквивалентными. Заметим, что для случая связности без кручения мы фактически решили эту задачу уже в ч 91, установив координатную систему х", геодезическую вдоль данной кривой С. В координатах х" вдоль кривой С мы имеем: Г,':р = О. (92.10) а Введем в том же многообразии новую связность бц, такую, что в тех же координатах х' С, ° = — О, ч (92.

11) 434 (гл, чп РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА т. е. обращение О;р в нуль происходит не только вдоль С, но и во всей области изменения хе. Многообразие с такой свизностью можно рассматривать как аффинное пространство в аффинных координатах (вообще говоря, в пределзх некоторой области). Таким образом, кривую С можно одновременно рассматривать как кривую Сь в аффинном пространстве со связностью 0»; в аффинных координатах хе. Возяожно, С" самопересекается (см.

конец 9 91), но это мы допускаем, В силу (92.10), (92.!1) оба объекта связности совпадают вдоль С, и параллельное перенесение вдоль С происходит в обоих случаях одинаково. Это можно истол- ковать (при желании) как отображение кривой С в аффинное про- странство вместе со всеми векторами, построенными в ее точках, причем параллельное перенесение векторов вдоль С реализуется в виде ик параллельного перенесения в аффинном пространстве, а это и есть решение задачи этого параграфа. Однако результат $ 9! более сильный, так как там реализуется параллельное пере- несение не только вдоль С, но и «вбок» от кривой С (в бесконечно малом). Зато этот результат относится только к пространствам без кручения, в то время как более слабый результат этого параграфа справедлив для всех пространств аффинной связности.

Докажем еще следующую простую теорему, Для того чтобы кривая С была геодезической, необходима и до- статочно, чтобы ее изображение С» было пря»ьой линией (или ее отрезком). В самом деле, то, что кривая С геодезическая, равносильно йхь существованию на ней такого параметра т, что вектор $ь = — паралич лельно переносится вдоль С. Но последнее равносильно тому, что их соответствующий ему в изображении вектор $ = — будет паралйт лельно переносимым вдоль Сч, т.

е. постоянным: (92.!2) ьТТ вЂ” = й =сонэ(, или х= йт+хе. Полученное параметрическое уравнение линии Сч означает, что это †прям, и требуемое доказано. Произведем в связи с этим некоторые подсчеты. Пусть отрезок геодезической РЯ изображается в виде прямолинейного отрезка Р»Я» и пусть в точке Р (и соответственно Р") канонический параметр имеет знзчение нуль, а в точке ь;) (и соответственно ь~») †значен т.

Обозначим далее $р касательный нека» ь тор — в точке Р: ет (92. ! 3) $ 92) изовеажение кривой в Е„в виде кривой в А„435 а через й — соответствующий ему вектор в изображении. Вектор в точке Р мы будем называть вектором геодезического смещения РО, Этот вектор зависит лишь от самого геодезического отрезка РО и не зависит от выбора канонического парзметрз вдоль него. Действительно, если, например, мы умножим канонический параметр т на 5, то вектор геодезического смещения одновременно умножится и разделится на 5.

В изображении атому вектору отвечает вектор йт. Как видно из (92.12), хо. = $т+х», где х»=хр, так что Р»О»=-хо.— хр. = йт. Итак, вектору геодезического смещения РО в оригинале отвечает вектор Р»О» в изображении. Беря теперь т бесконечно малым (так что О- Р, Я» — Р»), вычислим приращения координат при переходе из Р в О: хе — хе =агре — 2 ГИ5рьрт + л ь л 1 л ! / (92.14) Мн воспользовались здесь разложением в ряд Маклоренз по степеЯхл1 ням т с точностью 2-го порядка, причем ~ — ) мы заменили со- '1 т) l д»хл '1 гласно (92.13), а ~ — » ) — из дифференциальных уравнений геодезических. Величины Г~; взяты в точке Р.

Соответствующее смещение Р»Я» в изображении задается, как мы видели, век~ором (92.15) Эти результаты нам вскоре понадобятся. У нас не было до сих пор геометрического истолкования для кручения данной аффинной связности. Сейчас мы можем его дать. Будем рассматривать изображение какой-нибудь кривой С в виде кривой С» в аффинном пространстве. Пусть начало и конец кривой С совпадают между собой; тогда в изображении они, вообще говоря, рззойдутся и кривая С" уже не будет замкнутой. Наоборот, когда кривая С» окажется замкнутой, то С, вообще говоря, будет рззомкнутой. Оказывается, что это нарушение замкнутости при переходе от оригинала к изображению и наоборот определяется в случае бесконечно малых контуров в основном 436 [гл. чп Римлновы пгостглнстВА тензором кручения Юц в соответствующей точке («в основном» вЂ э » значит, что речь идет о главной части того бесконечно малого зазора, который появляется в ранее замкнутом бесконечно малом контуре).

Точный смысл этого утверждения мы сейчас раскроем, Пусть кривая С» образует параллелограмм Р'О»й»Б»Т» (рис. 18), причем начальная ее точка Р» совпадает с конечной точкой Т». Рис 18, Тогда кривая С представляет собой ломаную РЦРЗТ, состоящую из отрезков геодезических. Концы ломаной Р и Т, в общем случае, уже не совпадают. Г!равда, мы до сих пор не рассматривали изображений кусочно гладких кривых, но они осуществляются без труда: прежнее построение повторнется дословно, и вся разница будет в том, что функции р (1) в угловых точках терпят разрыв непрерывности.

Обозначим через й, т) постоянные векторы, направленные по И»о», »т»сг», причем будем считать: (92.16) (92. 17) где т — 0 (при неподвижной точке»с»). Мы будем рассматривать, таким образом, бесконечно малый параллелограмм, стягивающийся в точку Я». Аналогично в оригинале ломаная РОЮТ стягивается в ~очку Р. Оценим теперь с точностью 2-го порядка относительно т зазор ТР, образовавшийся при переходе от параллелограмма в изобралсении к ло»»аной в оригинале. Для этого мы подсчитаем раз- »». ности координат хе — хт.' хр — хт = Кхг — хо) — (хз — хд)) — 1(хт — хз) — (хо — хя)). (92,! 8) 4 92) изовглжанив кгнвой в Е, в виде кгнвой в А„ 437 Обозначим вн, Вн векторы в точке гс, касательные соответственно к ЙЯ и РЦ и имеющие своим изображением векторы й и т).

Так как (92.16) вполне аналогично (92.15), то, применяя (92.14), пишем: хэ — хл = ~лт — —, Гй еьи ганса+ 2 (92 19) ь Здесь и в дальнейшем Ги вычисляются в точке )с. Совершенно аналогично хо — хн = т)лт — Гп г)л т)ит'+... ь ь ь 1 (92. 20) Теперь дли аналогичного подсчета хр — хо мы снова можем применить (92.14), учитывая, что (таРа ( Дь се) Ячт вполне аналогично (92.15). Только теперь исходной точкой будет служить уже не Р, а Я. Соответственно этому в (92.14) в качестве г г яр нужно взять вектор $О, касательный к ОР в точке О и имеющий своим изображением по-прежнему $.

Такой вектор $о легко получить параллельным перенесением $и из точки )с в точку О по пути ЯЦ, так как при этом изображение $и тоже переносится параллельно, т. е. остается вектором й. С точностью 1-го порядка можно записать формулу параллельного перенесения д$" = — [',д' дхг в виде йо — $л = — Г,~ $п~ (хо — хи) +..., подменив дифференциалы приращениями, Заменяя с той же точностью хо — хн из (92.20), имеем окончательно: $о= $й — ГО ~и~ Чит-)- ...

(92.21) применяя теперь (92.14) для подсчета хй — хо, получаем: хр — хо=вот — 2-Гй$д~от'+ ... (92. 22) Здесь, собственно, Гу следовало бы бра~ь в точке Я. Однако мы будем брать их по-прежнему в точке )с, учитывая, что в Г;; при этом будет допущена ошибка бесконечно малая 1-го порядка, а после умножения на та — уже 3-го порядка (которым мы пренебрегаем). Вставляем теперь в правую часть равенства (92.22) $~~ из (92.21), 438 [гл. шг РНМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА причем в первом члене происходит умножение на т, н точность 1-го порядка превращается в точность 2-го порядка, а во втором ввиду умножения на т' достаточно вставить вместо $О лишь его главную часть сл.

Характеристики

Список файлов книги