1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 84
Текст из файла (страница 84)
К. Рашььькьа Применяя формулу параллельного перенесения (89.!2) к век1ору дх' — получаем: ат дх" ь г!хт д — = — Ггг — дх' ат Нт 4! 8 (гл, тп РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА цируемыми такое же число раз, как и функции Г (х', ..., х"), а по аргументу т — даже на 2 единицы выше. В переводе на геометрический язык наш результат означает, что всегда можно провести геодезическую линию и притом только одну через наперед заданную точку А(а') н с наперед заданным касательным вектором о' в этой точке.
Заметим, что существенно при этом задание не самого касательного вектора Ь, а лишь касательной прямой, по которой он направлен. В самом деле, если Ь' заменить любым коллннеарным вектором, например, — 5Ь, то геодезическая от этого не изменится: г достаточно на прежней геодезической взять вместо канонического параметра т другой канонический параметр т = — — т. Тогда в 5 прежней начальной точке дх' дх' ~Й* йт — = — 5 — = — 5К Точно так же полученная геодезическая не зависит от начального значения т, параметра т, так как, не меняя самой кривой, можно принять на ней за канонический параметр т+ С, где С вЂ люб константа. Тогда начальное значение т + С может быть сделано каким угодно. Мы видим, что произвол в выборе геодезических в пространстве аффинной связности такой же, как и произвол в выборе прямых в аффинном пространстве: через каждую точку по каждому направлению проходит одна и только одна геодезическая.
В случае аффинного пространства А„прял1ые линии являются 'геодезическими, как сразу видно из определения геодезических. Теперь мы можем утверждать и обратное: всякая геодезическая в А„ является прямой линией. Действительно, через данную точку по данному направлению проходит лишь одна геодезическая, которая должна, таким образом, совпадать с прямой линней, проведенной через ту же точку по тому же направлению. Возвращаемся к произвольному Е„. Общая теорема существования гарантирует нам существование функций х'(т) лишь в некоторой окрестности данного значения т=т„, т. е. существование лишь некоторого кусочка геодезической около данной точки А (а'). После небольшого дополнительного рассуждения мы сможем утверждать больше.
А именно, обозначим через т, > те такое значение т, что: 1) прн т, меняющемся между т, и т, (те е= т ( т,), функции х' (т), удовлетворяющие (90.6), (90.7), существуют, но 2) при т, меняющемся от те до т,+6, они уже не существуют, сколь бы малым ни брать 6> О. При этом мы допускаем случай т, = оо; тогда, конечно, последнее требование 2) излишне и даже не имеет смысла. Другими словами, тт †верхн грань всех тех значений канонического параметра т, которые можно 419 гводхзичвскиз линии в Е„ 9 90] достичь, продолжая нашу геодезическую столько, сколько это возможно.
Итак, меняя т в сторону возрастания, начиная от т„ мы неограниченно приближаемся к т„ но не превосходим этого значения. Как сейчас будет показано, мы даже не достигаем значения т; более того, при т — т, (имеется в виду непрерывное изменение т) точка М(т) на геодезической не может стремиться к какому-либо предельному положению М,. В самом деле, допустим противное: М (т) — Мт, т т, (90.9) Окружим М, очень малой окрестностью с7, так что заключенные в ней маленькие кусочки геодезических будут иметь, грубо говоря, почти линейные уравнения х' а'т-]-Ф и будут вести себя почти как кусочки прямых (если координаты х представить себе на минуту как аффинные координаты в аффинном пространстве).
Ясно, что те геодезические отрезочки в (7, которые не проходят черезточку М , не могут к ней и неограниченно приближаться (это нетрудно было бы показать и с полной строгостью). Наша геодезическая в силу (90.9) войдет в окрестность Е7 и будет в ней оставаться, начиная с некоторого значения т.
Следовательно, она должна в этой части совпасть с одним из геодезических отрезочков, заключенных в окрестности Е7, а именно с одним из отрезочков, проходящих через М„ †ина (90.9) не могло бы иметь места. Но тем самым наша геодезическая не только дойдет до точки М„ но и пройдет через нее, а значит, параметр т не только достигнет значения т,, но и превзойдет его, а зто невозможно, Наше предложение доказано. Смысл его в том, что, продолжая геодезическую, мы не можем вдруг остановиться, упереться в некоторую точку; если даже возрастание канонического параметра ограничено значением ттк.
со, геодезическая в пределах нашего пространства продолжается неограниченно. Этому не противоречит такое, например, положение вещей: пусть наше пространство представляет собой ограниченную область ь) аффинного пространства А„. Тогда при продолжении геодезических линий (т.
е. прямых) мы часто будем останавливаться, упираясь в границу области ьг. Однако граница области () не принадлежит рассматриваемому многообразию, н с точки зрения самой области й геодезическая продолжается неограниченно (см. определение области; 9 75). Мы все время говорим о продолжении геодезических линий; прк этом важно, что продолжать геодезическую можно лишь одним способом. В самом деле, допустим, что геодезическая линия при ее продолжении с некоторого момента раздваивается; пусть при этом т» †верхн грань значений ть т, прн которых обе геодезические еще совпадают.
Тогда они будут совпадать и прн значении т = т", 420 (гл. чи РНМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА так как в обоих случаях М(т) М(т») при т т' (ть~т к т'), гле точки М (т) †общ для обеих геодезических; действительно, в силу условия 4' (2 84) М (т) при т т» не может стремиться одновременно к двум разяичным предельным точкам МА(т»), Мх(т»), Исходя теперь из точки М (т»), можно продолжить общий отрезок т, ( т ( т» двух геодезических линий и на значения т ) т» (вблизи т'), и притом единственным образом по уже использованной теореме существования и единственности. Мы вступаем в противоречие с определением т», и этим доказывается наше утверждение. Пространство аффинной связности Е„ называется полне!м, если на любой его геодезической канонический параметр т можно менять от — оо до + оо.
Таково, например, аффинное пространство А„. Рассмотрим еще некоторые свойства геодезических. Если в пространствах аффинной связности нас интересуют лишь их геодезические, то мы ложем ограничиться пространствами без кручения. А именно объект связности Г;! определяет в данном многообразии А -А те же геодезические, что и объект связности без кручения Гп, полученный его симметрированием: Г,,= —,(Г„+Г„). -А ! А А -А Убедимся прежде всего, что ГП, таким образом полученные, действительно образуют объект связности. Для этого достаточно почленно сложить и разделить на 2 формулы преобразования (89.1) и (89.10).
Заменяя как в старых, так и в новых координатах полу- А А -А -А сУммУ Гб и Гд чеРез Гчь полУчаем длЯ Гу закон пРеобРазовании -А вида (89.1), а это означает, чтоГ;; — тоже объект связности. Очевидно, эта связность без кручения, так как Гб симметричен по нижним индексам, Теперь покажем, что геодезические для обеих связностей будут общие. Пишем дифференциальные уравнения геодезических для связности Г!р Рхх - А йх! дхт 1 А дх! дхт 1 А дх' дхт дтэ П дт Вт 2 О дт Нт 2 у Нс дт ' Меняя обозначения индексов суммирования во втором члене правой части 1! на у и наоборот), убеждаемся, что он равен первому члену, в результате в правой части остается удвоенный первый член, и мы дтхь А Нх! Ыхl получаем: — = — Г! — —, а это есть дифференциальные уравдть ' йт дт А некиа геодезических связности Гу.
421 геодезические линии в Е н % 901 Таким образом, геодезические для обеих связностей действительно общие. Будем рассматривать теперь геодезические для связностей без кручения. Поставим следующую задачу. Пусть в многообразии заданы две связности без кручения Ггр Оп! в каком случае они имел л ют оби1ие геодезическиег Допустим, что нам дано, что геодезические у обеих связностей общие. Рассмотрим для какой-либо геодезической касательный вектор $', параллельно переносимый в первой свнзности, и касательный вектор Ч', параллельно переносимый во второй связности.
Так как оба вектора касательные, то а а т) =ас, (90,10) где коэффициент и, вообще говоря, переменный; и ~ О. Запишем формулы параллельного перенесения: с$~ = — Г~ф с1х', (90.11) д )л = — атыйя'. (90.12) Вставляя в последнюю формулу т)л из (90.10), получим: аа $а+ ай<,~ = — О;;а~!дх', Деля почленно на и и вставляя сюда дф" из (90.11), получим: "—" 3» — Г';,3л дхг = — О,',$2 йх'. (90. 13) Параллельно переносимый касательный вектор я' согласно (90.3) й г можно записать: я'= — где т — канонический параметр по отнойт ' шению к первой связности.
Тогда (90.13) после почленного деления на дт принимает вид (90. 14) Так как геодезические линии можно проводить через любую точку по любому направлению, то это равенство должно быть верно в люй1па бой точке и для любого вектора $ . При этом — имеет конечйт но, каждый раз свое численное значение, которое зависит от выбора точки и вектора $', Обозначим для краткости Г; — О; =т,;. (90. 15) Отметим, что составленная таким образом разность двух объектов связности дает всегда тензор, один раз контраеариантный и дважды 422 (гл. Рп РНМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА ковариантный. Это легко проверить, выписав закон преобразования (89.1) для Г!1 и параллельно для О!; и вычитая почленно из первого равенства второе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
