1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 82
Текст из файла (страница 82)
(88.13) о В частности, получаем выражение плошади какой-либо области Е) на двумерной поверхности (л в виде дх" ди' дх" ди' дхь ди' дх' ди' 4"ьн Ю,п ,4'ьп дьд дит с(иа, дхд дил дх" ди' дхе ди» дхн диь (88.14) й 89. Пространство аффиниой связности Й4ы на время оставим в стороне римановы пространства и займемся другим вариантом геометрии, которую можно получить на базе данного п-мерного многообразия (Ж„. Именно, если вместо поля метрического тензора А; (М) внести в И„ поле объекта связности Г~!А(М), то вместо римановой геометрии мы получим в г)1„ геометрию аффинной связности, превратив 8)1„ в пространство аффинной связности Е„, Подобно тому как образцом для построения риманова пространства (т„ служило у нас евклидова пространство 77„ в криволинейных координатах, так теперь такую же роль будет играть аффинное пространство А„ тоже в криволинейных координатах. Определение объекта связности, которое было дано в 8 78 вля аффинного пространства, легко переносится на многообразие Ию Если в данной точке М в (Ил для каждой координатной системьч м', область действия которой включает точку М, задана сислема Подкоренное выражение предполагается взятым по модулю (после суммирования по всем индексам).
[гл. чн 408 Рнманозы птостганства то мы говорим, что в точке М задан объект связности. Все частные производные в (89.1) предполагаются вычисленныии в точкеМ. Пространством аффинной связности А„лгы назовем многообразие Иь, в котором задано поле объекта связности Г„(М) = Г,; (х', ..., х"), (89.2) т.
е. объект связности задан в каждой точке М, причем функции (89.2) Ф вЂ” 2 раза непрерывно дифференцируемы *). При этом в отличие от объекта связности аффинного пространства, вообще говоря, Г;,Мг,г. Покажем прежде всего, что для задания объекта связности (как мы будем кратко называть поле объекта связности) в элементарном )Ж„достаточно произвольно задаться функциями (89,2) в одной какой-нибудь координатной системе х'. Тогда в любой другой координатной системе хе координаты Гер объекта связности определятся по закону преобразования (89.1).
Однако при этом объект связности еще нельзя считать построенным: нужно проверить, что закон преобразования (89.1) действует не только при переходе от х к х", где хе †начальн координатнзя система, но и при переходе от хе к х'", где х', хг" †люб координат. иые систеиы. Координаты объекта связности в системе хн выражаются аналогично (89.1): Г..-. '" д" + д" д" д" Г дх~ дхт дхь дх' дхт дхь Нам требуется проверить, следовательно, что, подвергая Гер преобразованию ло тому же закону при переходе от хе к х~", мы получим Гг;-. Другими словами, требуется проверить, что вы- ражение дх~ дхт дхь дхг дх) дхте г " ь + ." " ь гц' (89А) ') Здесь Ж вЂ” класс многообразия ш)„; при преобразовании (89.!) сохраняется ()Ч вЂ” 2)-днфференпируемость Гц (но не выше!).
Правая часть ь" (89.2) имеет смысл, разумеется, лишь в области действия каждой данной координатной системы х'. читал Гц, преобразующихся при переходе от одной к другой координатной системе по закону (89.1) дх' дх' дх" дх~ дх' дх" 9 89) пвостганство лавинной связности 409 дает нам Г;-;.. Для этого вставим сюда Г;., нз (89.1) и рассмотрим »" » сначала член, содержащий Гы. Этот член в (89.1) имеет такой внд, как если бы Г„. подвергались тензорному закону преобразовании при переходе от х' к х"; при подстановке в (89.4) этот член еще раз подвергается тензорному закону преобразования при переходе от х" к х'; в результате Гц испытают преобразование по тензорному закону прн переходе от х' к х'" (см.
$ 81, (81.3)), и мы получим: дх' дхг дх» —,.„— „— Гп дх' дх' дх» Теперь рассмотрим свободные от Гп члены в (89.4) (после под» становки нз (89.1)). Получаем (обозначая в первом члене индекс суммирования /' вместо л'): д»х1 дх» дх' дх1 дх» д»х» дх» + дх' дх' дх~ дх' дх' дх» дх' дх' дх» Так как во втором члене дх дх» дх» дх» дх» дх» а в первом члене дх» дх» дх" дх' дх» дх' дх то, вынося — за скобки, получаем: дх» дх» д'х' дх" дх~ дх' д»х» 1 дх» д»х» ., +, н — .„' .„.
(89.6) дх» ( дх' дх» дх' дх' дх' дх' дхг / дх» дх' дх' д»х» То, что круглая скобка равна,„.„, легко получить, диффедх~ дх' ренцируя х» как сложную функцию от х', ..., х"" прн промежуточных аргументах хд. В результате (89 4) состоит из членов (89.5) и (89.6), т. е.
совпадает с правой частью (89.3) н дает, действительно, Ггт . Проверка окончена. Закон преобразования (89.1) можно записать в несколько ином виде, удобном для некоторых выкладок. Умножаем (89,1) почленно дхг на —, и суммируем по л'. Так как дх» дх» дх» ! —, — = бю дх» дх» то получаем: дх» д»х» ~ дх' дхт дх»' дх" дх' дх' дх' 410 (гл. щ! Рнм»нов!е пгост!'Анств» а после суммирования по )е получаем окончательно: » дх д'х' дх' дх! Гр —,,= и,+ — „—.,Ггр дх» дх! дх' дх! дх' (89.7) Мы уже отмечали, что, вообще говоря, Г» че=г'т о».= Гд — Г». г!' »! и' Обозначим: (89.9) Величины о» образуют тензор, что легко показать следующим г! образом. Перепишем (89.1), переставив между собой индексы 1',7' и поменяв местами обозначении индексов суммирования !', 7', Получим: » д»х» дх дхт дх' дх» дх' дх! дх» дх! дх! дх» (89, 10) Вычитая это равенство почленно из (89,1) и пользуясь обозначением (89.9) как в старых, так и в новых координатах, получаем: дх' дхт дх» дхе дх! дх» Свободные члены прн вычитании уничтожились, и мы получили тензорный закон преобразования для о»..
Тензор 5»7(Л4) называется тензорон кручения данного пространства аффинной свнзности. Его геометрический смысл выяснится позже. Бели тензор кручения Я» »! равен нулю, т. е. если Г». = Г», ц л то мы говорим, что нам дано пространство аффинног) связности без кручения; обозначаем его Е.».
Обращение в нуль тенаора Я» х' г/ (как и всякого тензора) есть фа!,т, инвариантный относительно Заметим, что эта формула вполне эквивалентна закону преобразования (89.1), так как он из нее обратно следует. достаточно дх! умножить (89.7) почленно на —, (с суммированием по 7) и учесть, дх! дх! что в левой части —, — =б'„чтобы вернуться к (89.1). дх» дх! Будет полезным записать формулу (89.7), поменяв ролями координаты х! и х". Получим: » дх!' д'х! дх' дх!' (89.8) дх» дх' дх' ох' дху 9 89) ПРОСТРАНСТВО АФФИННОй СВЯЗНОСТИ 411 преобразования координат х', а потому, если Г",. = Г» в одной П У координатной системе, то то же имеет место и в любой другой.
Переходим теперь к геометрическому истолкованию объекта связности, а вместе с тем к установлению основной конструкции геометрии аффинной связности †параллельно перенесения векторов. А(ы воспользуемся при этом аналогией с 9 77, где параллельное перенесение вектора в криволинейных координатах в аффинноп пространстве задавалось при помощи объекта связности формулой (77.9): дй~ = — Г,». $7 ах'.
Аналогичным образом мы определим параллельное перенесение в пространстве аффинной связности Е„. Пусть вдоль некоторой кривой хг = хг (1), а ~1~ Ь, где х' (1) непрерывно дифференцируемое, дано векторное лоле Г =- Г (т). (89.1!) Ыьь будем говорить, что вектор $~(7) параллельно лереногится вдоль кривой, если при каждом бесконечно малом смещении ло кривой координат»» вектора $»(7) меняютея по закону д$~ =- — ГЯ'йх'. Речь идет, конечно, не о приращениях, а о дифференциалах координат йг(1), Аналогично дх' — дифференциалы функции хг(1); Г» — координаты объекта связности. Напомним еще, что $г — это П по буквальному смыслу один раз контравариантный тензор; мы говорим о векторе $', имея в виду истолкование $г в ниде вектора в касательном аффинном пространотве А, (9 82).
Если вдуматься в смысл нашего определения параллельного перенесения, то оно перестает казаться столь произвольным, как кажется с первого взгляда. В самом деле, мы хотим установить какой-то определенный закон, по которому вектор я' из данной точки х' переносится в бесконечно близкую точку хг+дхг (рассуждение ведем с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Спрзшивается, каковы будут при этом приращения й$г координат нашего вектора.
Простейшее предположение на этот счет, которое можно сделать, заключается в том, что йяг линейно зависят и от начальных координат вектора $' и от координат вектора бесконечно малого смещения дх', Но по существу это предположение и записано в виде формулы (89.12), причем через Г» обозначены коэффнпненты соответствующих билинейных функций. Конечно, выбор коэффициентов Г,",(х', ..., х") остается 412 (гл. чп Рим»новы пеосте»нсте» д» еь» дх ' ье» дх" Г!оэтому Обозначая в первом члене индекс суммирования й через у и заменяя с/й» согласно (89.12), получаем: <Ц' = ( — у — — — Г/ /1 $/с(х/, / д»х» дх» » ! (, д»7дх/ дх» "У (89.13) Пользуясь формулой (89.8) (заменив в ней Г на й'), мы получаем для круглой скобки выражение дх/' дхя» — — Г,', дх/ дх/ Учитывая, наконеп, что /' — йх =дх', — 4 =$ ', дх / с дх дх' дх/ приводим (89.13) к виду с/Р' = — Г",.;р $/' Фхе.
(89.14) Таким образом, предполагая, что для векторного полн вдоль данной кривой соблюдается (89.12), мы получили, что соблюдается н (89.14), т. е. наше определение параллельного перенесения инвариантно относительно преобразования координат х'. Важнейшим местом нашей выкладки является ис«ольэование закона «реобразования для Г» в форме (89.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
