1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Аналогично определяется тензорное поле, заданное лишь в некоторой области 1))~% или на поверхности % <:%. Наше определение многообразия дает ная все нужное, но страдает тем недостатком, что дает и кое-что лишнее; а именно, в нашем определении способ склеивания многообразия из элементарных многообразий рассматривается каряду с его окончательным результатом — готовым многообразием. Между тем нас интересует лишь последнее, и мы не будем считать два экземпляра одного и того же многообразия различными, если они по-разному разбиты на элементарные многообразия.
Например, сферу можно составить, как уже указывалось, склеиванием двух (слегка продолженных ча края] полусфер, а можно составить и склеиванием внутренностей нескольких сферических треугольников, заходящих один на другой. Тем не менее сфера в обоих случаях представляет одно н то жс многообразие.
Поэтому наше определение нужно несколько дополнить. С этой целью дадим определение днффеоморфизма двух многообразий. Два многообразия % и %' одного числа измерений и и одного класса А<' называются диффеоморфиыми, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, обладаюи<ее следующим свойством; пусть М Е% и М' Е%' — любые две отвечающие друг другу точки и пусть М принадлежит некоторому элементарному многообразию %< < <:% с координатной системой х.
а М' — эле< ментарному многообразию %<„.1<:%' с координатн<й системой х"; тогда соответствие между точками многообразий % и %' можно записать в виде х'=у<(х<, ..., х"), х'=в<(х', ..., х"'), [гл, чт 382 многооБРАзия по крайней мере, в пределах некоторой области изменения х', заключающей точку М, и соответствующей ей области изменения х", заключающей точку М', причем функции ~о т М раз непрерывно дифференцируемые.
Под областью изменения х' здесь подразумевается не обязательно область изменения, которую пробегзют хг, когда М пробегает %~ и а, вообще говоря, некоторая ее подобласть; аналогично и для х'. Коротко говоря, диффеоморфнзм многообразий % и %' есть взаимно однозначное соответствие, М раз непрерывно дифференцируемое в обе стороны в тех пределах, в каких его удается записать в виде функциональной зависимости между координатами х в многообразии % и хе в многообразии %', причем это должно удаваться, по крайней мере, вблизи любой пары соответствующих точек М н М'.
Теперь к нашему определению многообразия следует добавить только, что всякое многообразие будет интересовать нас лишь с точностью до замены диффеоморфным многообразием. Этим мы отвлекаемся от ненужных по сути дела подробностей, именно от способа составления данного многообразия из элементарных кусков. ГЛА ВА У[! РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА И ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ 9 85. Римаиово пространство Многообразие является той основой, на которой строится рима- ново пространство †важнейш понятие этой книги. Пути для этого мы уже наметили в конце 9 79.
Чтобы превратить многообразие в риманово пространство, нужно внести в него метрику. Это мы осуществляем заданием в многообразии метрического тензора, аналогичного метрическому тензору евклидова пространства в криволинейных координатах. Дадим точное определение. Римановым пространством Ун мы ббдем называть многообразие 8)1„, в котором задана поле тензора (85.1) гнг (М) К'у (хг ' ' х ) два раза ковариантного, симметрического и невырожденного: 1)е1~дг )~0, е,"=дтн (85.2) В остальном тензор е; (М) выбирается произвольно; это значит, что на одно и то же многообразие 85(„ можно по-разному накладывать риманову метрику.
Тензор Аг (М) мы будем казывать метрическим; его мы кладем в основу построения римановой геометрии по аналогии с евклидовой геометрией, вполне опредсляемой своим метрическим тензором (8 79). В этой главе многообразие 8)1„ имеет класс М.-в 2 и, соответственно, функции (85.1) непрерывно дифференцируемы Ф вЂ” 1 раз, Мы начнем с рассмотрения касательного аффинного пространства А„ к нашему многообразию в какой-нибудь точке М. Векторы й этого пространства служат геометрическим изображением тензоров $' в данной точке М, Располагая тензорным полем а;т(М). мы превоатим каждое касательное пространство из аффинного А„ в евклидова гс„, вводя в нем скалярное произведение любых двнх [гл.
Рп Римлноэы пРОстРАнстВА векторов з, т) ло формуле И = А" ~(м4')'. (85. 3) В сущности говоря, к этому и сводится геометрическое осмысливание тензора д,. (М); все остальное будет уже отсюда вытекать. Можно было бы даже сказать, что риманово пространство (гк — это многообразие И„, в котором в каждое касательное пространство А„ внесена евклидова метрика; нужно было бы лишь обеспечить достаточно гладкое ее изменение от точки к точке (что у нас обеспечивается непрерывной дифференпируемостью функций д; (х', „ х")).
В силу полного свертывания в правой части (85.3) скалярное произведение йт) представляет собой инвариант. Очевидно, $т) линейно ззвисит от й и от т), облздзет симметрией в силу симметрии тензора д; и дает невырожденную евклндову метрику в силу условия (85.1). Все это показывается дословно тзк же, как в 3 39. Мы будем называть риманово прострзнство собственно романовым или леевдоримановым в зависимости от того, будут ли его касательные пространства собственно евклидовыми или псевдоевклидавымн (мы рассматриваем только вещественные пространства).
Все, сказанное для евклидовых пространств, будет, конечно, само собой справедливо для касательных пространств )т„ в каждой точке М риманова пространства 1l„. В частности, длина вектора $ выражается формулой ! яь(= ~ яя = )'~~уйу. (85 А) При этом собственно риманово пространство характеризуется тем, что квадратичная форма А; Ц'$г будет положительно определенной.
Пусть в какой-нибудь точке М риманова пространства задан тензор, например, Ъ',;;. Его можно рассматривать одновременно и как А. тензор в касательном пространстве Р„относительно локального репера. Прн этом кгу(М) служит в )т'„метрическим тензором. Составим контравариантный метрический тензор у'Г(М), координаты которого образуют матрицу, обратную ((д,г(М))).
Как мы знаем, в евклидозом пространстве )с„разница между верхними и нижними индексачи является несущественной в том смысле, что верхние индексы можно переводить в нижние и, наоборот, при помощи метрического тензора. Так, например, индекс г у нашего тензора можно кподнятьз, т. е. составить тензор (85.5) РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Обратно, у полученного тензора индекс г можно «опустить», причем мы возврщцаемся к прежнему тензору; гр. )т,'; = д,р)т;.
(85.5') Эти взаимно обратные операции «поднятиям и «Опусканияа данного индекса можно рассматривать и для тензорных полей )т',",(М), (т";(М), подразумевая, что формулы (8О.5), (85,5') имеют место в каждой точке рассматриваемой области. Рассмотри«1 теперь в римановом пространстве кривую хг= хг(1), а ~ !к Ь. (85.6) Бесконечна малому смещению по этой кривой отвечает бесконечно малый вектор йх'(!) в касательном пространстве (8 82). Но теперь мы можем намерить длину этого вектора, чего рзньше (в многообразии) нельзя было сделать.
Получим: ) йх ~ = )' йх« =)' ег дхайхт. По аналогии с евклидовым пространством мы принимаем длину вектора йх за дифференциал дуги йв вдоль нишей кривой, так что йяй = йха = ег (х', ..., х") йхгйх!. г/ (85,7) где е,. И вЂ” ! раз непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условя !те!)дг.) чн О (ь«;, = йсы). (85.9) )3 П, К.
Рашевский Здесь х', ..., х" †координа той точки М, из которой проиаводится бесконечно малое смещение по кривой. Таким обрззом, квздрат дифференциала дуги вырамсается дифференциальной квадратичной формой от координат х'. При преобразовании координат х' эта квадратичная форма инвариантна, так как представляет собой скалярный квадрат вектора йх', или, что то же, результат полного свертывания тензора дгг с дважды взятым тензором йх'. Квадратичную форму до4х~йх) мы будем нааывать метрической.
В определении риманова пространства можно заменить задание тензорного поля д, (х', ..., х") заданием метрической квадратичной формы (или, как говорит еще, ликсйного элемента риманова пространства). Тогда Определение будет звучать так: Римановым пространством Ъ'„ назьгвается многообразие И„, в котором видана инвариантная дифференциальнал квадратичная форма д,. (х', ..., хв) йх'йх', (85,8) 386 (гл.
Рн РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА Из инвариантности квадратичной формы булет следовать, что Аь! образуют тензорное поле, так что мы возвращаемся к прежнему определению. В самом деле, запишем инвариантность формы (85.8) при переходе к новым координатам х"; ЛР! йХпйХ!' = д,, йХ! йХУ. Подставляя в правую часть дх! йх! = — йх', дхг йх = — йх', ! дх! г, дх!' получаем тожлественное равенство лвух квадратичных форм относительно переменных йх", ..., йха': ди!.йхн лх!' =- А ! — — йхн йх!'. дх' дх! ' дх" дх!' Отсюда, учитывая, что д! =ау!, Аь! =В!!, получим: дх! дх! ап!' = —., —, й'гу~ дх!' дхl' т. е. тензорный закон преобразования для мг!. Мы вернулись к первому определению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
