1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 78
Текст из файла (страница 78)
За длину кривой (85.6) мы принимаем интеграл от дифференпиала дуги ь а = ') )' и! йх их!= а ь =~ ф В"ьу(х'(!), ..., х (!)) „! й й!. (85.10) дхг(!) ах!(!) а В последнем выражении мы выносим й! из-под знака радикала и везде явно выписываем окончательный аргумент Т, чтобы строение подынтегральной функпии было видно полностью.
Инвариантный характер интеграла относительно преобразования координат х! ясен из инвариантности квалратичной формы пол знаком радикала (полное свертывание); инвариантность относительно преобразования параметра ! вдоль кривой проверяется очевилным образом, Собственно рнманоао пространство характеризуется тем, что в нем метрическая квадратичная форма будет положительно апре- деленной, а да †всег вещественным.
Напротив, в псевдорнмано- 387 э 85] РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО вом пространстве йв может быть вещественным, чисто мнимым и нулем. При этом радикал в (85.10) мы условимся брать положительным или с положительным коэффициентом при ]. Кривые у нас будут, следовательно, трех сортов; вещественной длины, мнимой длины и изотропные. Рассмотрим теперь в римановом пространстве ]т„ поверхность %„ х =х'(и', ..., и ), сохраняя все обозначения и предположения э 83. Вычислим дифференциал дуги прн произвольном бесконечно мзлом смещении при произвольной кривой на Ы„. Пользуясь снова формулой (85.7) и учитывая, что теперь (85.11) ( дхт и аналогично йх~= — йи~), получаем: дха дх' дхт два = ды — — йи" йиа.
ди" диа Обозначим! дх' дхт ди" диа (85,! 2] Очевидно, 0„ представляет собой скалярные произведения векторов дх~ дхх —, —, касатЕльных к координатным линиям и', ит. да' дав Учитывая, что 0,а зависят от точки на 8]1„, т, е, от и', ..., й, записываем окончательно: два= 0.1(и', ..., и") йи" йиа. (85. 13) Что касается условия О„т = 0 ., то оно очевидным образом следует из формулы (86.12) н условия КИ= е~н Условие (85.14) не обяаано соблюдаться само собой, хотя, грубо говоря, больщей частью оно соблюдается.
Здесь положение 13' Итак, на поверхности 3]] возникает дифференциальная квадратичная форма от переменных ит, ..., и, выражаюи]ая квадрат дифференциала дуги и, следовательно, инвариантная (линейный элемент поверхности 8]( ). Используя второе определение риманова пространства, мы вправе утверждать, что поверхность Ы„ представляет собой тп-мерное риманово пространство ]т„ с метрическим тензором 0„, если только соблюдается условие 1]е]] О„з ] Ф О. (85.14] 388 (гп. Рп РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА такое же, как с плоскостями в евклиловом пространстве: большей частью они бывают неизотропными и несут на себе евклидову метрику, но могут быть н изотропными — с вырожленной метрикой.
Если условие (85.14) соблюдается, то поверхность мы будем называть неизотропной; она несет на себе риманову метрику, и в дальнейшем мы обозначаем ее У„, т. е. как лг-мерное рнманово пространство. Обозначение (с мы будем употреблять только в случае неизотропной поверхности. Если же условие (85.14) не соблюдается, (85.! 5) Ре!) 0„!=О, то поверхность мы называем изотропной и сохраняем для нее обозначение % . Квадратичная форма (85.13) имеет на ней неполный ранг, и метрика вырожлается.
Как правило, изотропиыми поверхностями мы интересоваться не будем. В случае собственно риманааа пространства все поверхности неизотропные, так как условие (85.14] вытекает из положительной определенности формы йаа = О. йи"с(иа. — а Правда, непосредственно нам дана положительная определенность лишь лля формы с(аа=д; йх'ахи. Но если принять, что не все йи* равны нулю, то из условия (83.2) следует, что соответствующие дх' с(х = — „йи тоже не могут быть все равны нулю, а следовательно, 0„зйи'йиа(=хгг с(х'йх.г) > О. Рассмотрим теперь касательную плоскость А к поверхности %м, Эта плоскость лежит в касательном пространстве А„, которое сейчас у нас является евклидовым, причем ее векторы $' в силу (83,11) имеют внд дх' (85.16) где С' — всевозможные тензоры в % в данной точке М. Скалярное произведение любых двух векторов йх т) плоскости А мы получаем, вставляя в (85.3) выражения для $', Чг согласно (85.16): дх' дхт $= — Г, ) = — ч'.
ди" диа В результате дх' дхт $з) = у,. — — й'т)а = 0ю (М) Га)З. (85.17) Пусть соблюдается условие (8Г>.14). Плоскость А будет неизотропной и несет евклилову метрику, Для многообразйя И„ и тем самым 9 88) евклидова пгостелнство как частный слхчьй гимьновь 389 для риманова пространства (хм плоскость А служит касательным пространствам, так кзк все тензоры $' находят себе изображение в виде ее векторов согласно (85.16), формула (85.17) для У„ повторяет формулу (85.3) для (л„. Метрическим тензором служ:»т теперь О„г Мы будем называть нормальной плоскостью к поверхности Ъ' в данной точке М п — л»-мерную плоскость В„ „ в касательном к )х„ евклидавом пространстве А„, ортогональну»а к касательной плоскосп» А и проходящую через М. В случае гиперповерхности (Л„ » »»армальная плоскость В, будет одномерной, т. е. представляет собой просто прямую (иормаль).
В трехмерном римановом пространстве )» (в частности, в обычном евклидавом пространстве) можно рассматривать одномерные поверхности (г„ т. е. кривые и двумерные поверхности )гх. В согласии с элементарной дифференцизльной геометрией в случае Ъ'» нормальная плоскость имеет и — л» = 2 измерения, а в случае У она представляет собой просто нормаль к поверхности (и — гл = 1). ф 86.
Евклидова пространство лс„ как частный случай риманова Мы видели в 9 79, что евклидова пространство (вообще говоря, рассматриваемое в пределах некоторой области Й) обладает, как и риманово, полем метрического тензора д»7(М), причем этот тензор определяет всю его геометрию. Следовательно, мы можем рассматривать евклидова пространс~во как частный случай риманова.
В чем же выражается особенность этого частного случая? В евклидавом пространстве всегда можно перейти в такую специальную координатную систему, именно, в любую аффинную, в которой координаты метрического тензора становятся константами: у»7 (М) = сапа(. Между тем в произвольном римановом пространстве итога, вообще говоря, сделать нельзя. Как бы мы ни подбирали новую координатную систему х", нам не удастся добиться, чтобы в ней координаты метрического тензара дх' дх» дхн дхд оказались бы константами.
Таким образом, в римановом пространстве не существует, вообще говоря, специальных «прямолинейныхз координатных сне»ем наподобие аффинных. Поэтому мы здесь говорим просто о координатных системах без прилагательного «криволинейные»: они все по необходимости являются криволинейными з силу «кривого» характера самой метрики, 390 [гл. ын Рнмкновы пгостганствл Возникает вопрос, как узнать фактически, возможен ли в данном римановом пространстве Ун переход к таким координатам х' с некоторой областью изменения (г, в которых д; (М) = сопя(, т, е.
можно ли отождествить У„с некоторой областью Й в евклидовом пространстве, заданном в вффинных координатах. Но на этот вопрос мы сможем ответить лишь в главе 1!)!!. Если в римановом пространстве Ун в целом мы, возможно, не в состоянии подобрать таких координат х', чтобы в них л,.(М) !/ были константами, но можем сделать это по отдельности в некоторой окрестности каждой его точки, то пространство Ун называется локально евклидовым Так, например, если отождествить в квадрате точки каждой стороны с соответствующими точками противоположной стороны, то квадрат «склеитсяз в двумерное многообразие, устроенное наподобие тора. При этом все четыре вершины склеятся в одну точку, в которой сойдутся все четыре угла квадрата.
Если сохранить в этом многообразии прежнюю метрику, то мы получаем пример локально евклидова пространства двух измерений (разумеется, это пространство приходится рассматривать абстрактно, не пытаясь реализовать его в виде тора в обычном пространстве: в последнем случае метрика не может быть локально евклидовой). Здесь мы имеем дело с неэлементарным многообразием; но и элементарное многообразие может нести на себе локально евклидову метрику, не будучи областью евклидова пространства. Так, последовательно подклеивая друг к другу листы бумаги, нетрудно сделать так, что последний лист будет заходить на первый (причем мы их оставим несклееннымн).
Мы получим локально евклидова двумерное многообразие, не являющееся в то же время областью евклидовой плоскости. В евклидовом пространстве нет надобности в каждой точке М строить касательное прострзнство, как мы делали в римановом пространстве общего вида. Действительно, каждый контравзриантный тензор йг в евклидовом пространстве, заданный в криволинейных координатах в какой-нибудь точке М, изображается вполне определенным вектором й=й'х; в этом же пространстве (см.
(76.!3)). Поэтому евклидова пространство служит, как мы будем считать, само к себе касательным в любой точке М. Отдельных от него касательных пространств рассматривать не будем. Мы выяснили, что поверхность У в римановом пространстве Ун сама является римановым пространством. В частности, в качестве вмещающего пространства Ук можно взять евклидова пространство Я„. 2 86) евклидозо пгостглнство как частный слгчай гимлновл 391 Г1ростейший пример такого рода доставляет теория поверхностей в обычном евклндовом пространстве )та. На поверхности, отнесенной к параметрам и, о, появляется первая основная квадратичная форма, выражающая квадрат дифференпиала дуги иа'= й (и,о) див+ 2ги (и,о) г1и г(о+ с)(и,о) г(оя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
