1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 75
Текст из файла (страница 75)
(М) й', дх' (82. 12) а следовательно, векторы репера ег должны преобразоваться при помощи транспонированной обратной матрицы, т. е. согласно (82,11), Конечно, эту формулу нетрудно проверить и непосредствен- Ф но, если учесть, что е, имеют координаты Ьг в новом локальном репере. Тем самым в старом локальном репере они имеют координаты $; = —, бг = —, а именно это н выражает разложение дх" ь дх" дхж дх' (82. 11). (М, е„ е,, ..., е„) в А„ локальным репером в данной точке М и в данной координатной системе х'. Значение локального репера основано на следуюптем факте если тензору $' в точке М отвечает в касательном пространстве вектор й, то ега координатьг относительно локальнога репера совпадают с $г При этом предполагается что координаты тензора в берутся в той же координатной системе х', в которой построен локальный репер.
В самом деле, как видно нз таблицы (82.9), всякий тензор йг может быть разложен по тензорам Ц1н ...„ Цю с коэффициентами $', ..., $". Соответственно этому при переходе к векторам касательного пространства получаем: 323 8 83) ИОВБРхности В мнОГООБРАзии Из фориул (82.1!), (82.12) следует общий результат, окончательно выясняющий роль локальных реперов в точке М. Координаты тензора, например )/»», заданного в точке М многообразия %„, ведут себя в то же время как координаты тензора в касательном пространстве, взятые относительно локального репера.
Действительно, преобразование координат х' влечет за собой преобразование локального репера (82,11). Рассмотрим тензор, напри»»ер »т,'», в касательном пространстве, отнесеннгнй к локальному реперу; закон преобразования его координат будет: дх' дхэ дх» с )т,'.;. = — (М) —., (М) —, (М) ) т», дх' дхп дх» так как (82.11) дает образец преобразования для ковариантных индексов, а (82.12) †д контравариантных.
)!о этот же вид имеет закон преобразования (8!.1) для координат тензора в данной точке М многообразия %„. Поэтому безразлично, сказать ли, что суть координаты тензора в многообразии »Ж„ в данной его точке М относительно координатной системсч х' или в касательном аффинном пространстве А„ в точке М относительно соответствующего локального репера. Закон преобразования в обоих случаях будет один и тот же. 3 83. Поверхности в многообразии Под элементарной т-мерной поверхностью % в л-мерном элементарном многообразии %, мы будем понимать множество точек, заданных параметрическими уравнениями х'=х'(и', ..., и") (1=1, 2, ..., п), (83.1) где и', ..., и — независимые переменные (параметры), пробега»ощие некоторую связную пг-мерную область изменения 0„. При этом мы будем предполагать функции х'(и', ..., и") непрерывно дифференцируемыми»»! раз (М вЂ” класс многообразия) и удовлетворяющими условию регулярности поверхности: дх' дх' дх" ди' ди' '' ' ди' равен пг, (83.
2) ранг матрицы дх' дхь дх" !ин дим ' ' 'ди'" МНОГООБРАЗИЯ 374 (гл. ю т. е. строки этой матрицы линейно независимы. Элементарная выкладка показывает, что это условие инвариантно относительно любого преобразования координат х' в %„. Число измерений тл нашей поверхности может принимать значения 1, 2, ..., и — 1. При лг=1 мы возвращаемся к кривой (82.5), причем условие (83.2) в этом случае означает, что состонщая из одной строки матрица (83.3) имеет ранг 1, т. е. выписанные производные не обращаются в нуль одновременно (это мы предполагали и для кривой (82.8)).
В случае и= и†1 поверхность называется гиперповерхносгью; условие (83.2) принимает вид дх' дха дхх Ди' ДНГ ' ' ' Ди' равен и†1. (83.4) ранг матрицы дх' дха дх" ди" 'дн" ''''ди" Смысл условия (83.2) состоит в том, чтобы предотвратить появление особых точек иа поверхности и, особенно, ее вырождение в образ меньшего числа измерений. Так, если функции, стоящие в правых частнх (83.1), являются константами, то, конечно, условия днфференцируемости соблюдаются прекрасно; но поверхность вырождается в точку. Условие (83.2) делает, однако, невозможным как этот, так и другие не столь грубые случаи вырождения (например, когда при ш = б поверхность оказывается фактически двумерной и т. и.).
Более точна, условие (83.2) означает следующее. Допустим для простоты, что в данной точке ранговый минор образован первыми Гн столбцами: дх1 дхм ди' ' ' 'ди' дх' дхм ди '''ди~ Тогда функциональнаи зависимость первых лг текущих координат х'оти', ...,и х'=х'(и', ..., и"), ..., х"=х (и', ..., пм) обладает якобианом, отличным от нуля, и поэтому ее в окрестности данной точки можно обратить: и'=и'(х', ..., х ), ..., и =и" (х', ..., хм).
375 $83) поввгхности в многоозглзии Вставляя эти (тоже М раз непрерывно дифференцируемые) функция вместо и', ..., и" в остальные уравнения (81.1) (<' = пг + 1, лг + 2,... ..., л), мы получим уравнения поверхности в виде (83. 5) х" =-~'„(х', ..., хм). Итак, в окрестности каждой данной точки уравнения поверхности (с точностью до нумерации координат хг) можно записать в виде (83.5). Здесь роль независимых параметров и', ..., и играют координаты хг, ..., х, а потому все л< параметров являются здесь существенными в том смысле, что любое их изменение влечет за собой смещение точки поверхности. Вырождение л<-мерной поверхности в образ низшего числа измерений, т.
е. возможность задать ее при помощи меньшего числа параметров, здесь, очевидно, отпадает; особые точки также становятся невозможными. Элементарную поверхность всегда можно рассматривать как шмерное элементарное многообразие. Действительно, не меняя поверхности, можно подвергать параметры и' на ней взаимно однозначному и в обе стороны М раз непрерывно дифференцпруемому преобразованию и"'=У,„(ит, ..., и ), и" =и„(и', ..., и"').
(83.6) Здесь и',..., и пробегают область изменения Й„, а и", ...,им' †некотор область изменения ь2„. Ясно, что после такого преобразования параметров уравнения поверхности можно снова записать в виде х =х'(и', ..., и"'), где новые функции хг(и", ..., им') удовлетворяют прежним условиям, в том числе и (83,2), как можно показать после простой выкладки. Рассматривая параметры ия как координаты на поверхности, заданные с точностью до указанного преобразования, мы вправе считать нашу поверхность ш-мерным элементарным многообразием <И„ согласно определению последнего (8 80). В связи с этим все построения, сделанные нами для многообразия Ы„ в координатах х', ..., х", повторяются и для нашей поверхности в координатах и', ..., и".
Все сказанное относится к элементарной поверхности. В общем же случае лг-мерную поверхность в л-мерном многообразии %„ можно определить как мнон<ество точек в Ы„, взаимно однозначно и непрерывно в обе с<ороны отображенное на некоторое многообразие ?Й , и притом так, что отдельные 376 (гл. ш многоовглзия а (83.7) Кривую на поверхности мы будем задавать уравнениями и'=и'(1), ..., и = — и (1), (83.8) йи" где функции и" (1) М раз непрерывно дифференцируемые, и — не гй обращаются в нуль одновременно.
Вставляя функции (83.8) в (83.1), мы получаем функциональную зависимость х' от 1, что действительно определяе~ кривую в нашем многообразии. Правда, еще ах~ нужно проверить условие (83.3). Найдем касательный вектор— гй к этой кривой, дифференцируя хг как сложные функции: Фхг дх' йи» <й ди" гй (83.9) Здесь имеется в виду суммировзние по а=1, 2, ..., лт. Вообще мы условимся считать, что греческие индексы относятся к параметрам на поверхности и пробегают значения 1, 2, ..., ш в то время как латинские пробегают значении 1, 2, ..., л н относятся к многообразию И„.
Заметим, что согласно (83.9) строка, составленная из производных йх1 йхт ахи йг ' <й ' ' ' '' лг представляет собой линейную комбинацию строк матрицы (83.2) с йи" коэффициентами —. Эти коэффициенты, как было оговорено, не йг ' все равны нулю, а следовательно, в силу линейной независимости строк матрицы (83.2) элементы строки (83.3) не могут обращаться в нуль одновременно. Условие (83.3) проверено, Важный геометрический смысл (83.9) состоит в том, что это д и соотношение кпереводита тензор — на поверхности 8)( в тензор гй м элементарные многообразия Ыын из которых %„ «склеенов, отображаются в элементарные поверхности (83.1). Тем самым любую поверхность в некоторой окрестности любой ее точки можно считать элементарной поверхностью.
Так как нас далыпе будут интересовать только локальные свойства, то фактически мы можем ограничиться лишь элементарными поверхностями, Так мы и будем поступать. На поверхности можно рассматривать тензоры как в отдельных точках М, так и тензорные поля. При этом координаты тензора, например (гат, подчинены закону преобразования 377 5 83) пОВеРхнОсти В многоовРазии дх~ (83.10) Они представляют собой, слеловательно, всевозможные линейные комбинации лг векторов дх ь дх' ди'' '''' ы~1 ди (83. 11) линейно независимых в силу (83.2). В результате векторы я', огвечающае всевозможным тензорам в данной точке многообразия ь)(а„заполняют в касательном пространстве А„т-мерную плоскость А, проходящую через М (предполагаетси, что векторы $' откладываются от М).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
