1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Самым важным з определении многообразия является то, что отображение (80.2) задается с точностью до всевозможных преобразований класса И над переменными х', ..., х", т. е. с точностью до перехода к любому другоиу отображению М~-ь(х" ... х"') ~П' (80.3) прн единственном условии, что х«', ..., хл' получаются из х', ..., х" (и обратно) непрерывно дифференцируемым преобразозанием класса Лг (80.1). Другими словами, задается не одно отображение (80,2), а бесчисленное множестно таких отображений, причем любые дза из них, например, (80.2), (80.3), связаны преобразозанием класса И (80.1), и, обратно, любое преобразование класса д1 (80,1), примененное к одному нз заданных отображений, снова прнзодит к одному цз заданных отображений.
Поскольку отображение (80.2) зздано, таким образом, с огромной степенью неопределенности, то можно подумать, что оно ничего не может и дать для геометрии многообразия. Г(о это не совсем так. Будем называть элементы многообрззня М точками, ззданные нам отображения (80.2) координатныпи системами и многообразии Ы и, наконец, значения х', ..., х", отвечающие точке М з ото- 8 801 элементАРное мнОГООБРАзие бражении (80.2),— ее координатами в соответствующей координатной системе.
Геометрические свойства многообразия нам приходится извлекать только из отображений (80.2), так как элементам множества ~Ж самим по себе никаких свойств не приписывается. Если бы прн этом отображении (80.2) были бы заданы с точностшо до произвольных взаимно однозначных преобразований области Й в область Й', то отсюда было бы нельзя ничего извлечь. Но по~ому, что эти отображения заданы с точностью до непрерывно дифференцируемых преобразований класса М, многообразие приобретает некоторые, хотя и скудные, геометрические свойства. Прежде всего в многообразии можно определить понятие предельной точки.
Мы будем говорить, что переменная точка М стремится (например, по счетной последовательности положений) к предельной точке Мь, если координаты точки М стремятся к соответствующим координатам точки Мь хотя бы в одной координатной системе хг (т. е. хотя бы при одном из заданных отображений (80.2)). Но так как переход к дру~ой координатной системе х' совершается при помощи функций, во всяком случае непрерывных (даже при М= О], то наше определение имеет смысл, независимый ог выбора координатной системьи Аналогично обстоит дело и с понятием области (открытого множества) з(<: Ы, которое определяется посредством координатной системы так же, как и область в арифметическом пространстве в 8 75. Далее, пользуясь снова какой-нибудь координатной системой в многообразии, нетрудно определить в нем кривые, их касание между собой того или иного порядка, поверхности и еще ряд геометрических конструкций; мы не останавливаемся на всем этом более подробно, так как дальше будем заниматьси этим систематически.
Оказывается, что такого рода определения формулируются так, что их смысл не зависит от той координатной системы, которой мы в данный момент пользуемся, и тем самым наши конструкции определены действительно для самого многообразия. Резюмируя, можно сказать, что элементарное многообразие (класса тт7) воплощает в себе те свойства области изменения переменных х', ..., х", которые инвариантны при любом взаимно однозначном и непрерывно дифференцнруемом преобразовании (класса М) этих переменных в новые переменные х", ..., х"'+). Чем больше АГ, тем меньшее количество преобразований мы допускаем, тем большим количеством свойств обладает многообразие.
Все, что имеет место для многообразия данного класса, и подавно имеет место для многообразия высшего класса. Многообразие наиболее бедное свойствами мы получаем при АГ= О, т. е. когда *) Абсолютно недопустимо н лишено смысла еподсовывать» многообразню то, что ему по определению не принадлежит, например, строить век. тор, соединяющий две данные точки, и т о., только потому, что так делается в аффннном (нлн евелидовом) пространстве. 362 (гл. ш МНОГООБРАЗИЯ от взаимно однозначных преобразований х' в х' требуется лишь непрерывность.
В этом случае мы имеем многообразие в топологическом смысле. В этой н следующих главах достаточно потребовать, чтобы многообразие было, по крайней мере, 2-го класса; в главе УП! класс придется повысить до У 3, а в некоторых ее параграфах и еще больше. Допускается и значение )У= Оо, Все, что до сих пор было сказано, относилось к многообразиям простейшего вида, которые мы назвали элементарными, Не давая пока точных определений (см. 2 84), мы постараемся составить хотя бы грубо наглядное представление о многообразии вообще. Начнем с двумерного случая )У= 2.
Моделями различных двумерных многообразий могут служить поверхности в обычном евклидовом пространстве, например, эллиптический параболоид, сфера, тор, полусфера и т. д. Если рассматриваемая поверхность имеет край, то он в поверхность не включается. Например, полусфера берется без ограничивающей ее окружности большого круга. Когда мы рассматриваем поверхность, как модель многообразия, мы, конечно, игнорируем ее обычные геометрические свойства и вообще интересуемся этой поверхностью лишь с точностью до ее непрерывно дифференцируемого преобразования определенного класса )У; действительно такое преобразование переносит координатные системы (класса )У) с одной поверхности на другую. Таким образом, целая плоскость, внутренность круга, полусфера, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид и т.
п. как многообразия между собой эквивалентны, Действительно, все зти поверхностк допускают взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение друг на друга. В частности, они отображаются на целую плоскость ХОГ', т, е. на область изменения переменных х, д, — со ( х, у ( + оо. Тем самым перечисленные многообразия являются элементарными двумерными многообразиями; существуют и не эквивалентные им (например, кольцо между двумя концентрическими окружностями на плоскости представляет собой существенно иное, хоти тоже элементарное многообразие). Но многообразие, моделью которого служит сфера, будет уже неэлечентарное многообразие, так как сфера не допускает взаимно однозначного и непрерывного отображения ни на какой кусок плоскости, т. е.
ни на какую область изменении двух переменных х, й. Это равносильно тому, что сферу в целом нельзя отнести к какой- либо координатной системе х', х' при обычных предположениях взаимной однозначности и непрерывности соответствия, Однако сферу можно склеить нз двух полусфер, которые представляют собой элементарные многообразна и допускают каждая координатную систему х~, х'. При этом, чтобы не выпала окружность больиюго круга, по которой полусферы должны склеиваться, зез 8 80) злементаиноз многоовелзиз но которая им не принадлежит, мы одну из полусфер возьмем несколько продолженной за ее границу посредством пояска, наставленного по ее краю, причем этот поясок будет наклеиватьсн на соответствующую часть второй полусферы. Аналогичным образом и многообразие, представленное тором (и, конечно, тоже неэлементарное), можно склеить, например, из заходящих один на другой четырех кусков в виде искривленных и деформированных прямоугольников, которые по отдельности представляют собой, конечно, элементарные многообразия.
Из этих наглядных примеров можно почерпнуть общую идею: произвольное двумерное многообразие можно определить как результаг последовательно~о склеивания заходящих одно на другое эяементарных двумерных многообразий, Двумерное многообразие, полученное в результате такого склеивания, ведет себя в малом, в окрестности каждой точки, совершенно так же, как и элементарное многообразие. Это видно хотя бы из того, что достаточно малая окрестность точки принадлежит одному из составляющих элементарных многообразий.
Но в целом неэлементарное многообразие своими топологическими свойствами существенно отличается от элементарного. Совершенно аналогичнзя идея лежит в основе понятия и-мерного многообразия. Оно составляется по существу путем склеивания (т. е. частичного отождествления) заходящих одно в другое элементарных и-мерных многообразий. Для неэлементарного многообразия в целом нельзя ввести координатную систему х', ..., х" с обычными требованиями взаимной однозначности н непрерывности соответствия; но это можно делать по отдельности для тех элементарных кусков, из которых оно составлено. Конечно, грубые описания, которые нами даны, не содержат точного определения многообразия.
Однако мы не очень пострадаем, если ограничимся ими, по следующей причине. Мы будем в дальнейшем заниматься дифференциальной геометрией многообразия, а для этого достаточно каждый раз иметь в своем распоряжении лишь некоторую окрестность рассматриваемой точки. В пределах же такой окрестности многообразие всегда можно считать элементарным. Поэтому дальнейшие построения мы обычно будем вести так, как если бы многообразие бгило элементарным. в частности, пользоваться координатными системами хт, ..., х", где хт, ..., х" пробегают некоторую область изменения ьг. При этом нужно помнить, однако, что мы имеем в виду координаты, введенные в отдельных составляющих влементарных многообразиях.
В тех частях, где эти многообразия накладываются одно на другое, соответствующие координаты связаны зависимостью (80.1) класса И. Точное определение (неэлементарного) многообразия мы дадим позже ($ 84). 364 [гл. ш многоовгазия 8 81. Тензоры в многообразии Переходя к геометрии многообрззия, необходимо хорошо понять, что по сравнению с аффинным (н, тем более, евклидовым) пространством мы очень много потеряли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
