1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Здесь мы воспользовались уже специфическими свойствами спинтензоров, в силу которых координаты этих двух типов преобразуются по отдельности и образуют как бы два подтензора в составе каждого двухяалентного спинтензора. Наш спинтензор допускает истолкование в виде вектора в )х',о согласно (58.1). Учитывая, что х' =гх', н заменяя с'й 884 основы опипилльиой ткогии относительности [гл. ьу согласно (74.7), а ф', фй согласно (74,6), получаем: х = — — (с''+ск')= — — (ф'(ф') + ф' (ф')«+ +ф'(ф')«+ф (ф ) ), (сзв + с21) — — ( — фз (фв) «фв (фз) «вЂ” 2 — 'ф'(ф') ' — ф'(ф') 'Ь (с'в — с'"') =- — — ((ф' (фв) «+ (фй (фр) "— 2 1 2 х' = 1 21 х'= — 1фв (фз) « — (фй (з) 8)»), (сН вЂ” сзй) = — — '( — фз (ф') « — фу (фу) "+ 2 + ф'(ф') '+ ф'(фз) ") х' =- Ао ф ф» ( ф ф" ( ф„зр' Аз= фвф',+фзф",+ ф-ф„'+ ф-ф„' А'=ф ф,— ф ф~+ф-,ф — ф.ф-", (74.8) Этот вектор и есть вектор плотности тока, инвариантно связанный со всяким спинорным полем (74.1).
При атом мы устранили несобственные вращения репера 2-го и 3-го родов; если бы их рассмотреть, то оказалось бы, что при них вектор плотности тока не остается инвариантным, а умножается на — 1«). *) Заметим что наши А' совпадают с Аг(1=0, 1, 2, 3) в «Началах квантовой механики» В. А. Фока, стр. 189, если учесть указанную выше связь Обозначений ° Обозначая А'= — 2х' и переходя в правых частях к ковариантным координатам спинора, согласно (57.7) получаем: ГЛАВА Ч КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В АффИННОМ И ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВАХ До сих пор мы рассматривали л-мерные аффинные и евклидовы пространства лишь в аффинных координатах, т.
е. тзких, которые наиболее естественно связаны с геометрическими свойствами этих пространств. В этой главе продолжаем заниматься теми же пространствами, ио уже с более широкой точки зрения — относя их к произвольным криволинейным координатам. Это играет роль и для геометрии самих этих пространств (напрнмер, для изучения криволинейных образов в иих), однако главное назначение втой главы †служи переходным этапом к лространствам аффинной связности (обобщение аффинного пространства) и к римановим пространствам (обобщенне евклидова пространства).
Начиная с этой главы и до конца книги, мы будем заниматься исключительно вещественнымн пространствами, и все встречающиеся в дальнейшем переменные величины и отдельные числа считаем вещественными, если не оговорено противное. й 75. Криволинейные координаты в аффиином пространстве Имея аффинпый репер (О, ет, ..., е„) в и-мерном аффинном пространстве, мы относили каждой точке М координаты х, разлагая ее радиус-вектор ОМ по векторам репера ОМ = хгег (75.1) От одной аффинной координатной системы к другой мы переходили линейным преобразованием хи =- м) хг+ м~', (75. 2) где коэффициенты выбираются произвольно с единственным условием )?е1) А'; ) чи (?, [гл.
ч ЗЗ5 кгиволинейные коогдинхты При этом новые векторы репера разлагались по старым векторам е, = А,'.еп (75.3) где А,'-, и А' — взаимно обратные матрицы, а координаты инвариант- ного вектора х испытывали преобразование х" =- А,гх'. (75А) Мы введем криволинейные координаты, обобщан преобразование координат (75.2), а именно, заменяя в правой части линейные функции координат к' их «произвольнымиа функциями, конечно, с известными ограничениями.
Но сначала дадим некоторые определенин. Арифметическим пространством л измерений называется множество всевозможных последовательностей вида (х', х', ...,х"), где хт, х', ...,х"— произвольные вещественные числа; отдельные последовательности (х1 хз ... х") называются точками арифметического пространства, а числа хг, ха, ...,х" †координата точек. Областью (открытым множеством) в арифметическом пространстве называется такое множество его точек, что вместе с каждой своей точкой х =-(х', ...,х") оно содержит и любую точку у = = (у'..., у ), для которой (у' — х') < 6 (г = 1, 2, ..., л), где 6 в некоторое положительное число (выбор которого зависит от точки х).
Иными словами, область характеризуется тем, что вместе с каждой своей точкой она обязательно содержит и охватывающий эту точку многомерный куб, если только этот куб имеет достаточно малые размеры, Разумеется, вместо куба можно брать (многомерный) шар и т, п. Пусть х', ..., х" — независимые переменные, и пусть системы значений, ко~орые онн способны принимать, образуют область в арифметическом пространстве; тогда эту область мы будем называть областью изменения переменных х', ..., х".
Множество Й точек л-мерного аффннного пространства мы назовем областью, если последовательность (х', ...,х") аффинных координат точки Я Е 'ь) описывает область в арифметическом пространстве. Нетрудно показать, по смысл этого определения не меняется при переходе к другой аффинной системе координат, хотя облас~ь в арифметическом пространстве становится, конечно, иной. Мы будем обычно предполагать, что рассматриваемые области являются связными, т.
е. что любые две точки области: й 75) ктиволинайные коогдинаты в лавинном пгосттхнстве 337 х'=д(х', ..., х"') (75.6) во всей области ь)' изменения переменных хе. В этом случае переменные хн мы будем называть криволинейными координатами в области (2 аффинного пространства. Коротко говоря, переменные х" с областью изменения Й' называются криволинейными координатами в области ьг, если они связаны с аффинными координатами в области (г обратимым и в обе стороны однозначным и непрерывно дафферениируемым преобразованием.
Тем самым, в частности, системы значений х", ,х" из области Й' взаимно олнозначно отвечают точкам области Й, что и оправдывает название координат для переменных х". Область ьг может, в частности, совпадать и со всем пространством, но это для нас мало существенно и вот почему. Дальнейшие исследования будут носить большей частью дифференциально геометрический характер, т.
е. относиться к бесконечно малой окрестности точки, а для этого достаточно иметь координатную систему хт в некоторой области Р, содержащей эту точку. Мы предположили, что функции уо д, непрерывно дифференцируемы, т. е. имеют непрерывные частные производные до некоторого порядка И включительно. При этом в Я 75, 76 достаточно ограничиться Ь7=1, а начиная с э 77 и до конца главы, мы будем предполагать Ь7= 2.
Позже понадобится !ч'= 3 и больше. Мы не будем в каждом случае оговаривать это особо, а просто факт записи производных данного порядка будет означать предположение о существовании и непрерывности этих производных. Значение )ч'= оо также допустимо (когда рассматриваемые функции имеют непрерывные производные любого порядкз).
Важно отметить, что якобианы обоих преобразований в прямого и обратного †отлич от нуля: 0е1 ~ — ~ ~0, !)е1 ~ — ( ~0, (75.7) а = (а',...,а"), Ь = (Ь' „,Ь") — могут быть соединены непрерывным путем, проходящим по области: хт = 7'т(1) (О ( 7 < 1); 7'т (О) = ат,/'(1) =- Ь', где 7~(1) †непрерывн функции. Пусть в некоторой и-мерной связной области ь) аффинного пространства заданып непрерывно дифференцируемых однозначных функиийаффинных кооРдинат уь(хт, ...,х")()г = 1, , и).
Введем новые переменные хт',хх', ..., хы посредством уравнений хг = Уг(х', ..., х"); (75.5) пусть они пробегают область изменения ьг'. Мы наложим, далее, на функции 7'г требование, чтобы преобразование (75.5) было обратимым, точнее, чтобы из уравнений (75.5) можно было бы, обратно, однозначно выразить х' как непрерывно дифферениируемые функции от х': кгиволинейныв коогдинлты (гл. ч причем соответствующие матрицы взаимно обратные. Это легко получить, рассматривая х как сложную функцию от х', ..., х": хг зависит от х', ..., хст согласно (75.6), а зти переменные зависят от х', ..., х" в силу (75.5).
Тогда частная производная от х' по одному из аргументов х', ..., х" вычисляется по известному правилу: дхг дх' дхго — — — (по й' — суммирование). дхт дкь дхт Но, с другой стороны, производная от одного аргумента по другому равна нулю, если аргументы различные, и равна единице, если дхг они совпадают: — = 5'. дхт Итак, дх ' дхы — —. = 6, дхы дху (75.8) т. е. произведение матриц ~ — й и й —.~~дает единичную матрицу. д. ~~ ~~д. Ре) ~ —,)~ О, (75.9) то мы не достигли бы нашей цели.
Если даже условие (75.9) соблюдается во всей области Й, то зто гарантирует однозначную обратимость лишь в некоторой окрестности каждой точки области, но не во всей области 0 в целом. Так, например, пусть область Й (в трехмерном случае) имеет вид распухшей буквы С, причем отображение на область Й' состоит в том, что Й сдавливается в вертикальном направлении, так что просвет справа исчезает, и отросток, спускающийся сверху, входит в отросток, поднимающийся снизу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
