1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Но Дхз в результате свертывания тензора получается снова тензор, в нашем случае с одним верхним индексом 1. Таким образом (70.17) означает равенство двух контравариантных тензоров 1-й валентности. Но такое равенство, справедливое в одной координатной системе, будет справедливо и в любой другой ввиду одинакового закона преобразования левой и правой частей. Тем самым, и вторая пара уравнений Максвелла имеет место в любой инерциальной системе 8, если она имеет место в одной из них.
Таким образом, мы показали, как теория относительности выполняет свою основную задачу †обеспечи инвариантность уравнений Максвелла (70.6),(70.17), т. е. инвариантность законов электродинамики, установленную ранее на опыте. Из (70.17) и из кососимметричности Р'Ы легко следует, что —.= — О, Дхг т. е.
четырехмерная дивергенция векторного полн э равна нулю. Физический смысл етого соотношения †зак сохранения заряда: 312 основы спгцилльной теогии относительности [гл. гт получающихся круговой подстановкой 1, 2, 3; % 701 УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА приращение заряда в какой-либо трехмерной области гг, выделенной в какой-нибудь инерпиальной системе 5, всегда равно заряду, втекшему за то же время через границу П области ы (вывод.совершенно такой же, как и в случае (72.8)).
Отметим без доказательства, что из уравнений (70.6) следует существование один раз ковариантного тензорного поля Л (хо, х1, хз, ха) такого, что г,.=- — ' д(7 д(1 дх' дху (70. 18) где 1р †произвольн скалярное поле. Действительно, формулы (70.18) при атом не нарушаются. Произвол в выборе четырехмерного потенциала существенно уменьшается, если на него наложить, как обычно делают, инвариантное добавочное условие д11 — '.
=О. дх' (70.19) Здесь по 1 происходит суммирование, так что нулю приравнивается инвариант, полученный полным свертыванием тензора — '. Под У'мы д1' дхг ' понимаем тензор, полученный поднятием индекса у тензора уп илн, что то же, контравариантные координаты вектора 1. Тензор 7, можно геометрически представить в виде вектора( с ковариантными координатами уо так что поле тензора у1 истолкуется как векторное поле 1. Вектор 1 наэывагтгя четырехмерным потенииалом электромагнитного поля; напряженность электромагнитного поля г0 получается из него, как мы видим, операцией, сходной с построением ротора данного векторного поля в обычном пространстве. Но теперь дело происходит в четырехмерном пространстве, и мы получаем в результате не вектор, а бивектор (кососимметрический тензор) гг .
Впрочем и в обычном пространстве при построении ротора мы получаем по существу сначала бивектор (кососимметрический аффинор, см. 9 5), который уже затем условно переделываем в вектор, для чего существенно используется трехмерный характер пространства. Обратно, из формул (70.18) немедленно вытекают уравнения (70.6), в чем легко убедиться прямой проверкой; Заметим еще, что четырехмерный потенциал 71 данного злектромагнитного поля определяется неоднозначно: из вида формул (70.18) легко вытекает, что к 71 можно добавлять любой градиентный тгнгор дм 1Р - =— дхг ' 314 ОСНОВЫ СПЕПИЛЛЬНОй ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. ГЧ й 71. Тензор энергии-имиульсв Допустим, что нас интересует общая картина распределения и движения энергии и импульса в пространстве и времени.
Как мы далее увидим, для ее описания мы должны построить в четырехмерном пространстве событий соответствующим образом подобранный дважды контравариантный симметрический тензор Ту — тгпэор энергии-импульса. Этот тензор задается в каждой точке пространства событий, так что получается тензорное поле ТУ Ту (М). (71. 1) Конечно, этим еще ничего не сказано о том, как тензор энергии- импульса строится и как он связан с распределением и движением энергии и импульса.
1(о мы начнем с рассмотрения частного случая тензора энергии-импульса, общее же его определение дадим потом. 1', Тгнэор энергии-импульса потока масс. Рассмотрим поток масс так, как мы это делали в $ 68, и сохраняя все прежние обозначения. В каждой точке М пространства событий мы имеем мнимоединичный касательный вектор т (68.7) к четырехмерной траектории потока и плотность покоя ро (68.5); -г т = т (М) ро ро (М). (71.2) Координаты т' вектора т образуют один раз контравариантный тензор, Перемножая этот тензор с самим собой и с инвариантом серо, мы получим симметрический дважды контравариантный тензор, который обозначим ТУ = )еосетгт~ (71.3) и будем называть тенэором энергии-импульса потока масс. Что мы хотим сказать зтим названием, станет ясным, если рассмотреть координаты тгпэора ТО в какой-либо Ортопормировапной системе хо, хг, х', хэ и раскрыть ие физический смысл с точки зрения соотвгтствующгй ипгрциалопой системы 5.
Подразумевается, что Тч берутся в определенной точке пространства событий, и соответственно их физический смысл истолковывается в определенный момент времени н в определенной точке обычного пространства (с точки зрения системы Я). Для этой пели нам будут нужны формулы (67.11), дающие связь между координатами т' и скоростью движения масс п(и„, и, и,) 315 $71) твнзот знвтгни-импьльск относительно системы о: (7!.4) сз с ~/1 —— с )/1 —— Кроме того, мы используем формулу (68.6): )з аз| Рз 1 —— с* (71.5) дающую связь между плотностью покоя )зз и плотностью )з с точки зрения о. Вычисляем Тзз: рзс 700 )з сз сз.сз РО )ссз и' ! —— сз Тзз )зи„с, Тзз )зи с, Тзз ри с (71.7) физический смысл этого результата двоякий.
Во-первых, раз плотность масс р, а скорость их движения п(и„, и, и,), то плотность импульса будет равна рп. Этим мы хотим сказать, что, умножая )зп на элемент объема Иы, мы получаем (пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка) импульс, заключенный в Иы. Действительно, )зс!ю дает, по определению плотности, массу, заключенную в сш, а следовательно, )зс!юп дает соответствующий импульс (пренебрегая в обоих случаях бесконечно малыми высшего порядка). Аналогично плотности проекций импульса на оси Х, У, Я будут равны: (71.8) )зи„, )зит, )зи,. Этим мы хотим сказать, что, умножая, например, )зи„на з7ы, мы получаем проекцию импульса„заключенного в с)св, на ось Х, Действительно, )зи с)ы есть проекция вектора )зз)ы ц на ось Х.
Так как )з есть плотность масс, то )зсз выражает, следовательно, плотность энергии в нашем потоке. Здесь и в дальнейшем все физические величины измеряются относительно системы Ю. Вычисляем теперь Т" = Т": Т" = )ззсзтзт' = рзс' ", = ри„с. Аналогичные выражения получаем и для Т", Тзз. В результате 316 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. Ш Таким образом, координаты 7чт(А = 1, 2, 3) совпадают с умноженными на с плотностями проекций импульса на оси Х, Т, к. Во-вторых, координатам Тьх можно дать такое истолкование Пусть в данной точке помещена бесконечно малая площадка йЬ', направленная ортогонально к оси Х.
Назовем плотностью потока энергии в направлении оси Х (в данной точке и в данный момент времени) количество энергии, протекшее через йЯ за бесконечно малый промежуток времени з, отнесенное к единице площади и к единице времени и взятое в пределе. Этой плотности приписывается знак плюс, если энергия течет в положительную сторону оси, и минус †противном случае. Так как плотность энергии рсэ, а движется она в направлении оси Х со скоростью и„, то плотность ее потока в этом направлении будет равна рс'и„, как легко показа~ь элементарным подсчетом. Аналогичным образом определяется и вычисляется плотность потока и любой другой физической величины, распределенной в пространстве и переносимой вместе с нашим потоком масс.
Итак, значения плотности потока энергии в направлениях координатных осей равньи рс'и„, )ьсэит, рс'а„ (71.9) и следовательно, они совпадают с СТь', суч', сТ". (71.10) В этом состоит второе истолкование координат Ть~(). 1, 2, 3), Для дальнейшего важно отметить следующий результат, Вычисленный в даннгяй момент Г поток векторного поля )ьсзн через какую-нибудь (двустороннюю) поверхность П равен скорости протекания энергии через эту поверхность в этот же момент 1: дь- ) ) рс'ппй5. п (71.11) При этом уь мы называем скоростью протекания энергии через П в данный момент т, если за бесконечно мальчй промежуток времени в, начиная от данного момента 1, количество энергии, протекшей через П в сторону +и, разно едь (пренебрегая бесконечно малыми вгясшего порядка).
Грубый вывод этого результата получается совершенно так же, как и в случае (16.3) с заменой лишь плотности жидкости р плотностью энергии рс'. Правда, в случае (16.3) движение было стационарным, чего в данном случае не предполагается. Но длн вывода это не играет роли, так как в нем рассматривается лишь бесконечно малый промежуток времени в. Скорость протекания энергии через П дь будет в нашем случае, вообще говоря, зависеть от времени; в стационарном случае она будет постоянной, 317 % 7П тензог энетгии-импульса В дальнейшем мы будем говорить о скорости протекания через поверхность П и пользоваться формулой (71.11) и для других физических величин совершенно аналогично тому, как сейчас мы делали это для энергии (предполагая, что эти величины тоже с известной плотностью распределены в пространстве и перемещаются вместе с нашим потокои масс).
Переходим теперь к истолкованию координат Тхи (Х, р = 1, 2, 3). Рассмотрим для примера Т". Пользуясь (71.3), (71.4), (71,5), получаем: "«иу Т" = р с'т'т'= р,сь, = ри„и . (71.12) сь 1 — — ) Другие координаты Тхи имеют аналогичный вид. Рассмотрим те из них, для которых ), =-1: Т"=ри„и, Т'т=ри и, Т"=-ри и. к к у к (71. 13) д'= ~~ ри„ппйЯ. п (71. 14) Скорости протекания через П проекций импульса на ось г' и на ось Е выражаются аналогичными формулами: дь ~ ~ ри„пп и'я, цт — -- ~~ ци, ппйб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
