1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 58
Текст из файла (страница 58)
(!03.15)). Если одна из «частиц» — Земля, а другая — космический корабль, улетающий с Земли с очень большой скоростью, а затем на нее возвращающийся, то из сказанного следует, что космонавты по возвращении на Землю постареют меньше, чем люди, оставшиеся на Земле. Дело в том, что четырехмерную траекторию Земли прибли- женно можно считать прямой линией взамен «винтовой линии», сильно вытянутой в направлении оси х«, как это на самом деле имеет место (в системе отсчета 5, связанной с Солнцем).
Мы хотим теперь кинематнческие результаты, полученные в $64, геометрически истолковать в пространстве событий. По-прежнему рассматриваем инерциальные системы 5 и 5', связанные формулами Лоренца (63.7), (63.8). )4о для простоты и наглядности мы будем рассматривать лишь событил. происходя«(ие на оси Х в системе 5 и, значит, ни оси Х' в системе 5', Другими словами, мы считаем у = е = О, а значит (согласно фор- мулам Лоренца), и у' =- е' = О. Так как с1, х, у, е в пространстве % 66) КИНЕМАТИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 287 событий представляют собой ортонормированные координаты х',х', х', хг, то это означает, что все рассматриваемые события распола- гаются в двумерной плоскости хх = хв = 0 (или, хв Х~ что то же, хх' = хв'.= 0). Это будет координатная а' плоскость, построенная на 7 ортах е„, ес или равным ~,, р а обРазом на оРтах е.ч есч и притом псевдоевклидова, ', 'с Ег „,с' так как е,' =- — 1, е', =- 1.
в. вл Эту псевдоевклидову плоскость мы и будем рассмат- М' , У.- К рнвать, выделив ее из пространства событий (рис. 12). Инерциальные системы 8 и О' представлены в этой плоскости ортонормированными реперами (е„ е,) и (е.ч е,,) и соответственно координатными системами (хь, х') и (хь', х'), В силу хе = хв = 0 мы сохраняем лишь лве из формул Лоренца С вЂ” — х с' )/ и обратные формулы — ьС+х (66.!0) )/ ь с'+ — х' сс ш'+х' х= / ьз (66. ! !) у' Рассмотрим прежде всего вопрос об одновременности событий. Относительно системы 5 одновременными будут события с одинаковыми значениями 1: !=сопя!, т. е. х'=сонэ!.
(66.12! Но уравнение х' соне! определяет на нашей плоскости прямую, параллельную оси Лч, так что одяовременньсе относительно системы О события располагаются на одной прямой, например РСк, параллельной оси Лс. В частности, события, происшедшие в начальный момент ! О, т. е. х" =- О, изображаются точками самой осн Л'. Как известно (конец $ 62), псевдоевклидовы расстоннин между 288 основы специкльной твотии относительности (гл.
ге событиями, одновременными относительно какой-либо системы 5, выражают просто расстояния между точками, где эти события произошли (тоже относительно 5). На рис. 12 псевдоевклидово расстояние между событиями Р, О можно измерить, взяв отношение отрезка РО к единице длины, отложенной в том же направлении (орт ед). Это отношение выражает расстояние между точкамя, где произошли события Р, О, с точки зрения системы 5. Совершенно аналогично события, одновременные относительно 5', характеризуются условием Р =сопят, т. е. х" =сопз1 (66.13) и изображаются точками какой-либо прямой, например, РО', параллельной оси Х'. В частности, события, происшедшие в начальный момент Р = О, изображаются точками самой оси Х'.
Ясно, что события, одновременные относительно системы 5, будут разновременными относительно системы 5'. Далее, изображенное на рисунке событие М расположено над осью Х' и под осью Хг', т. е. произошло с точки зрения системы 5 после начального момента 1 = О, а с точки зрения системы 5' — до начального момента 1 = О; событие же М', наоборот, произошло с точки зрения системы 5 до начального момента 1 = О, а с точки зрения системы 5' †пос начального иомента Р =О. Выходит, что относительно системы 5 событие М' произошло раньше, а М вЂ поз; относительно же системы 5' †наоборот.
Процесс движения какой-нибудь точки, закрепленной в системе 5' (на осн Х'), характеризуется тем, что х' = сопз1, а Р меняется. Другими словами, мы получаем совокупность событий, характеризуемую уравнением х' = сопя( (х' — переменное) и изображаемую, следовательно, прямой, параллельной ОХ'. Прямые линии, параллельные ОХ', представляют собой четырехмерные траектории точек, закрепленных на оси Х' в системе 5'. Аналогично прямые линии, параллельные ОХ', дают четырехмерные траектории точек, закрепленных на оси Х в системе 5: х=сопз1, т.
е. х'=сопзд Если мы хотин изобразить процесс движения целого стержня по) коящегося, например, з системе 5' на оси Х, то нужно взять совокупность четырехмерных траекторий всех его точек (стержень мы представляем себе в виде отрезка). Пусть в начальный момент Р=О стержень изображается отрезком ОА оси Х' (ось ОХт' в пространстве событий, как мы знаем, изображает ось Х' в системе 5', точнее, происходящие на этой оси события в начальный момент 1' = О). з 66) КИНЕМАТИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Тогда в другие моменты времени 1' стержень будет изображаться отрезком 01., параллельно сдвинутым в направлении оси Ха' (см, штриховку на рисунке).
Не надо забывать, что стержень покоится в системе 8', и его различные изображения показывают лишь течение времени, а не перемену места: у каждой точки стержня х" = сопя(, а меняется лишь ха'. В результате на рис. )2 история существования стержня изобразится целой заштрихованной полосой. Ее можно получить также, строя четырехмерные траектории каждой точки стержня, т.
е. проводя параллели осн Х" через зсе точки отрезка 01. Рассмотрим эту полосу с точки зрения координатной системы Х'ОХТ. Здесь она уже не вытянута вдоль оси Ха, а является наклонной. Это говорит о точ, что происходит не только течение времени, но и перемена места. И действительно, относительно системы Я стержень движется вместе с систеиой 8', Желая рассмотреть этот движущийся стержень в какой-нибудь момент времени 1 с точки зрения системы 8, например, в начальный момент, мы должны положить: т.
е. х'=0 и рассмотреть соответствующие точки полосы. В результате мы получаем отрезок ОК на оси Х', который изображает наш стержень в начальный момент 1 = 0 с точки зрения системы 8. В другие моменты времени 1 стержень будет изображаться параллельными ОК срезами полосы.
Обращает на себя внимание, что когда относительно системы 8 мы фиксируем движущийся стержень в определенный момент времени 1 (например, в виде отрезка ОК при 1 =- О), то относительно системы 8' мы фиксируем разные точки этого стержня в разные моменты времени (значення х' будут для различных точек различными). Соотношение (64.3) Г 1 — ! 1 са можно было бы элементарным путем вывести из нашего рисунка. При этом, очевидно, 1 будет равно отношению отрезка 01. к единице длины на оси ОХ' (орт е,,), а 1' — отношению ОК к единице длины на ОХ' (орт е ). На глаз видно, что 1' (1. Возвращаемся в полное пространство событий и займемся вопросом, в каких случаях события Л4, М могут влиять одно на другое, в частности, одно может служить причиной другого.
Мы уже упоминали, что это возможно тогда, когда сигнал, распространяющийся со скоростью света, успевает дойти от места одного до песта другого события за время, протекшее между втими событиями. Будем 10 П. К. Равсавсава 290 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. $Ч рассматривать наши события в какой-либо инерииалоной системе 8. Записываем наше условие: — у' (х — х) +(у — у)а-~-(г — г)'~(1 — 1(, (66.14) т. е. время, нужное свету, чтобы пройти соответствующее расстояние, не превышает времени, протекшего между событиими. Отсюда следует: — с' (г — 1)а+ (х — х)а+ (у — у)а+ (г — «)' «~ О, т.
е. — (хо хо)а+ (х' — ха)а 1- (ха ха)а+ (х' — ха)' ~ О (66.15) (так как с1, х, у, г — не что иное, как ортонормнрованные координаты хо, ха, х', х'). Пользуясь (62.4), получаем, наконец, ММ'( О. (66.16) Танин образом, для того чтобы иэ двух событий М, М одно могло влиять на другое, необходимо и достаточно, чтобы длина вектора ММ (равная тот ММа) была мнимой или нулевой. Это условие носит, как видим, инвариантный характер (рис. 13). Мы не уточняли до сих пор, какое именно нз двух событий влияет на другое. Допустим, что М влинет на М и, следовательно, предшествует ему во времени, так что х' к.хо. Рассмотрим те же события М, М относительно рнс 13 другой инерциальной системы 5'.
В 2 63 мы выяснили, что при переходе от 8 к Я' в первой формуле (63.3), а следовательно, и (63.2) приходится сохранить в знаменателе лишь знак + . Но тогда согласно (63.2) хо — (1х' * у1 ра' (66. 17) Переписывая вту же формулу для события М и вычитая из нее (66.17), получим: (хо хо) р (хй ха) «о» хо у'1 ра Так как (р( < 1 и, как вытекает из (66.16), (х' — х'(() хо — хо(, 29! 9 67! динямикл точки то вычитаемое в числителе (66.18) по модулю меньше уменьшаемого, а значит, числитель имеет тот же знак, как и уменьшаемое хе †', т.
е. положителен. Таким образом, и левая часть (66.18) положи- тельна и хь' ) х", Итак, если вектор ММ имеет мнимую или нулевую длину и если событие М следует за М с точки зрения инерциальной системы о (хе ) хь), то М следует за М и с точки зрения любой другой инерциальной системы о' (хь' ) хь'). Следовательно, как раз в тех случаях, когда событие М может влиять на М, временная последовательность этих событий является абсолютной, и М следует эа М с точки зрения любой инерцизльной системы 8.
Это показывает, что парадокс с обращением последовательности причины и следствия в действительности места не имеет. Когда же М, М не могут влиять друг на друга, т. е. когда вектор ММ вещественной длины, тогда, как нетрудно показать, всегда возможно обращение последовательности событий М, М за счет перехода к другой инерциальной системе. !!о зто не приводит к парадоксам ввиду отсутствия какого-либо влияния одного события на другое.
й 67. Динамика точки Мы будем рассматривать движение матеряальной точки в какой- нибудь одной инерциальной системе 5, предполагая в соответствии с основной установкой теории относительности, что все сказанное справедливо и в любой другой инерциальной системе. Еще до появления теории относительности был установлен зкспернментальный факт зависимости массы тел от их скорости. А именно, если масса тела в состоянии покоя равна шь, то при движении со скоростью и она будет равна: (67.1) )/ При и — с масса ш стремится к бесконечности, что с новой точки зрения подтверждает невозможность разогнать до скорости света тело, обладающее массой покоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
