1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 59
Текст из файла (страница 59)
)йы будем рассматривать материальную точку с массой покоя ть и переменной массой т. Вектор скорости обозначим ц, вектор силы, действующей на точку, обозначим Г. 10ь 292 основы спепилльной твогии относительностя (гл. гч Второй закон Ньютона записывается теперь следующим образом: Г = — (втц), д дс (67.2) т. е. сила г равна производной от импульса этц по времени б Это выражение не сводится к произведению массы вт на ускорение дн ш —, так как масса вт переменная и при дифференцировании лает дополнительный член. В теории относительности и во всей современной физике играет исключительно важную роль закон взаимосвязи массы и энергии. Он состоит в том, что наличие у данного тела энергии Е означает Е наличие д него массы —, и наоборот, наличие массы вт означает с» наличие энергии глез: Е= тсв.
(67. 3) Этот закон подтверждается физическим опытом, особенно ядерными реакциями, при которых излучение энергии связано с соответствующим уменьшением массы ядра или его остатков. Естественно, что формально «вывести» этот закон в полной общности нельзя. Однако полезно проделать следующую выкладку, которав в значительной мере способна убедить в справедливости этого закона. Пусть наша материальная точка движется для простоты по прямой линии, например, по оси Х, под действием силы Е, тоже направленной по осн Х.
Подсчитаем работу, произведенную силой на каком-нибудь участке пути от точки Р, до Р,;. А= ~ Рс(х. (67.4) формула (67.2) для движения вдоль оси Х принимает вид д ах Е= —,(вти), где и= —. И» вС (67.5) Преобразуем интеграл (67.4), пользуясь (67.5): г д Г дх А = ) — (тви) 4х = ) с( ( лги) — = ) И (сви) и. ~ дг = 3 дг = в, Р, Мы нарочно вместо пределов в определенном интеграле указываем лишь начало Р, и конец Р, данного пути, Это избавляет нас от необходимости каждый раз отдавать отчет в том, что служит аргументом под знаком интеграла. ДИНАМИКА ТОЧКН й бт) 293 Последний из полученных интегралов берем по частям и получаем: Р» Р А ти' ~ — ') тийн.
Р, Р, Заменяя под знаком интеграла т согласно (67.1), продолжаем выкладку: и» Заменяя, наконец, ть через т гт 1 — — получаем окончательно г» Рг А= тс' ~ = (т,— т,) са, где ты т — значения массы в начале и конце пути. Так как ра.
бота А, совершенная силой Р над нашей материальной точкой, пошла на увеличение ее энергии (именно, кинетической энергии), то А=Š— Е„ где Е„Е» — значения энергии Е нашей материальной точки з начале и конце пути. Сравнивая две последние формулы, получаем: Š— Е =(тя — т ) с», т. е. приращение энергии нашей материальной точки равно приращению ее массьц умноженному на с». Такая взаимосвязь между энергией и массой может показаться случайной, относящейся лишь к кинетической энергии. Однако на основе этого частного случая можно привести некоторые соображения в пользу универсального характера закона.
В самом деле, энергия, приобретенная нашей точкой, должна быть в силу закона сохранения энергии откуда-то заимствована. Но и масса, приобретенная нашей точкой, тоже должна быть откуда-то заимствована в силу закона сохранения массы, Естественно предположить, что и энергия и масса были заимствованы у одного и того же тела К, именно того тела, которое действовало на нашу точку с силой Е, чем и было вызвано приращение и массы н энергии точки (стела К» здесь нужно понимать в широком смысле; оно может включать в себя и силовое поле, под действием которого находится наша точка).
Но в таком случае получается, что потеря телом 11' некоторого количества энергии, неззвисимо от вида этой энергии, сопровождается потерей и соответствующего количества массы. Разумеется, это лишь наводящие соображения, говорящие в пользу закона Е= гкс'. Подлинным его доказательством является прямая и косвенная проверка на опыте; последняя состоит в подтверждении опытом теории относительности, одним из краеугольных камней которой является этот закон. Запишем формулу кинетической знергин точки с массой покоя ш, и скоростью движения и. В состоянии покоя точка обладает массой шс и, следовательно, энергией лг,ст; двигаясь со скоростью и, оца обладает массой лг = ' и, следовательно, энергией / и' 1 —— сс е сст .
Приращение энергии и составляет кинетическую энергию ит 1 —— с' точки: (67 А() Эта формула как будто совсем не похожа на обычную, но когда и мало сравнительно с с, то, пренебрегая величинами порядка (~ и1с — и выше получаем: с т' 1 ст +Я(3~ 1— ст откуда т,ит 2 и мы возвращаемся к обычной формуле. Разумеется, все подсчеты производятся в какой-либо инерциальной системе 5.
Кроме энергии лгс' большое значение ииеет импульс движущейся точки тц, где и — вектор скорости. Запишем проекции импульса на координатные оси Х, у, Е в системе о: тлию глих, тли;1 здесь бх бу 113 х,и~ у=бг> х=бг' (67. 7'1 Выразим еще скорость по абсолютной величине: и = ( ц ( =. У и'„+ и'„+ и' = Р бхс+бут+бгт бс (67. 81 294 основы специлльной твогии относительности (гл.
ш 9 67) динАмикА точки х'= х' (о). (67.9) Координаты мнииоединичного касательного вектора т равны согласно (66.9): йх' т'= —, где йо = )Г ах'* — йхы — йх" — йхь*, (67.10) Пусть наша ортонормированная координатная система в пространстве событий изображает некоторую инерциальную систему Ь', так что х'=с!, х'=х, х'=у, хэ=е. Тогда относительно инерциальной системы д отдельные координаты касательного вектора т имеют следующий смысл, Так как йо = ~ сь й(ь — йхь — йух — йаа = то йхь 1 ,гг йх' и к (67.11) ! ) -/ иь с ~Г 1 —— с' )/ йхь ть= — = йхь тз Мы воспользовались здесь формулами (67.7), (67.8). Мнимоединичный касательный к четырехмерной траектории вектор т никак не отражает индивидуальности рассматриваемой материальной точки.
Эта индивидуальность в данной связи характеризуется массой покоя пгь, или, что то же самое, энергией покоя лгьс': (67.12) Тьь =- пгьс ° Мы построим в каждой точке четырехмерной траектории каса> тельный к ней вектор Еьт, умножив мнимоединичпый касательный Теперь переходим к истолкованию всех этих величин в четырехмерном пространстве событий, Процесс движения материальной тачки задается четырехмерной траекторией мнимой длины, которую согласно (66.7) мы будем относить к параметру о в какой-нибудь ортонормированной координатной системе х'. 296 основы специальной твогии относиткльности [гл.
ш Е,чье -~/ и» Еьт'= " и т. д. ыьи с У'1 ",' Рнс. 14. Пользуясь (67.1), получим окончательно: Еьта = тсэ, Еат' = лги„с, ~ (67.13) Е,т'=лги с, Еьта=ши с. ) т ь Таким образом, нулеван координата вектора энергии-импульса выражает энергию материальной точки, а три другие †умноженн на с — составляющие ее импульса по осям Х, У, Л. Название вектора энергии-импульса этим оправдано: его координаты, вычисленные в ортонормированной координатной системе х, определяют энергию г и три составляющие импульса материальной точки относительно соответствующей инерциальной системы 8. Подобно тому, как пространственная и временная протяженность мира изображается в четырехмерном пространстве событий единой псевдоевклидовой метрикой, так энергия и импульс материальной точки изображаются единым четырехмерным вектором. «Распадение» его на энергию и три составляющие импульса происходит лишь по отношению к той или иной инерциальной системе 8.
Существование инвариантного вектора энергии-импульса с координатами (67.16) представляет интерес ие только с точки зрения вектор т на энергию покоя. Этот вектор мы будем называть (четырехмерным) вектором энергии-импульса нашей материальной точки (рис. 14), Смысл этого названия сейчас выяснится. Вектор энергии-импульса имеет постоянную длину Е,1, так кзк вектор к имеет дляну ~', Таким образом, вектор энергии импульса, вслед за четырехмерной траекторией, которой он касается, является ннварнантным геометрическим ь'е построением в пространстве событий, совершенно не завиоящим от выбора инерциальной системы 8 (энергия покоя Еь зависит лишь от выбора самой материальной точки). Но, конечно, ничто не мешает нам рассматривать вектор энергии-импульса и в инерциальной системе Л, точнее, в соответствующей ортонормированной координатной системе х~.
Координаты вектора энергии-импульса получатся умножением координат т (67.11) на Еь пгьс ' $67) 297 дииьмикл точки ен = А,',ен 00' = — А"ег (67. 14) и влечет за собой, как мы знаем, преобразование координат точки (т. е. события) хе =- Агх'+А" (67.15) и преобразование координат вектора хе = А,"х'.
(67. 16) При этом матрица А" ,(как и обратная ей матрица А).) должна быть в нашем случае псевдоортогональиой 4-го порядка, индекса 1 с добавочным условием А," ) 0 (см. (62.11)). Таким образом. чтобы получить закон преобразования координат хь, хт, хэ, хэ инвариантного векторп, достаточно отбросить свободные члены в формулах (67,15), выражающих преобразование координат события хь, хт, хз, ха = = ст,х, у, х при переходе от инерциальной системы 8 к инерциальной системе 8'. Таков будет, в частности, н закон преобразования координат вектора энергии-импульса Еьт', Простейший пример преобразования (67.15) дают формулы Лоренца (63.7), которые можно переписать в виде — — хь+х' хь — х о «ь с ьа 1 —— с' хм= хв, хь' хв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
