1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Связь с вектором скорости и (68.9) по-прежнему дается формулами (67.11). Но теперь мы пойдем дальше, Умножим вектор т на плотность покоя рь и обозначим 302 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. !Ч полученный вектор через з: в=рь(хь х! хз, хз)т(хь х! хз хз) (6812) Подчеркнем, что векторное поле з в пространстве событий является ннвариантным, т. е.
не зависит от выбора ннерциальной системы 5, так как инвариантны оба множителя, при помощи которых оно получено. Вектор з мы будем называть чзтырекмзрным вектором плотности тока. Смысл этого названия выяснится, если рассмотреть координаты вектора в ортонормированном репере Я, изображающем какую-нибудь систему о'. Пользуясь (67.1!), получаем: Ранк ! Я с~/ ! —— сз ь „,,ь Рь а пользуясь (68.11), получаем окончательно: зз = р -т, зз = р — ' .
(68.13) за ! з! л и Таким образом, нулевая координата вектора з выражает плотность заряда, а три остальные (после умножения на с) — значения плотности тока в направлениях координатных осей Х, У, Х вЂ” все зто относительно данной инерииальной системы Б. Плотностью тока, например, в направлении осн Х мы называем количество электричества, протекающее за бесконечно малый промежуток времени е через бесконечно малую площадку й5, ортогональную к оси Х, отнесенное к единице площади и к единице времени и взятое в пределе.
Плотность тока мы считаем положительной, если ток течет в положительную сторону оси Х. Легко подсчитать, что поскольку плотность электричества р, а движется оно в направлении оси Х со скоростью и„, то плотность тока в направлении оси Х равна ри„ н аналогично для других осей. Очевидно, ри„ зависит от момента времени и от места, где выбрана площадка йВ, т.
е. от хь, х', хз хз. Итак, плотность заряда и три значения плотности тока в направлениях осей Х, У, Х (деленные на с) оказались координатами одного инвариантного четырехмерного вектора. Реальный физический смысл этого утверждения заключается в том, что мы можем указать закон преобразования этих четырех величин при переходе от одной инерциальной системы к другой. Здесь можно повторить все сказанное в конце $ 67 относительно координат вектора энергии-импульса. элвктгомлгннтнов пОле 9 69. Электромагнитное иоле В этом параграфе мы покажем, как электромагнитное поле находит изображение в пространстве событий в виде определенного тензорного поля. Начнем с того, что будем наблюдать электромагнитное поле (в пустоте) относительно какой-нибудь инерциальной системы 8. Пусть Е (Е„, Е, Е,) булет напряженность электрического н Н (Н„, Н, Н,) †напряженнос магнитного поля.
Для простоты будем считать эти векторы постоянными в рассматриваемой малой области пространства и за малый промежуток времени. Если у нас имеется частица, несущая заряд е и движущаяся со скоростью и, то в электромагнитном поле на иее действует сила по закону Лоренца: и = еЕ+ — [пН1. (69, 1) Согласно общей установке теории относительности мы предполагаем, что этот закон действует в любой инерциальной системе. Пусть наша частица имеет (переменную) массу лг.
Тогла, пользуясь вторым законом Ньютона в форме (67.2), можно записать: — (лгп) = е (Е+ — [пН(~. 1 (69,2) Проектируя это равенство почленно на координатные оси, получим: — „, (лги„) = е~ Е + — (и Н,— и,Н ) ~ 1 и две аналогичные формулы, получаемые из этой круговой подстановкой х, у, г. Умножая почленно на сИ и учитывая, что и„ = †, и = — , аг и = —, получим: Ж' И (лш„с) = е (Е„с г1!+ г(у Н, — г(г Н ) (69,3) и две аналогичные формулы. Переходим теперь в пространство событий, где нашей инерцнальной системе 8 отвечает ортонормированная координатная система х', х', х', х' = с1, х, у, г. При этом лвижение частицы изображается четырехмерной траекторией с мннмоединнчным касательным вектором т, при помощи которого мы составлялн вектор энергии- 304 основы специальной твогин относительности (гл.
ш импульса Е,т, где Š— энергия покоя. Согласно (67.13) ши„с-Еьт' и т. д., так что (69.3) и две аналогичные формулы можно переписать тзк: Н (Еьт') = е (Е„г(х'+ Н,г7х' — Н г7х'), И (Еьт') = е (Е г!х' — Н,г7х'+ Н„Иха), (69.4) ~7 (Еата) = е (Е г(ха + Н йх' — Н„г7хз), К этим формулам следует прибавить еще одну, выражающую дифференциал энергии частицы,— пока мы выразили лишь дифференциалы трех проекций ее импульса (умноженные на с). Но дифференциал энергии лгса равен элементу работы, совершенной над частицей силами поля: И (глс') =- е (Е„г7х + Е г)у + Е,г7я'). (69.5) Обращает на себя внимание, что в правой части записана работа, произведенная лишь силами электрического поля; это потому, что магнитное поле, как видно из (69.1), дает силу, ортогональную к направлению движения частицы (к вектору скорости и), и потому работы не производит, Пользуясь формулаии (67.12), запишем окончательно: г((Е та) = е (Е„г(х+ Е г7у+Е,г7я).
(69.6) Теперь объединим формулы (69.4), (69,6), поставив на первое место (69.6), Мы видим, что эти формулы выражают линейную зависимость координат вектора с((Ечя) от координат ~ух' вектора лх, где х †текущ радиус-вектор четырехмерной траектории частицы в пространстве событий.
Оба дифференциала пх, И (Еьт) берутся при бесконечно малом смещении по четырехмерной траектории. Формулы (69.6), (69 4) становятся более прозрачными, если перейтн к ковариантнсчм координатам вектора ~Х(Еьт). Согласно (42.24) для любого вектора х в ортонормированной координатной системе в пространстве событий мы имеем: хо — — — хо, х„=.х" (Х=.1, 2, 3), (69. 7) так как в этом случае е, '= — 1, е1 —— 1. Применяя эти формулы 805 9 69) элкктгомлгнитное поле к Еот, мы перепишем (69.6), (69.4) в виде с( (Ео го) = е ( — Е„й х' — Етг1 хз — Е, йх' ), й (Еотг) = е (Е„йхо -)- Ййхз Н йхз) й(Еот, ) =е (Е йхо — Н ах' +Н„йхз), И (Еот,) — е (Е,йхо + Н„йх' — Нлйха (69.8) Мы замечаем, что матрица линейного преобразования йх' в Ф(Еот!) является кососимметрической и, если отбросить множитель е и обо- значить ее элементы через Е,р имеет следующий вид: Еоо Ео Еоз роз ~го ~г! Еаа Еаз Езо раз Еза Еаз Езо Езз Езз Езз — Ет — Е, 0 Н„ — ̈́ΠΠ— Е„ Е 0 (69.9) Очевидно, Е!.
— Е р Пользуясь индексными обозначенияии, формулы (69.8) можно переписать в виде й (Еот,.) = еГ йхт. (69. 10) Е,а. е(Е,т! й(Еот) = 0 т. е. вектор внергии-импульса Е,т оставался бы постоянным, и четырехмерная траектория, как легко следует из т = сопя!, была бы прямолинейной. При этом е одном и том же электромагнитном поле заряженную частицу двигаться по разным Рис.
15. мы можем заставить направлениям с раз- Разберемся в смысле полученного результата. При бесконечно малом смещении по четырехмерной траектории заряженной частицы (рис. 15) мы рассмотрим дифференциал с(х радиуса- вектора х (его контравариантные координаты Их!) и дифференциал й(Еот) вектора энергии-импульса Е т (его коварнантные координаты й(Е т!)). от Причиной того, что й(Еот) вообще су- х ществует (т. е. не равен нулю), является электромагнитное поле, действующее на ! заряженную частицу; если бы частица не подвергалась действию сил, то мы имели бы 606 основы спьцилльной теогии относительности [гл, и ными скоростями, т.
е. можем варьировать четырехмерную траекторию. Тогда вектор йх будет принимать различные значения, а й (Еьт) будет меняться в зависимости от йх, Так как координаты вектора а'(Еьт) при этои линейно зависят от координат вектора йх, то й(Еьт) получается из йх действием некоторого аффинора (ф 3), который, отбрасывая множитель е, мы обозначим $. Итак, й(Е т) =евйх.
(69.11) формулы (69.10) выражают зависимость ковариантных координат вектора-функции от контравариантных координат вектора-аргумента, так что коэффициенты Е, аффинора (у образуют согласно (40.10) дважды ковариантный (и при этом кососимметрический) тензор. Тензор Ег называется тензором электромагнитного поля. Таким образом, составляющие электрического и магнитного полей, рассматриваемые относительно какой-либо инерииальной системьь о, образуют по схеме (69.9) координаты дважды ковариантного кососимметрического тензора Е,, вычисленньче в соответствующей ортонормированной системе координат в пространстве событий. реальный физический смысл этого результата заключается в том, что он дает возможность пересчитывать электромагнитное поле, заданное в одной инерциальной системе о, на любую другую инерциальную систему 8'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
