1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Ах (1) н1 Ю- ь Л1 (65.3) 280 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТВЛЬНОСТИ (ГЛ. 1Ъ' При этом переход к пределу для вектора, например, хе = 1пп х, мы определяем как переход к пределу для каждой его координаты, л', = 1!ш х . Очевидно, смысл этого определения одинаков в любой г аффннной координатной систеие: если к',=!!шхг в одной системе, то х" ,= 1пп хг в любой другой системе в силу одинакового линейного закона преобразования и для х', и для х', при переходе к хг и х'„'. В частности, непрерывность функций кг(!) равносильна непрерывности векторной функции х(!), т.
е. соотношению !ппх(!)=х(1,) прн 1- !В (в нашем случае при каждом !ю 1,~:!В(!В). вх Таким образом, координаты вектора — по определению получал! Ьх ются предельным переходом от координат векторз †, а этн по- Ь!' Ьг' нл' нх следние равны — и дают в пределе †. Итак, — существует д! се! ' ' Й! нх' и имеет коордннаты — : л! ' нх кх' Й! Й (65.4) пх Предполагая, что вектор — отличен от нули мы будем называть Ж его касательным век~ором к нашей кривой в данной точке М(!). Такой вектор определяется с точностью до численного множителя, так как вдоль прежней кривой можно выбрать новый параметр 1, и тогда йх йх й! в! ИТ Прямукз линию, проходящую через точку М(!) и направленнук нх по вектору —, мы будем называть касательной к нашей кривой Ж' в точке М(!).
Дифференциал раднуса-векторз определяется как произведение его производной на приращение параметра; Их = — „Л! = — е, с(! =- с(хге, кх дх! (65,5) (65,6) Так как ! — аргумент, то можно писать и! вместо Л!. Дифференциал с~х направлен по касательной и показывает сиещение по ней нз точки М(!), пропорциональное приращению Ы параметра !. Сравним дифференциал пх с приращением Лх=-х(!+Л!) — х(!).
Очевидно, Ьх дает вектор смещения из точки М(!) в другую точку .М(!+Л!) На кривой. Так как Лх = Лх' (!) ео участке будет одно положение, а на другом другое, но таких кривых мы рассматривать не будем. Из формулы (65.7) видно, что если отсчитывать дугу в =МрМ от некоторой начальной точки М (! ) до переменной точки М(1) на кривой к =М М, то ее дифференциал будет выражаться фор- мулой (65.9) т. е. совпадает с подынтегральным выражением.
Или, что то же, авт = дхч. (65. 10) Если кривая имеет вещественную длину, то в можно принять за параметр ! вдоль кривой, и тогда формула (65.9) дает йв= ~ — ~ с(в, откуда ~ — ~= 1. Таким образом, производная радиуса-вектора по дуге в дает единичный касательный вектор + йх т= — т'=1. ак' (65. 11) Если кривая имеет мнимую длину, то в является чисто мнимой величиной в = — ог' (65. 12) и за параметр т вдоль кривой мы примем вещественный коэффициент и при мнимой единице. Тогда аз=[до, и формула (65.9) дает ! ах! !ах ) [йа = ~ — ~ с[о откуда ~ — ) = гТ йо ~)ао ~ (65.13) Таким образом, производная радиуса-вектора по а дает мниноединичный касательный вектор + ах т= — те= — ! (65. 14) ао' Разумеется, сам вектор т — вещественный, и вообще в псевдоевклидовом пространстве мы по-прежнему не рассматриваем каких-либо мнимостей кроме (в некоторых случаях) длин.
Пусть теперь кривая в изотропная, т. е. на любом участке имеет нулевую алину, что равносильно изотропности ее касательного веках тора — в любой ее точке й! ! — ~=0, т. е. ( — „) =О. (65. 15) 282 основы специлльной твогии относительности [гл. цг й 66) КИНЕМАТИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 283 В этом случае выбор дуги в качестве параметра, конечно, невозможен.
Нас будут особо интересовать псевдоевклидовы пространства индекса 1, так как пространство событый принадлежит к их числу. Для каждой точки такого пространства люжно построить, как мы знаем, изотропный гиперконус с вершимой в этой точке, причем векторы вещественной длины, отложенные из данной точки, пойдут вне гиперконуса, векторы мнимой длины в внутри его, а изотропные векторы †его образующим (рис. 11). Соответственно этому кривая вещее~венной длины в каждой своей точке направлена вовне изотропного конуса в этой точке, кривая мнимой длины †внут его, а изотроп- ЯРЕМЕ2 ная кривая касается его образующей (но, вообще говоря, не совпадает с ней).
й 66. Кинематика теории относительности в геометрическом истолковании Рассмотрям процесс движения какой-либо материальной точки. Для этого нужно указать положения, лема которые занимает точка в отдельные с моменты времени, т. е. совокупность событий, зависящую от одного пара- Рнс. 11. метра (например, от времени 1 измеряемого относительно какой-либо системы О). Но такая совокупность событий образует в четырехмерном пространстве событий некоторую линию. В самом деле, зададим процесс движения точки относительно какой-либо инерциальной системы,з. Для этого нужно переменные координаты этой точки х, у, а выразить как функции времени: х=Л(1), у=.У2(1), .=.Уа(1).
(66.1) Но с), х, у, г можно рассматривать как ортонормированные координаты ха,х!,х2,хз в пространстве событий, так что наши Уравнения примут вид Мы получаем, следовательно, совокупность событий 111(ха, х', х', х'), зависящие от одного параметра хч, т. е. линию в пространстве событий. Итак, процесс движения материальной точки изображается линией в пространстве событий. Если, в частности, движение точки 264 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. Ш равномерное и прямолинейное, то функции (66,1) линейные, а следовательно, и х', ха, х» линейно зависят от хь, и линия будет прямой.
Кривая, отображающая в пространстве событий процесс движения материальной точки, называется ее четырехмерной траекторией. Впрочем, вернее было бы говорить об изображении не «процесса движения», а «истории существования» данной материальной точки. Дело в том, что движение мы рассматриваем всегда относительно той или иной системы отсчета Ю, между тем четырехмерная траектория является построением абсолютным, не зависящим от выбора системы отсчета 5 и в таком выборе вообще не нуждающимся. Действительно, грубо говоря, четырехмерная траектория есть совокупность событий, из которых состоит история существования данной материальной точки, следовательно, определяетсн вне связи с выбором о и представляет собой однозначным образом определенную кривую в пространстве событий.
В связи с этим и касательный к ней мнимоединичный вектор †то вполне Определенный вектор, инвариантный относительно выбора системы отсчета. Однако не всякая кривая в пространстве событий может служить четырехмерной траекторией материальной точки: для этого необходимо и достаточно, чтобы кривая была мнимой длины.
В самом деле, материальная точка может двигаться лишь со скоростью, меньшей с, Запишем это с точки зрения инерцнальной системы 8, в которой закон движения точки имеет вид (66.1). йя йу йг Так как проекции скорости на оси Х, У х суть аг' вг' й ' то получаем: «. с, (66. 3) откуда — с»йс»+ йха+ йу»+ йя» ( О, (66,4) или, переходя в соответствующие ортонормнрованные координаты в пространстве событий: — (йхь)'+ (йх')а+ (йх»)а+ (йха)» «. О. (66.5) Но согласно (65.5) для нашей четырехмерной траектории йх = йх'е, = ах'е, + Фх'е, + йх»еа + йх»е„ откуда йха = — (йхь)а -[- (йхг)а+ (йх»)»+ (йха)» < О, (66 6) е зто согласно (65.8) означает, что четырехмерная траектория есть кривая мнимой длины в пространстве событий.
Мы будем относить й 66) КИНЕМАТИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 285 се к вещественноиу параметру о= †. ($ 65), условившись отсчиты! вать О в сторону возрастания хо. Пишем ее уравнения в виде хо хо (О) хт хт (О) хэ хэ(п) хэ хэ (О) (66 Т) Прн этом дв = (бх~ . — — ээт — дхо + дхэ*+дхэ'+дхэ*= = ' )т д * — д * — б.к * — б так что с(о =- Удхо — с(х" — с(хэ — с(хэ .
(66.8) Касательный вектор ах я= —— во будет, как мы знаем, мнимоединичным. Его координаты имеют при этом вид (66. 9) )тдхы — Ихп — бхы — дхы Ясно, что и, обратно, всякая кривая мнимой длины в пространстве событий может служить четырехмерной траекторией некоторой материальной точки, так как обеспечивает скорость движения, меньшую с. Будем представлять себе, как это делается в геометрической оптике, что свет в пустоте распространяется прямолинейными лучами наподобие частиц, движущихся прямолинейно и равномерно со скоростью с.
Тогда можно говорить о четырехмерных траекториях распространения света; эти траектории будут, очевидно, прямыми линиями и притом изотропными, так как в формулах (66,3) †(66.6) придется везде изменить знак с на Пусть событие йт' состоит в том, что световой сигнал исходит в данный момент из данной точки; тогда картина его распространения по всевозможным направлениям изображается в пространстве событий всевозможными образующими изотропного гиперконуса, исходящими из точки М (точнее, «верхними» полуобразующоми, так как «нижние» полуобразующие отвечают времени, предшествующему подаче сигнала).
Четырехмерные же траектории материальных точен будут представлять собой кривые, в каждой своей точке направленные внутрь соответствующего изотропного гиперконуса, что означает скорость движения, меньшую с. 286 ОСНОВЫ СПЕПНАЛЬНОй ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. !Ч Параметр о (деленный на с) имеет физический смысл так называемого собственного времени материальной частицы (под которой можно понимать в известном контексте и достаточно крупное тело, например космический корабль или даже планету).
Действительно, на бесконечно малом отрезке четырехмерной траектории вычислим с(х« = сс(1 в системе отсчета 5, в этот момент движущейся «вместе с частицей» или, что то же самое, в системе отсчета 5, относительно которой частица в этот момент покоится: с(х' =-«1х'= дх«= О. Получаем согласно (66.3): с(О = дх« =. с Ж. Естественно принять, что внутренние процессы, происходящие в неравномерно движущейся «частице», согласуются с течением 1 времени 1= — а; в самом деле, на кажлом бесконечно малом участке с да четырехмерной траектория — имеет смысл протекшего времени д1 с в системе 5, движущейся в этот момен~ «вместе с частицей».
Если две различные частицы имеют четырехмерные траектории с общей начальной точкой М, н общей конечной точкой М, то 1 собственное время — О, протекшее от «начальной встречи» частиц с до нх «конечной встречи», имеет, вообще говоря, свое значение для каждой из частиц, так как их четырехмерные траектории, сое- лнняющие точки М„М„могут быть весьма различными (рис. 11). При этом, как нетрудно показать, наибольшего значения протекшее время достигает в случае прямолинейной траектории (си.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
