1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(67.17) Здесь свободных членов нет, так что эти же формулы дают и закон преобразования (67.16) координат вектора. В частности, подставляя четырехмерного геометрического истолкования механики. Напротив, важнейшее значение этого факта в другом: до сих пор мы предполагали,чтодинамика точки строится одинаково в каждой инерциальной системе 8, но не знали, как связаны между собой соответствующие величины для разнгях систем 8, 8', теперь же, зная энергию и импульс материальной точки в одной инерциальной системе 8, мьч можем вычислять эти величины и в любой другой инерциальной системе 8'. В самом деле, поскольку энергия и три составляющие импульса (умноженные на с) образуют в пространстве событий координаты инвариантного вектора Е т, то они и преобразуются соответствующим образом.
А именно, переход от одного ортонормированного репера л( (отвечающего 8) к другому, И', (отвечающему о') выражаетси фор- мулами 298 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. ГЧ сюда Г ть вместо х', мы получаем закон преобразования энергии и трат составляющих импульса материальной точки (умноженных ка г) лри лгргходв от О к О'. Возвращаясь к общему преобразованию (67.16), заметим, что каждан новая координата вектора зависит, вообще говоря, от всех старых, так что энергия в новой системе 5' зависит не только от энергии, но и от илшульса в системе 5; равным образом, и импульс в системе 5' зависит не только от импульса, но и от энергии в системе Я.
В этом и заключается реальный физический смысл объединения энергии и импульса материальной точки в один четырехмерный вектор. 8 68. Плотность масс, плотность заряда, вектор плотности тока Чтобы не загромождать последующее изложение деталями, мы произведем в этом параграфе некоторые нужные нам подсчеты. Когда мы имеем не отдельную частицу, а по~ок большого числа частиц, то в идеализированном виде представляем себе его как поток непрерывно распределенных в пространстве масс. Обозначим плотность этих масс относительно какой-нибудь инерциальной системы о через )ь. Конечно, плотность р будет различной в разных точках и в разные моменты времени: )ь = )ь(хь хт хв ха), (хь хт ха, ха = с1, х, у, г). (68.1) Далее, в каждой точке и в каждый момент времени поток масс имеет определенный вектор скорости ц=ц(х', х', х', ха). (68.2) Мы должны ожидать, что плотность )ь относительно различных инерциальных систем 5 будет различной, хотя бы мы измеряли ее в том же мес~е и в тот же момент времени.
При этом есть одна инерциальная система, которая будет играть в этом измерении особую роль: это система Юь, движущаяся вместе с потоком, т. е. такая, с точки зрения которой массы покоятся. Разумеется, подобрать систему с так, чтобы относительно системы 8ь покоились вообще все рассматриваемые массы, невозможно, если только мы не берем в качестве потока очень частный случай равномерного и прямолинейного движения твердого тела. Но для данной точки и данного момента времени всегда можно подобрать систему бю заставив ее двигаться относительно системы о со скоростью ц, которую имеет поток в этой точке и в этот момент времени.
Тогда элемент массы длт, заключенный в элементе объема ды и движущийся вместе с потоком со скоростью ц, 299 $ 68) ПЛОТНОСТЬ МАСС, ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА будет в этот момент покоиться относительно системы О"« (для краткости мы позволим себе говорить об «элементаха массы и объема без детальных уточнений; по существу речь идет о массе и объеме, заключенных в бесконечно малой окрестности данной точки и рассматриваемых с точностью до бесконечно малых высшего порядка; в частности, тогда массу и объем можно считать пропорциональными между собой).
Относительно системы Яе наш элемент объема имеет уже другую величину, которую мы обозначим две. действительно, поскольку с точки зрения системы 8« элемент объема покоится, а с точки зрении системы О движется со скоростью и, его продол~ные размеры с точки / Ц« зрения системы О' сократятся в Отношении 1т 1 — —, поперечные с« же размеры не изменяются. В результате объем сократится в отношении Ц« 1 — —, и мы получаем: с« Ц« «дгее С (68.3) (68.4) Обозначим через ре плотность масс в данной точке и в данный момент вРемени с точки зРениа системы О', (плотность покоЯ). Конечно, Ре зависит от выбранной точки и от выбранного момента времени ре — — )«е(х", х', х', ха), (68.5) но в отличие от р является инвариантом — не зависит от выбора инерциальной системы О.
Ио смыслу понятия плотности (А~= ~, Вставляя в последнюю формулу выражении (68.3) и (68.4), получаеи (68.6) Ц« 1 —— с« Такова важнаЯ фоРмУла, свЯзываюи(аЯ плотности масс е системе Ба, где они покоятся, и в системе 3, относительно которой они движутся со скоростью и. ПУсть с точки зРениЯ системы Ое наш элемент массы имеет значение с(все. Поскольку в системе 5« он покоится, а относительно системы О имеет скорость ц, получаем согласно (67.1) 8ОО ОснОВы специальной теоРии Относи?ельнОСТН [Гл. чч Посмотрии теперь, как выглядит картина потока масс с точки зрения пространства событий. Каждая частица массы, вернее, каждая точка, движущаяся вместе с потоком, обладает четырехмерной траекторией в пространстве событий.
Если представлять себе в идеализированном виде, что поток масс заполняет все наше пространство, то четырехмерные траектории его частиц заполняют всв пространство событий, причем через каждую точку пространства событий проходит одна и только одна траектория. Действительно, в любой точке и в любой момент времени мы находим частицу массы, движущейся с нашим потоком; вполне определенный процесс ее дальнейшего (и предшествующего) движения изображается вполне определенной четырехмерной траекторией в пространстве событий. Но «любая точка и любой момент времени» означают выбор произвольной точки в пространстве событий, через которую и пройдет эта (единственным образом определенная) траектория. Построим мннмоединичный касательный вектор т к каждой четырехмерной траектории потока в каждой ее точке.
В результате вектор т будет построен в каждой точке М пространства событий, и мы получаем векторное поле в пространстве событий ч'=ч'(х', х', х', ха). (68.7) е=т(М), Очевидно, по этому векторному полю можно, обратно, восстановить совокупность четырехмерных траекторий потока масс. Связь между координатами тг вектора т в пространстве событий и координатами и„, и, и, вектора ц (68.2) в Обычном пространстве дается формулами (67.11). Обращает на себя внимание, что в полученной нами картине не нашла себе отражения такая важная характеристика потока, как плотность его масс. Но к этому мы вернемся позже, когда будем заниматься тензором энергии-импульса. Переходим теперь к другому, хотя исходному вопросу: рассмотрим поток частиц, несущих электрические заряды; масса частиц интересовать нас не будет.
Идеализируя эту картину, можно рассматривать движение непрерывно распределенного в пространстве электрического заряда. Плотность етого заряда, рассматриваемая с точки зрения какой-либо инерциальной системы О, является функцией места и времени! р = р (х', х', х', х'). (68.8) 801 9 68) ПЛОТНОСТЬ МАСС, ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА Аналогично (68.2) обозначим ц и (кь хт кз хз) (68.9) вектор скорости потока электричества с точки зрения системы Я. Теперь аналогично предыдущему подберем для данной точки и данного момента времени систему оь, движущуюся вместе с потоком электричества.
Плотность электрического заряда в этой точке и в этот момент времени, измеренную в системе Я„ обозначим рь (плотность покоя). Конечно, плотность покоя также есть функция места и времени: р = р (х' к' м' х') (68.10) и аналогично )ь представляет собой инвариант (не зависит от выбора инерциальной системы о). По-прежнему для элемента объема имеет место соотношение (68.3) между его величиной дю с точки зрения 5 и его величиной дю с точки зрения 5ь. Обозначим через дг элемент заряда, заключенный в этом элементе объема, Элемент заряда будет одинаковым и с точки зрения Я и с точки зрения Яь, так как теория относительности сохраняет классическую точку зрения на заряд как на инвариант, значение которого не зависит от выбора инерииальной системы.
Плотность электрического заряда с точек зрения систем Б и дь имеет соответственно значения йг дг Р= л,ь ~ Рь=л,ь откуда при помощи (68.3) следует: (68. 11) у' Так меняется плотность злектрического заряда при переходе от системы 5ь, относительно которой он покоится, к системе Я, относительно которой он движется со скоростью ц. Переходя к геометрическому истолкованию в четырехмерном пространстве событий, воспроизводим прежнюю картину четырехмерных траекторий, но теперь уже для частиц заряда, вернее, для точек, движущихся вместе с потоком электричества. По-прежнему через каждую точку пространства событий проходит одна и только одна четырехмерная траектория, и ее мнимоединичный касательный вектор т образует поле (68.7) в этом пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
