1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Для этого составляющие электромагнитного поля, записанные по схеме (69.9), нужно подвергнуть преобразованию по тензорному закону Еор = А[,А),Е~ . (69. 12) Здесь А;,— псевдоортогональная матрица (см. (62.11)), выражающая переход от ортонормированной системы, отвечающей 5, к системе, отвечающей 8': ев .4еео Е Если нам задан переход от Ю к 8' формулами хе = Аехг+А' (где хь, хт, х', ха=с1, х, у, г), то обратную матрицу А,'.
мы сейчас же получаем согласно (62.11). В простейшем случае, когда переход задается формулами Лоренца (67.17), эта матрица имеет % сО) твавнения максвелла внд А', А,',. А„' А„' )/ ! — — с Ав А Ас Ао (69.1З) о !о о о о! Применяя ее в формуле (69,!2), получаем, например: о ń— — Ц (69.14) 1 —— с' В процессе суммирования по с, / мы не выписывали членов, равных нулю. Аналогично можно вычислить любую составляющую электромагнитного поля относительно системы 5'.
Мы рассматривали электромагнитное поле для простоты в малом участке пространства и в течение малого промежутка времени, т. е. в малой области четырехмерного пространства событий, и считали его в этой области постоянным. В действительности же напряженности электрического и магнитного полей зависят от места и времени, так что тензор сч! должен быть задан в каждой точке пространства событий, и мы получаем тензорное поле (69.15) Г = Р. (хо х3 хо хо). сl Н Этим тензорным полем мы и будем в дальнейшем заниматься. й 70. Уравнения Максвелла Еще до появления теории относительности краеугольным камнем влектродинамики служили уравнения Максвелла.
Пусть Е ((,х, у, а), Н ((, х, у, в) будут соответственно электрическое и магнитное векторные поля, рассматриваемые относительно «покоящейся» системы отсчета 8. Тогда первая группа уравнений Максвелла связывает этн поля друг с другом 1 дН го! Е с д! б!о Н = О, Ео = ~о'о' = Ас АО ~ст Ао,Ао ~во+ А, 'Аорто! = о оо оо 1 —— со 308 основы специальной теогии относительности [гл. ш а вторая группа связывает их, кроме того, с распределением и движением электричества в пространстве: 1дЕ 4л й(ч Е = 4пр, тот Н = — — -[- — р«. сдс с Здесь р=р(1, х,у, в) есть плотность электрического заряда, а «=«(г, х,у, г) — вектор скорости его движения в данной точке и в данный момент времени.
Уравнения Максвелла записаны у нас лля пустоты. Как уже указывалось, законы электродинамики, т. е. в основном уравнения Максвелла, с классической точки зрения неинвариантньз относительно перехода от одной инерциальной системы к другой и должны нарушаться в чдвижущейся» системе о'. Опыт же показал противное, и теория относительности возникла как разрешение этого противоречия. Сейчас мы покажем, что, действительно, с точки зрения теории относительности имеет место инвариантность уравнений Максвелла, т. е.
если эти уравнения справедливы в одной инерцнальной системе Я, то они справедливы и в любой другой системе о'. Для втой цели мы должны истолковать уравнения Максвелла с точки зрения четырехмерного пространства событий как ограничения, наложенные на выбор тензорных полей Р0 (электромагнитное поле) и в~ (поле вектора четырехмерной плотности тока). Займемся сначала первой группой уравнений Максвелла (70.1). Дадим эти уравнения в развернутой координатной записи (проектируя второе из них на координатные оси Х, у, Л): дН„ дат до — "+ — + — '=О, дх ду дх дЕ дЕ~ 1 дЦ„ ду дг с дЬ и еще две формулы, получающиеся из последней круговой подстановкой х, у, в. Пользуясь теперь таблицей (69.9), а также обозначениями хь, хз, хз, х = ст, х, у, л, получаем: — + — + — =0 дрзз дрзз дры дхз дхз дхз (70,3) дузь дузь дузз (70А) дх' дхз дз' и еще две формулы, получающиеся из последней круговой подста- новкой 1, 2, 3.
% 70) зехвняння максвелла Пользуясь косой симметрией Р;. =- — Р;,, можно записать (70.4) в более симметричном виде, йеренося все члены в левые части: — + — =- 0 дров дрм дхв дхо дуоо дров — + — =О, дх' дхо дров, дувв 0 дхв ' дхо + дрво дхв — + дрво дх' дрво — + дхв (70.5) Мы замечаем, что четыре формулы (70.5), (70.3), к которым свелась первая группа уравнениИ Максвелла, имею~ однотипное строение и допускают общую запись с буквенными индексами: дР,, древ дР„ — + — (+ — О.
дхв дх' дхт Заметим, что левая часть этого уравнения кососимметрична по всем трем своим индексам: если переставить между собой, например, индексы Й, 1, то последний член меняет знак, первый член превращается во второй и наоборот, в обоих случаях с изменением знака (все зто в силу косой симметрии тензора Г;). При атом формулы (70.5), (70.3) исчерпывают есе случаи, когда 1, /, й представляют собой тройку различных индексов из числа индексов О, 1, 2, 3. В самом деле, задавшись индексами, например, 1, 2, 3 и написав соответствующее уравнение (70.3), сделаем в нем над индексами 1, 2, 3 какую-нибудь подстановку, в силу косой симметрии левая часть или не меняется или меняет лишь знак, и смысл уравнения не изменится.
Если же среди индексов 1, 7', й имеются хотя бы два одинаковых, то в силу косой симметрии левой части (70.6) она тождественно обращается в нуль, и (70.6) вместо уравнения дает тождество. Таким образом, уравнения (70.5), (70.3) равносильны уравнениям (70.6), рассматриваемым при всех комбинациях индексов. Первая группа уравнений Максвелла е четырехмерном пространстве событий записывается е виде дифференииальнслх уравнений (70.6), наложенных на тензорное поле РП. Теперь тензорный характер„ а вместе с ним и инвариантность зтнх уравнений становятся очевидными. Действительно, в $ 33 мы выяснили, что в результате частного дифференцирования тензора поля по координатам точки получается поле нового тензора с добавочным коварнантным индексом.
В нашем случае частные производ- дРП ные — ' образуют трижды ковариантный тензор дхв дРП Г Ов дхо ' 310 ОСНОВЫ СПЕ11ИАЛЬНОй ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. !Т вследствие чего образуют тензор и величины Л И=Е, +Еуа,+Е~;. Действительно, тензор Лг „получается сложением трех трижды коварнантных тензоров (отличающнхся друг от друга лишь круговыми подстановками индексов). Теперь уравнения (70.6) принимают вид Л, =0.
Но по характеру тензорного закона преобразования обращение тензора Лбв (т. е. всех его координат) в нуль в одной координатной системе влечет то же самое и в любой другой координатной системе. Поэтому уравнения (70.6), установленные в одной координатной системе, будут справедливы и в любой другой. Прн этом можно брать не обязательно ортонормированные, но н любые аффннные координатные системы. Однако для нас важны именно ортонормированные системы, так как инвариантность при их преобразовании означает инварнантность при переходе от одной инерпнальной системы 8 к любой другой Ю'. Теперь займемся второй группой уравнений Максвелла (70.2).
Г1ерепишем их в развернутой форме: дЕЛ дЕу дŠ— л+ — + — х= 4пр дх ду дх дох дОу 1 дЕ„АИ вЂ” х — — = — — «+ — лп дудгсд1с "х и еще два уравнения, получающихся из последнего круговой подстановкой х, у, х. Пользуясь таблицей (69.9) и формулами (68.13), получаем: дЕЫ др. др„ — + —.
+ — = 4па' дх' дха дха — — — = — + 4пл' дРЫ дрм дРЫ дхх дха дхе (70.8) н еще два уравнения, получающихся в результате круговой подстановки 1, 2, 3. Перенося все производные в левую часть и пользуясь косой симметрией Ргу, можно написать вместо (70.8) — + — + — 4п~ дРЫ дуы дРг дхч дха дхх и еще два уравнения, получающихся из этого круговой подстановкой1,2,3.
Итак, вторая группа уравнений Максвелла свелась к (70.7) и (70.9). Однако тензорный характер наших уравнений в втой записи еще неясен. Чтобы его обнаружить, нужно перейти к контравариантной 311 5 70! УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА записи тензора Рбч подняв оба его индекса при помощи контра- вариантного метрического тензора уб (3 40): Ры й,!р /ЯР РЧ' (70.10) Здесь по р и д происходит суммирование.
Очевидно, косая симметрия сохранится и после поднятия индексов. В самом деле, переставив индексы 1, у в формуле (70.10), мы можем также поменять н обозначения индексов суммирования р, ~у, что не играет никакой роли для результата. Получим: РЛ ~й~МР чр Сравнивая с (70.10), получаем: Рж Рж так как Р = — Р . В пространстве событий для ортонормированяр ря ного репера все координаты метрического тензора уг = езер равны нулю кроме узз= — 1, ды=1 (3=1, 2, 3). (70.11) Координаты контравариантного метрического тензора 3'т образуют матрицу, обратную матрице к;, следовательно, в данном случае просто с ней совпадающую: 3 за 1 Уы 1 (А 1 2 3).
йг~ 0 (1~ 7) (70 12) Позтому при суммировании по р, д в (70.10) следует сохранить лишь слагаемые, где р=(, д У, и мы получаем: Ри= ~'йртРВ (без суммирования). Это значит, согласно (70.12), что если оба индекса 1, / равны нулю или оба отличны от нуля, то 3"'утг 1 и Р0= Раг1 если же один из них нуль, а другой отличен от нуля, то аз игр — 1 и т /l Ри= — Р,.~. Итак, Рз'= — Рзх (А, В=1, 2, 3). (70.14) Перепишем теперь уравнение (70,7), заменяя Рта через — Рз„, а затем через Рз: Лрз| дрзз дрзз (70.15) В уравнении (70.9) заменяем — Р„через Р'з; Р,з, Ртз заменяются просто через Р", Р". Получаем, присоединяя еще два уравнении, ДР'з ДР'з + + дхз дхз дрзз дрзз — + — + дхз дхз ДРзз ДРЗ! — + — + дхз Дх' дрзз дрз' —, = 4лэз, дх' ДРзь — = 4лвз.
дхз (70.16) Итак, вторая группа уравнений Максвелла сводится к (70.15), (70.16). Эти четыре уравнения можно объединить в тензорной записи: ДРΠ— = 4лв'. дхт (70.17) В левой части происходит суммирование по у. Легко проверить, что, действительно, при 1 = О, 1, 2, 3 мы получаем соответственно формулы (70.15) и (70.16). Для етого достаточно написать в каждом случае суммирование по 7' в развернутом виде, учитывая, что в каждой сумме выпадает один член, равный нулю (именно, при когда Ел=О). Так как частные производные дважды контравариантного тен- ДРО зара — образуют тензор дважды контравариантный и один раз дх" ковариантный, то суммирование по 7' можно рассматривать как свердро тывание тензора — по второму верхнему и нижнему индексам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
