1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 65
Текст из файла (страница 65)
е. поделить на д5 и е. Получаем снова (71.26). Таким обРазом, напРЯжениЯ уее, уда, уда Равны плотностам потока трех проекций импульсз в направлении — Х, а следовательно, лишь знаком отличаются от Т", 7", 7«з, которые выражают то же самое, но в направлении -[-Х. Это же справедливо и для других координатных осей, так что окончательно 7""=. — уш (ч, ).=1, 2, 3). (71.27) Конечно, мы предполагали в этом рассуждении, что, кроме напряжений в теле, нет других причин для появления по~ока импульса.
Если перейти в другую инерциальную систему 8', то тензор энергии-импульса пересчитывается по закону (71.20). Как отсюда можно заключить, на плотность энергии и импульса, наблюдаемых в системе Ь", имеет влияние не только плотность энергии, наблюдавшаяся в системе 8 (плотность импульса была равна нулю), нв и напряжения, наблюдавшиеся в системе 8. Если в системе Я покоятся два тела с одинаковой плотностью энергии (и нулевой плотностью импульса), но одно находящееся в напряженном состоянии, а другое нет, то в системе 8' они будут обладать различныии (вообще говоря) плотностями энергии и импульса. Таким образом, объединение плотностей энергии, импульса и по. тока импульса в один четырехмерный тензор не является лишь формальностью; совокупность этих величин образует единую физическую сущность, и это проявляется в том, что одни из них способны «переходитьа в другие, когда мы меняем инерциальную систему.
й 72. Заков сохранения энергии и импульса В этом параграфе мы рассмотрим вопрос, каким образом обеспечиваются законы сохранения энергии и импульса, когда распределение и перемещение энергии и импульса задается тензором Тг7. Будем вести рассмотрение относительно какой-либо инерциальной э 72) ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 323 системы О, пользуясь соответствующими ей ортонормированными координатами х в пространстве событий. Выделим покоящуюся ! относительно системы о трехмерную область ю, ограниченную поверхностью П. Будем наблюдать втекание и вытекание энергии через поверхность П, причем говорить будем только о вытекании (втекание опениваем как отрицательное вытекание). Согласно (71.16) скорость этого вытекания будет равна: $ да=с 11 ~ Т'Ал„т, П А=! (72.1) Преобразуем это выражение по теореме Остроградского (18.2): 3 ,о ~~~~~,''~~' ~ю м А (72.
2) За бесконечно малый промежуток времени е количество вытекшей через П энергии будет равнщ (72,3) Здесь и в дальнейшем бесконечно малыми высшего порядка мы пренебрегаем. С другой стороны, увеличение количества энергии в области О! за время е можно подсчитать следующим образом. Общее количество энергии з пределах области ю выражается в каждый момент времени Г интегралом ~ ~ ~ Тчо А!<,> (72. 4) е — ~ ~ ~ Т'о с!а! = а ~ ~ ~ — !уа! (72. 5) Таким образом, за время е внутри области га появилось дополнительное количество энергии (72.5), и еще некоторое количество энергии (72.3) вытекло за пределы области.
Складывая этн дза так как Т" есть плотность энергии. При этом не нужно забывать, что тензор энергии импульса ТУ образует поле в пространстве событий, так что, в частности, Тча есть функция от х!, т. е. от х, у, г и времени !. Но по х, у, г в (72,4) произведено интегрирование, так что интеграл есть функция только от времени (. Увеличение количества энергии за время е можно подсчитать как дифференциал этой функции: 324 основы специьльной теогии относительности [гл.
ш выражении, мы получаем то количество энергии, которое возникло за время е внутри области оы (72.6) д? ьь дуьь учитывая, что — — = -, так как сг = хь, получаем окончас д1 дхь тельно: (72.7) где под знаком интеграла происходит суммирование по 7= О, 1, 2, 3. Спрашивается, каким образом возникла энергия (72.7)? Если рассматриваемый нами тензор энергии-импульса является частичным, т. е. связан с одним лишь видоч явлений (например, электромагнитным полем), то такое возникновение энергии данного вида возможно за счет исчезновения энергии другого вида (например, механической) и означает лишь перехоа одного вида энергии в другой.
Если же TУ есть полный тензор энергии-импульса, т. е. исчерпывает всю картину распределения и перемещения энергии-импульса, то посторонние источники энергии отсутствуют и количество возникшей энергии (72,7) должно всегда равняться нулю (закон сохранения энергии). Итак, в случае полного тензора энергии-импульса ее~ ~ ~ — ~йо = О при любом выборе области со и в любой момент времени. Это возможно только в случае тождественного обращения в нуль подынтегрального выражения — = О. (72.8) дхт Так записывается закон сохранения энергии с точки зрения данной инерциальной оистемы Я.
То, что сделано сейчас для энергии, мы дословно повторим для импульса. Согласно (7!.13) скорость вытекания т-й проекции импульса через поверхность Л, ограничивающую область ы, выражается формулой 326 ОСНОВЫ СПЕЦИЬЛЪНОй ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. ГУ равняться нулю (аакон сохранения импульса). Мы получаем, следова.
тельно: 3 ~Ч», е„~ ') ') —. й»э = О. и Отсюда коэффициенты при е„по отдельности равны нулю: ') ') ') — = О (У = 1, 2, 3). А так как это равенство верно для любой области сэ н любого момента времени 1, то подынтегральное выражение тождественно равно нулю: —.=О (У=1, 2, 3). дТнэ (72. 12) дхт Так выглядит закон сохранения импульса с точки зрения инерциальная системы 8. Объединяя его с законом сохранения энергии (72.3), пишем: дТУ вЂ” =О (»=О, 1, 2, 3). (72,13) дхт В этой форме закон сохранения энергии-импульса имеет вид инвариантного тензорного соотношения в пространстве событий. дТЫ В самом деле, совокупность частных производных — для любого дхь дважды контравариантного тензорного поля ТО образует, как мы знаем (2 33), поле тензора, дважды контравариантного и один раз дТ»7 ковариантного.
Тогда ., где по / происходит свертывание, дает дхт снова тензор (один раз контравариантный), который мы обозначим Т': дТ»7 Т = —. (72.14) дхт Этот тензор естественно назвать дивергенцией тензора ТО в четырех- мерном пространстве событий.
Теперь (72.13) принимает вид Тг= О. (72.15) Таким образом, закон сохранения энергии-импульса вались»вается в виде одран(ения в нуль дивергенции полного тенэора энергии-импульса. Ясна, что если координаты тензора Т равны нулю в одной ! координатной системе, то то же имеет место н в любой другой, Поэтому и закон сохранения энергнн-импульса имеет инвариантный характер и, будучи установлен в одной инерциальной системе 5, 3 73) дивьвгенция тензорх энергии-импульса 327 соблюдается и в любой другой Я'. Закон сохранения энергии-импульса (72.13), как мы видим, накладывает существенное ограничение на допустимый выбор полного тензора энергии-импульса. Разумеется, если тензор энергии-импульса является частичным, то его дивергенция Т не обязана обращаться в нуль.
й 73. Дивергенция теизора энергии-импульса электромагнитного поля Пусть теперь ТО является частичным тензором энергии-импульса, а именно, отвечает электромагнитному полю согласно (7!.19): Тд= — ~ ррчр. + — 'р"'Рртчд 16л Рч Чп РЧ' (73.1) Тогда в области гз за время з возникают (за счет перехода нз других форм) некоторые количества энергии и импульса электромагнитного поля, которые выражаются согласно (72.7) и (72.11). Пользуясь дивергенцией тензора энергии-импульса (72.14), эти выражения энергии и импульса можно переписать в виде ес ~ ~ ~ Т'дго, е ~Ч~ е„~ ~ ~ Т' г(гв.
(73.2) ч=| н дггч р .Рч д~рч дхх РЧ дхх (73.3) Чтобы убедиться в этом, выражаем грч как результат индексов у Р,Ч: РРЧ вЂ” др'~Ч!Р' г/ поднятия Получим и вставляем в обе части проверяемого равенства (73.3). (учитывая, что у;.7 и л"у †констан): а"а' — Р' =- К'К'ЧРЧ вЂ”, .дрм г дР дхх Рч Ы дхх а зто — тождество, в чем легко убедиться, переставляя в одной из частей равенства обозначения индексов суммирования р, г' и р, 7'. Подсчитаем теперь дизергенцию тензора (73.1). Заметим предварительно, что прн дифференцировании выражении Ррчг можно дифференцировать лишь второй множитель и затем результат удваивать, В самом деле, дифференцирование первого множителя дает тот же результат, что н дифференцирование второго 328 основы спепиальной теории относительности [гл.
ш Теперь вычисляем дивергенпию: дто Тп = дхд 80 дР 1 дудр = — —.2Ррд -+ — — Рдд~ + — Р' — К . 1 ч дррд 18 ' д д 4; дхд Рд 4п д 7 (73.4) Полученное выражение можно значительно упростить. В первом члене дррд мы заменяем множитель —., пользуясь уравнениями Максвелла (70.6): дху дРрд дР;у/ дРРР д / дхр дхд Получаем: 17 18п дху 8л дхР 8п дхд Оба слагаемых здесь равны, в чем легко убедиться, заменяя в первом из них обозначения индексов суммирования р на 4, и наоборот. Тогда первое слагаемое примет вид ,дР„ 8п дхд и совпадет со вторым (так как перестановка индексов у Ррд, Р дважды меняет знак выражения). Поэтому в (73.6) мы сохраняем лишь удвоенное второе слагаемое и, подставляя в (73.4), получаем: т!= — Р— „+ — — Рддй + — Г' —.ц .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
