1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Такое отображение Й на И' уже не будет взаимно однозначным, хоти при ятом всегда можно обеспечить условие (75.9) и взаимную однозначность в малом. Переход от одной криволинейной системы координат хе к другой х'" в той же области ь) удовлетворяет тем же условиям, что и переход от аффинных координат х' к криволинейным х'. В самом деле, согласно нашим требованиям х'" суть непрерывно дифференцируемые функции от х', а х' — от х", так что х'" оказываются непрерывно дифференцируемыми функциями от х', и обратно; ь)', область изменения х", и ()", область изменения х'", будут находиться во взаимно однозначном соответствии.
Таким образом, эти матрицы взаимно обратные и тем самым не- особенные. Заметим, что если бы мы откинули условие обратимости (75.6), а потребовали бы вместо него необращение в нуль якобиана й 75] ктиволннвйныв коондинлты в лээннном пгоствхнствв 339 Ясно также, что если от криволинейных координат хн (с областью изменения Й') перейти к новьш переменным х'" (с областью изменения Й») при помощи обратимого и в обе стороны непрерывно дифференцируемого преобразования, то х'" будут тоже служить криволинейными координатами з той же области Й. Действительно, переменные х' посредством координат хн будут связаны с аффннными координатами х' обратимым н в обе стороны непрерывно днфференцируемым преобразованием, а именно в этом случае мы и называем хн криволинейными координатами в данной области.
Во всех этих формулировках имеется в виду непрерывная дифференцируемость того же порядка, что и в определении криволиней. ных координат. В случае обычного евклидова пространства простейшими примерами криволинейных координат могут служить цилиндрические и полярные координаты.
Заметим, что, желая обеспечить взаимно однозначный характер их соответствия с точками, мы должны рассматривать их не но всем пространстве, а в области Й, полученной удалением из пространства одной полуплоскости, краем которой служит ось Е (при обычном расположении чертежа), причем ось х улаляется тоже. Выражая н формуле (75.1) х' через х', мы получаем зависимость радиуса-вектора точки М от ее криволинейных координат: ОМ=ат(х", ..., х"')е,+... +й„(х", ..., х"')е„.
(75.10) Обозначая кратко ОМ через х, мы будем писать: х=х(х", ..., х"'). (75.11) В силу непрерывной дифференцируемости функций д;. эта векторная функция будет такое же число раз непрерывно дифференцируемой согласно й 65. Правда, там мы дифференцировали вектор по единственному аргументу н олин раа, но для частных производных и притом любого порядка все рассуждения повторяются дословно, Отметим еще — это для нас будет важно,— дх дх что частные производные —,, ..., —, будут в каждой точке дхн' '" дх»' линейно независимыми векторами. Действительно, дифференцируя (75.10) по х', получаем: дх дх1 дх» дх» —,= —., е,+ —,е,+ ...
+ —., е (т'=1', 2', ..., и'). (75.12) дх~ дх' д»~ * дх' Матрица коэффициентов 1~ —,, л неособенная, следовательно, дхг дх дкн ~~ ды' линейно независимы. 340 [гл. у кгиволинейные коогдинлты й 76. Тензоры в криволинейных коордкивтах кратко дх дхг (76.2) Они, как мы знаем, всегда линейно независимы, и потому в каждой точке М могут быть приняты за векторы аффинного репера (М, хг, .
, х„). Таким образом, задание криволинейных координат в области Й влечет появление в каждой ее точке М вполне определенного пффинного репера (М, хы ..., х„). Этот аффинный репер мы булем называть локальньгм репером в точке М. Когда в качестве частного случая криволинейных координат мы берем аффинные координаты, функцин (76.1) принимает прежний вид (75.1): дх так что х = —.= ет, дхт х = х'еп (76.3) и локальный репер в каждой точке М имеет те же векторы, что Мы будем рассматривать область ьг аффинного пространства, отнесенную к криволинейным координатам хг (сейчас мы обозначаем их без штрихов). Радиус-вектор х произвольной точки М области [г, отсчитываемый от фиксированной точки О, будет выражатьсн согласно (75.11) функцией х=х(х', ..., х"), (76.
1) достаточное число раз непрерывно дифференцируемой (для етого пзраграфа довольно одного раза). В дальнейшем мы предполагаем, что все рассматриваемые точки принадлежат области Й. Для ориентации в строении данной координатной системы весьма полезны координатные линии. Так мы будем называть кривые, вдоль которых меняется лишь одна из координат х', а остальные остаются постоянными.
Рассмотрим, например, координатную линию х'. Это значит, что х', ..., хн закреплены на постоянных значениях, так что радиус-вектор х (76.1) остается функцией одного лишь х'; мы получаем кривую, отнесенную к параметру х'. Через каждую точку М пройдет одна и только одна координатная линия хг, именно, если хз, ..., хн закрепить на значедх ниах, которые они имеют в точке М. Частная производная— дхт дает касательный вектор к координатной линии х' ($ 65). Все сказанное справедливо и для любых координатных линий, так что через каждую точку М проходят л координатных линий дх с касательными векторами †..
Эти векторы мы будем обозначать дхг э 76) ТЕНЭОРЫ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 64) и основной репер, на котором построена данная аффинная координатная система. Для рассмотрения локальных реперов имеются глубокие основания. Именно вспомним те простые свойства, которыми облапали аффинные координаты точек: приращения этих координат при пере- холе из точки М(х') в точку Е (у') выражали координаты вектора смещения МЕ: МЕ = ОЕ. — ОМ = (у' — х ') ег, поскольку ОМ= х'е,, ОЕ =- у'е1 (говоря о координатах вектора, мы всегда будем иметь в виду его аффинные координаты; криволинейные координаты для векторов не имеют смысла). В этом, можно сказать, и состояла сущность аффинных координат точек. Для криволинейных координат х' эти простые свойства теряются. Однако мы находим их снова, если рассматривать криволинейные координатсл в бесконечно малой окрестности данной точки М.
Смещаясь из точки М(х') в бесконечно близкую точкуЕ (х'-(- Лх'), мы находим вектор смещения МЕ, как приращение радиуса вектора х точки М: МЕ =. ОŠ— ОМ = х (хг+ Лхг) — х (х'). Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, заменяем приращение полным дифференциалом и получаем: МЕ х,Лх'+... + х„Лх". (76.4) Это значит, что вектор смещения МЕ в локальном репере (М, х,...,х ) 1~,.'''' ь имеет координаты, равные приблизительно приращениям Лх . Итак, для бесконечно малых смещений из точки М приращения криволинейных координат Лх' снова выраэсают координаты вектора смещения МЕ, если эти последние вычислять в локальном репере в точке М, пренебрегая бесконечно маль1ми высшего порядки.
Таким образом, при помощи локального репера криволинейным координатам возвращаются свойства аффинных координат, правда, теперь уже лишь в бесконечно малой окрестности данной точки. Можно сказать также, что приращения Лх' криволинейных координат в бесконечно малой окрестности точки М совпадают [ГЛ. У 342 кРиволинейные кООРдинхты с точностью 1-го порядка с аффинными координатами относительно локального репера, построенного в точке Л4. Встественио, что, занимаясь геометрией аффинного пространства в криволинейных координатах, мы постоянно будем сталкиваться с локальными реперами. Выясним теперь, что происходит с локальными реперами, когда криволинейные координаты подвергаются преобразованного х" = х" (х', ..., х"), (76.5) которое предполагается однозначно обратимым и непрерывно днффсреннируемым а обе стороны ($75).
Выражая, обратно, х'=х (х', ..., х" ), (76.6) мы момсем считать в уравнении (76.1) радиус-вектор х сложной функцией от х' . '1астная производная по х' выразится тогда по известной формуле: дх дх дх' дх' дхг дх ' В правой части по г, конечно, происходит суммирование. Заметим, что мы будем без стеснения прилагать обычные формулы дифференцирования к выражениям, содержащим векторы, так как справедливость этих формул устанавливается тривиальным образом: достаточно свести дифференцирование векторов к дифференцированию их координат Я 65). Окончательно получаем: дх' хг = —., хр (76.7) дх' Итак, преобразование криволинейных координат влечет за собой преобразование локального репера в «азсдой точке Л4, причем векторы нового локального репера разлагаются по векторам старого дх' 1 дх' с коэффициентами —,; Ое1~ —., ~-ьб. Сравнивая с нашей прежней дхг ~ дх' записью преобразования аффинного репера ег =А, 'ет, мы видим, что (76.7) представляет собой ее частный случай, когда дх' (76.8) дх' а роль векторов е,, е; играют х„ хн.
5 761 тензогы в ктиволннгйных коотдннкткх 343 (т/ь(М) = (l,'ь(хт, ..., х"), (76.9) то всегда будем подразумевать сказанное выше, Если тензорное поле задано не во всей области ьг, а лишь на некоторой поверхности (линии), то в уравнениях (76.9) (т,;ь нужно задавать, конечно, как функции параметров этой поверхности (линии). Тензорное поле может выродиться и в задание тензора )т;ь в одной ( только точке М. Вслед за преобразованием криволинейных координат происходит преобразование локального репера в каждой точке М, а значит, и преобразование координат тензора (т~ь(М) по обычному тензорному закону: Ъ'~та (М) = А';АТАь (т;ь(М). (76.10) дх' матрицей — ,, дхг дхг дх! 3 11ри этом, как мы видели, матрица Аг совпадает с а следовательно, обратная матрица А', — с матрнцей дх~ А'; = —.. дх' (76.11) Следовательно, закон преобразования (76.10) принимает вид (тгбь (М) = —. (М) —,(М) — ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
