1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 70
Текст из файла (страница 70)
При этом подразумевается, что частные производные в (78.6) вычислены в точке М. Обычно объект связности рассматривается не в одной точке М, а в каждой точке области ьг: Г;у = Ггг (М) Г» (хг, ..., х"), (78.7) так что мы имеем поле объекта связности Гц(М). Для краткости » иы в дальнейшем под «объектом связности» будем понимать именно поле объекта связности, (ч(ы видим, что коэффициенты связности Г,;(М) в нашем аффинном пространстве образуют определенный объект связности, который мы назовем объектом связности нашего аффинного пространства.
Но произвольно взятый объект связности, вообще говоря, не является объектом связности нашего пространства. Более того, он не является объектом связности и вообще какого-либо аффинного пространства. Точный смысл этого замечания выяснится позже. Объект связности есть частный случай дифференциально-геометрического объекта класса 2. Мы говорим, что в точке М дан дифференциально-геометрический объект класса 2, если в каждой системе криволинейных координат хг нам дано з чисел 1 э ~ 5 причем при переходе от координат х к новым координатам х" новые значения <ргэ <рэч ..., щм выражаются как определенные (непрерывно дифференцируемые) функции старых значений<ры <рэ, ~р, и частных производных новых координат хе по старым хг до 2-ео порядки включительно; зти производные предполагаются вычисленными в точке Мч).
В закон преобрззоваиия могут входить, *) Обычно предполагают, кроме того, что это преобразование обладает групповым харакгером, т. е. последовательное его выполнение для пере»адов от х' к х' н от хг к х' дает это же преобразование для перехода от х' к х' . Однако групповой характер можно вывести из нашего определения (хотя и беэ изменения объекта по существу, но, может быть, с изменением формальной записи закона его преобразования). [ГЛ. У 350 кеиволинайные коогдинхты конечно, производные и старых координат по новым, но мы об этом не упоминаем, так как их всегда можно выразить при желании через производные новых координа~ по старым.
Совершенно аналогично определяется дифференциально-геометрический объект л1обого класса о; в частности, тензоры являются примером дифференциально-геометрических объектов класса 1, так как в закон их преобразования входят лишь первые частные производные новых координат по старым. Важнейшее значение объекта связности аффинного пространства состоит в том, что он определяет всю гео етрию аффинного пространства, точнее, той его облзсти Р, в которой объект связности задается. Это можно формулировать в виде следуюгцей теоремы.
Пусть нам известно, что переменные хт, ..., х", пробегающие данную связную область изменения Й", служат криволинейными координатами в какой-то (неизвестной) области П аффинного пространства, причем коэффициенты связности в этих криволинейных координатах нам заданы функциями Г[ь= Гть(х', ..., х"). (78.8) Тогда мы можем восстановить всю геометрию области О. Подчеркнем, что в условии теоремы нам не дано кйк именно и в какой области Р введены криволинейные координаты х~, а известно лишь, что как-то это сделано. Таким образом, заранее мы не знаем, как именно сопоставлены наши координаты точкам аффннного пространства, и должны это обнаружить на основе знания коэффициентов связности.
Чтобы докззать теорему, достаточно суметь перейти в области Р от криволинейных координат х к каким-нибудь аффинным координатам, которые мы обозначим х", Действительно, в аффинной координатной системе мы без труда можем определить все соотношения между точками и векторами и осуществить все конструкции, которые перечислены в аксиоматике аффинного пространства.
Тем самым и вся геометрия аффинного пространства будет восстановлена (в нашем случае в пределах области Р). Для того чтобы хг служили аффинныти координатами в области Гг, необходимо н достаточно, чтобы Г'; ь = 0 (конец 8 77). Поэтому мы будем искать такие формулы преобразования х"=-х' (х', ..., х"), чтобы этого добиться в преобразованных координатах х", 351 $78) овъект связности Используем закон гшуеобразовання (78.6), обратного перехода от х ' к х: х д'х"' дхч дхе дху дхг Гц= .
— + — — — Г,'';. дх'дхт дхы дх' дхт дхм напнсав его для (78.9) Очевидно, требование Г;у = 0 влечет за собой х ь дчхм дхх дхгдхт дха' (78.10) Обратно, отсюда следует Г,; =О. Правда, непосредственно прн подстановке (78.10) в (78.9] получзем обращение в нуль Г,;, подвергнутых преобразованию по тензорному закону, но это влечет обращение в нуль и самих Ггр. Перепишем теперь (78,10) в более удобном виде. Умножая подле члеино на — и суммируя по 7г, получим: дхь Гь дхе дзхы дх дха д'хх' бг д хе (78 11) дхь дх'дх' дхю дхь дхгдхт ' дх'дхт Итак, дчхг ь „дхе =Гц(х', ..., х")— дх'дхт ' ' дхл (78.12) Таким образом, длл того чтобы преобразование криволинейных координат х' хе = ха (х', ..., хл) давало бьч нам аффинные координаты хе, необходимо и достаточно, чтобы функции х'(х', ..., х") удовлетворяли системе дифференциальных уравнений второго порядка (78.12), А так как функции Г12(хт, ..., х") нзм заданы, то мы можем фактически написать уравнения (78.12) и среди систем криволинейных координат х" выделить те, которые этим уравнениям удовлетворяют.
Это будут аффинные координатные системы; по л1обой из них мы можем восстановить и всю геометрию области С). Теорема доказана. Заметим, что существование решений у системы дифференциальных уравнений [78.12) в нашем случае сомнений не вызывает, так как в области (г наверняка существуют аффинные координаты х'; вопрос состоял лишь в том, как х" выразить через х'. Доказанная теорема наводит на слелующий вопрос, исключительно важный для дальнейшего. Пусть в области изменения переменных х', ..., х", которую мы обозначим Й", заданы какие-то функции Г;х (х', ...,х"), и притом [гл. т 352 кеиволинайные коотдинлты во всей области О Гт» =- ["»,, всегда ли»южно истолковать пере» ' ! ленные х', ..., х" как криволинейные координаты в некоторой области ьг аффинкого пространства так, чтобы наперед заданные функции Гг» (хт...,, х") выражали коэффициенты связности в области ьг? Ответ на этот вопрос будет, как мы позже увилии, отрицательным, лаже если вместо всей области 11» брать сколь угодно малые ее куски.
Требуемое истолкование возможно лишь в весьма частном случэе, когда Г>» удовлетворяют определенной системе дифференциальных уравнений в частных производных. Заметим, что этот отрицательный результат не противоречит доказанной теореме: действительно, возможность истолковать функции Г,»(х', ..., х") как коэффициенты связности в криволинейных координатзх хг входила в условие теоремы. Теперь возникзет следующий вопрос: мы знаем, что в некоторых частных случаях функции Г';»(х', ..., х"), залзнные в области изменения переменных х', определяют в этой области аффинпую геометрию (имеиио, если истолкование Гг» как коэффициентов связности в криволинейных координатзх хг улается).
Нельзя ли считать, что и в общем случае функции Г';»(хт, ..., х") все-таки определяют в рассматриваемой области некоторую геометрию, которая, естественно, является обобщением аффинпой? Ответом на этот вопрос служит понятие о пространстве аффинной связности, которым мы будем заниматься в главе У11 (9 89), 9 79. Криволинелиые ноордииаты в евклидовом пространстве Так как евклидова пространство получается из аффииного лишь дополнительным введением метрики (в форме скалярного произведения векторов; 9 39), то все сказанное о криволинейных координатах в Я 75 — 78 остается верным, и повторять этого мы не будем.
В частности, за объект связности евклидова пространс~ва мы принимаем объект связности Гн аффинного пространства, на базе кото» рого оно построено. Но наличие метрики означзет появление дополнительных вопросов, которые мы также хотим рассмотреть в криволинейных координатах. Как мы знаем, залание метрики сводится к заданию метрического тензора у;, который можно относить к любому аффииному реперу.
При этом имеет место формула (79.1) В соответствии с общим соглашением (э 76) мы, рассматривая тензор хг . в криволинейных координатах х', относим его в каждой гт 9 79) кгиволинсйныа кооглинлты в авклидовом пгостглнства 353 точке М к соответствующему локальному реперу (М, х„ ..., х„). Его координаты будут при этом выражаться скалярными произведениями А,у (М) = х, (М) х (М) (79.2) согласно (79.1). В этой трактовке метрический тензор нужно рассматривать уже как тензорное поле; его координаты будут являться функциями точки Р) (М)=л) (х', ..., х"), (79.3) хотя по существу в каждой точке задается все-тани один н тот же тензор. При переходе к новым криволинейным координатам дгу преобразуются по закону дхс дхг акр= —, —., кг" дхп дхс' л(ы вскоре увидим, что задание в криволинейных координатах хг метрического тензора д„ (х', ..., х") играет для евклидова пространства такую же роль, как залание объекта связности Гс1(х',...,х") для аффинного пространства, т, е.
полностью определяет его геометрию. Но пока мы просто выведем некоторые свойства евклилова пространства на основе задания метрического тензора ев„ в криволинейных координатах. При этом ясно само собой, что для локального репера в произвольной точке М и соответствующего метрического тензора РЫ(М) можно повторить все скааанное в Я 39 — 41. Рассмотрим прежде всего параметрически заданную кривую (см. 77.1)): х' = х'(1), 1, < 1 ~ 1а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
