1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 74
Текст из файла (страница 74)
А именно, возьмем экземпляр и-мерного аффинного пространства А„с отмеченной в нем точкой О, Отобразим каждый текзор $( в данной точке М в некоторый вектор $ пространства А„ так, чтобы итмножению тензора $( ка число и сложению двух тензоров и Ч отвечали такие же операции кад соответствующими векторами: если т)'=а$', если э~= $(+ т)', то т)=(хй, то ь = й + т). (82.1) (82.2) Кроме того, мы требуем, чтобы в этом отображении получались все вектора( я пространства А„, а не происходило бы, например, отображение всех тензоров я( в вектор-нуль. Искомое отображение нетрудно построить следу)ощнм образом. Выберем среди тензоров в( в точке М и линейно независимы.
( ! Э(г) ь(х) > э(л)~ т. е. удовлетворяющих условию Ое(! $О)) ) ~ О. Тогда любой тензор $( можно разложить по этим с некоторыми коэффициентами $'=с((О$(,)+... +а(")$(„) ()'=1, 2, ..., и), (82,3) и каждому тензору $( (82.3) сопоставим вектор й, в А„определяемый формулой й= 'нй„, +... +(х" ~ын (82лу) где коэффициенты (х(", ..., (хгл) без труда определяются из выписанной системы и уравнений с и неизвестными. Теперь в А„ выберем произвольно п линейно независимых векторов в 82) КАСАТЕЛЬНОР АФФНННОЕ ПРОСТРАНСТВО 369 Ясно, что отображение будет взаимно однозначным с соблюдением условий (82А), (82.2). Следует подчеркнуть, что наше отображение относится именно к тензорам независимо от того, в какой координатной системе х' они рассматриваются, и носит, таким образом, инвариантный характер. Мы условимся, кроме того, отображать данную точку М многообразия %„ в точку О пространства А„; можно даже лля наглядности представлять себе их отождествленными, так что пространство А„ «пришпиленоя к многообразию %„ в данной его точке М.
Итак, для каждой точки М многообразия %„мы строим аффинкое пространство А„, имеюи(ее с многообразием одну оби(ую точку М, поичем тензоры $г в точке М с сохранением линейных зависимостей между ними изображаются векторами $ в А„. Такое пространство А„называетси касательным аффинпым пространством, а его векторы й — касательными векторами в данной то«е М многообразия %„. Впрочем мы будем кратко называть векторы в просто векторами в данной точке М, подразумевая, что они принадлежат касательному пространству в атой точке. На первый взгляд кажется, что касательное пространство привязано к многообразию внешне и искусственно и с геометрической стороны ничем не монсет его оживить.
В действительности, однако, связь здесь более глубокая. Рассмотрим кривую, проходящую через данную точку М многообразия %„. Под кривой в многообразии мы будем понимать множество точек, заданных параметрическими уравнениями х' = х' (~), (82.5) йхг причем будем предполагать, что — не обращаютсв в нуль однойг временно; функции х'(1) тт' раз непрерывно дифференцируемы.
Пусть при данном значении 1 мы находимсв в точке М, а при г'+йг попадаем в бесконечно близкую точку М'. Дифференциалы координат йх' = йх' (1) образуют в точке М олин раз контравариантный тензор. Действительно, при переходе в многообразии к новым координатам (82.6) хе = хс(х', ...„ х") мы для того же бесконечно малого смещения по нашей кривой получаем по формуле полного дифференциала йхс (1) = — ~ (М) йх~ (Р), (82.7) а это означает тензорный закон преобразования для йх. Но в ~ахом случае в касательном аффннном пространстве тензору "' = йхт(г) должен отвечать (бесконечно малый) вектор, который мы обозначим йх. 370 (гл.
ю МНОГООБРАЗИЯ Итак, бесконечно ма юму смещению из точки М по кривой в многообразии %, отвечает бесконечно малый вектор дх в касательном пространстве А„ в точке М. Этот вектор играет примерно ту же роль, что и дифференциал дх радиуса-вектора х в аффинном пространстве (8 65).
Но разница в том, что кривая теперь лежит в многообразии, радиуса-вектора х (как и вообще векторов) в многообразии не существует, и аналог вектора йх удается построить лишь в касательном в данной точке аффинном пространстве А„. Как и в 8 65, вектор йх определяет отвечающее ему бесконечно малое смещение лишь с точностью 1-го порядка, так как задание йх равносильно заданию йх'(1), для самого же смещения нужно было бы знать Лх'(В). Тем не менее полученная геометрическая картина имеет большое значение, Представим себе, что из точки М по всевозможным направлениям берутся бесконечно малые смещения в многообоазии.
Все зги смещения находят себе изображение в виде вполне определенныл бесконечно малых смещений (векторов йх) из той же точки М в касательном пространстве, правда, если пренебречь бесконечно малыми высшего порядка. Тем самым касательное пространство не только «пришпилено» к многообразию в точке М, но и как бы «сливается с ним» в бесконечно малой окрестности точки М, однако лишь с точностью 1-го порядка. Теперь ясна аналогия между касательным пространством и касательной плоскостью, например, к обыкновенной поверхности. Смещаясь из данной точки М на поверхности в бесконечно близкую точку М' по какой-либо кривой, мы можем, пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, выразить это смещение бесконечно малым вектором в касательной плоскости.
Таким же свойством обладает касзтельное пространство по отношению к многообразию (однако при этом не обязательно мыслить их вложенными в некоторое объемлющее пространство). В дальнейшем мы будем говорить кратко «вектор $« в точке М», имея в виду соответствукнций вектор $ в касательном пространстве А„а точке М. В частности, под «вектором йх'» мы будем понимать вектор йх. Следует подчеркнуть, что «асательные пространства А„ взятые в разных тачка« многообразия И„, не имеют между собой ничего общего. У нас нет никаких данных для того, чтобы вектор, взятый в точке М« каким-либо мотивированным образом, отложить в точке М«. )»(ы увидим далее, что устранение этого пробела будет означать превращение многообразия в пространство аффинной связное~и, Вернемся к кривой (82.5), Рассмотрим вместо дифференциалов йх' йх' производные — в изиной точке М.
Они, очевидно, тоже йг образуют тензор. Действительно, считая, что в (82.6) х' зависят 5 82) КАСАТЕЛЬНОЕ АФФИННОЕ ОРОСТРАНСТВО от < согласно (82.8), и дифференцируя по <, получаем: ахс дхс' ах< й< дх' й< (82. 8) т. е. — подчиняются тензорному закону преобразования. Слей< д < довательно, тензору $ = — должен в касательном пространстве отвечать определенный вектор гс, который мы будем называть касательным вектором к нашей кривой в то«ке М (илн просто «век< .с тором — » ). Конечно, касательный вектор опрелеляется неоднозначно; при непрерывно дифференцируемом и обратимом преобразовании параметра т=т(<), <=<(т) б< этот вектор умножается на —: йт ' Таким образом, он будет определен в данной точке для данной й< кривой с точностью до численного множителя —. Другими словами йт все касательные векторы в данной точке М данной кривой коллинеарны, а по~ому они указывают в касательном пространстве вполне определенную проходящую через точку М прямую; ее мы будем называть касательной к нашей кривой, Итак, касательная к кривой, заданной в многообразии, лежит не в многообразии, а в касательном пространстве в соответствующей точке М.
Отметим, наконец, что утраченный нами в многообразии локальный аффинный репер возрождается снова в касательном пространстве. А именно, задавшись в многообразии координатной системой х', рассмотрим в какой-нибудь точке М тензоры е«н е<»<с ° ° сь<«н имеющие в данной координатной системе х< следующие координаты: 1» « 1<ы, 8<ы, ..., 8<м=), О, ..., О, Б'.н Рн,н ..., 8<",<=О, ), ..., О, (82.9) Кю, В<., 8,"ю = О, О, ..., ). В краткой записи с 3<и=бр Отвечающие этим тензорам векторы в касательном пространстве А обозначим соответственно е, е, ..., е„ н будем называть репер 372 [гл.
ю многоояелзия В = $'е, + ... + $"ею (82.10) откуда и вытекает, что координаты вектора й относительно локального репера равны й', ..., й". Из определения локального репера видно, что он зависит от той координатной системы х', к которой отнесено многообразие. Можно даже уточнить это: вектор ех есть касательный вектор к координатной линии х , отнесенной к паранетру 1 =х . Действие а тельно, вычисляем касательный вектор при й=1 дхГ дхг — = — = бдс дх' а значит, этот касательный вектор совпадает с е .
При переходе к новой координатной системе х" векторы локального репера в каждой точке М преобразуются по закону дхг е, = —,,(М)е; дхн (82. 11) (т. е. так м<е, как и в криволинейных координатах в аффинном пространстве). В самом деле, поскольку координаты $г любого век~ора $ относительно локального репера совпадают с координатами соответствующего тензора $', то они преобразуются по закону д $е = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
