1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(79 4) Радиус-вектор любой точки вырзжается функцией ее криволинейных координат х=х(х', ..., х"), причем вдоль кривой сами х', ..., лв зависят от 1. Отсюда касадх тельный вектор — в произвольной точке М нашей кривой имеет И3 вид дх дх дхс дхс (79.5) дх' Ф дс дхг а значит, обладает в локальном репере координатами — . Эти Ж координаты образуют, следовательно, один раз контравариантный 12 и. к. Рашевский 9 79) ктиволингйныв коотдинкты н авклидовом птостткнстве 355 Итак, если в криволинейных координатах х~ в области Й нам задан метрический тензор ды(хг, ..., х"), то длину любой кривой (79А) можно вычислить по формуле (79.9). Вместо того чтобы задавать длину дуги интегралом, можно выразить ее дифференциал, совпадающий, конечно, с подынтегральным выражением: йз = ! йх ~ = $' д; йх'йхт, или, что то же, йз' = у,~ (х', ..., х") йх'йхт.
(79.10) Квадрат дифференциала дуги при любом бесконечно малом смеи1ении по любой кривой выражается дифференциальной квадратичной формой (79,10) от криволинейных координат (вообще дифференциальной квадратичной формой от переменных х', ..., х" называется квадратичная форма от их дифференциалов йх', ..., йх" с коэффициентами †функция от х', ..., х"). Эту квадратичную форму мы будем называть метрической. Она инвариантна относительно преобразования криволинейных координат х~; зто видно как по ее геометрическому смыслу, так и по алгебраической структуре: она предстзвляет результат двойного свертывания метрического тензора еи с контравариантным тензором йх, Покажем теперь — и зто важный факт,— что объект связности Г;ь(М) евклидова пространства можно вычислить, зная метричес! кий тензор ды(М) в какой-нибудь криволинейной системе координат.
Согласно (77.6) козффициенты связности подсчитываются нз разложения та хи = Гцхь. (79.11) Теперь, имея в пространстве евклидову метрику, мы можем по-но- вому подойти к атому подсчету. Умножая (79.11) на х, скалярно, получим: х,хы —— Гид,ь, ь (79. 12) так как (79.13) х,ха=а, .
Мы видим, что правая часть (79.12) получается из Г~~ опусканием верхнего индекса (правда, опускание индексов мы рассматрнь вали лишь для тензоров, в то время как Ги — не тензор; однако формальная сторона дела от етого не меняется). Соответственно кгиволинвйныа коогдинлты (гл. т этому обозначим: А Г,„, = аыг,,-. (79. 14) Ясно, что лля вычисления Гьд достаточно вычислить Г,,".
Согласно (79.!2) (79. 16) При этом, очевидно, Г,,,у = Г,,,п Зги величины и есть те неизвестные, которые требуется выразить посредством метрического тензорз дг, Для этой цели дифференцируем равенство (79.13) по х почленно. Получим: даю к~мха + к~хам д м т. е. да'ы Гх ~в+ Г8 лм — д— „,м (79.17) Мы имеем здесь (при фиксированных гг, 7, лг) одно уравнение с двумя неизвестными. Однако, если переписать это уравнение, слелав над 7а, 1, т круговую подстановку, сначала один раз, а по- том еще раз, то уравнений будет уже три, а неизвестное добавится лишь одно. Получаем: даст (ы ь+ Гм ы= дх дх„,а Г,,+Г, дх' Учитывая симметрию Г,;,.
по индексам г, у, мы замечаем, что в левых частях у нас имеется фактически лишь три неизвестные величины, попарные суммы которых заданы: дд„ Гюгм+ Г~„аа — дх *- ь+ Гм,ы = дхх дама г +г мы юм дс Обратно, Гу получаются из Ггы поднятием первого нижнего индекса: Г,", =~"Ггыу (79. 15) 9 791 кеиволинайные коогдннлты в авклндовоч пгостглнствв 357 Такую систему можно решить элементарным приемом, складывая почленно первые два уравнения и вычитая третье. Получим: деы дьгн 2Г,, = + — — —" дль дх' и окончательно у двгь двгм д, г, = — ( —,+ — — =) 2 ~дл™ дкл длТ ~ (79.18) Вставляя этот результат в (79.15), мы приходим к решению нашей задачи: Гн= — К ( — + — ). ь ! ьн /дйи дру дуг гд (79.19) дхт дх' дх' 7 Полученные выражения для Г,, и Ги называются Христоффелями (символами Христоффеля) соответственно 1-го и 2-го рода.
Если, в частности, х — аффинные координаты, то х= х ен х; = е; = сопз1, еьг — — хьх, = еье, = сопя), 1 дети все частные производные — обращаются в нуль. Этим еще раз дхн подтверждается, что в аффинных координатах Гь,=б. Докажем теперь теорему, показывающую фундаментальную роль метрического тензора е.. для евклидовой геометрии. П Г ь Пусть нам известно, гто переменные хг, ..., х, пробегающие данную связную область изменения ь)~, служат криволинейнььни координатами в какой-то (неизвестной) области Г) евклидова пространства, причем координаты метрического тензора в втой системе криволинейных координат нам заданьи д; =д; (х', ..., х"). (79.20) Тогда мы можем восстановить всю геометрию области ьг.
В самом деле, пользуясь (?9.19), мы находам коэффициенты связности Г~, тоже как функции х', ..., х" и, исходя отсюда, совершаем переход в какую-нибудь аффннную координатную систему х" так же, как в 2 78. В этой координатной системе находим координаты метрического тензорз по формуле преобразования дх' дх~ Так как х" — аффинные координаты, то еер=сопв1, т. е.
от выбора точки не зависят, В результате мы нашли в области 11 аффипную координатную систему х' (что позволяет восстановить всю аффинную геометрию области ьг) и метрический тензор е)) в ней, что кгиволиняйныв коогдинлты (гл. т позволяет выразить скалярное произведение любых двух векторов, а тем самым полностью восстановить евклидову метрику области ьг. Теорема доказана. Снова возникает вопрос: пусть в области измененил переменных х' каким-либо образом заданы функции е; (хх, ..., х"), ег = еуп (уе! (й'; (=~0.
Всегда ли можно истолковать х' как криволинейные координаты в некоторой области Й евклидова пространства так, чтобы ег (х1, ..., х") выражали координаты метрического тенэора в этой области в криволинейных координатах х'? Ответ снова будет отрицательным: такое истолкование возможно лишь в очень частном случае, именно, когда функции ег (х',...,х") удовлетворяют определенной системе дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка (которой мы будем заниматься позже). Лишь тогда задание дг (х', ..., х") позволяет установить евклидову геометрию в области изменения х'. Но здесь естественно спросить: нельзя ли и в общем случае задания функций д;?(х',...,х") связать с ними определенную геометрию в области изменения переменных х' наподобие этой евклидовой геометрии? Ответом на этот вопрос служит понятие римановой геометрии, которой мы будем заниматься в главе Ч!!.
ГЛАВА Ч1 МНОГООБРАЗИЯ Мы собираемся перейти к основным для этой книги понятиям пространства аффинной связности и ринанова пространства. В рамках этих понятий мы будем затем оставаться до конца книги. Как уже указывалось в 8 79, мы приходим к ним путем обобщения соответственно понявший об аффинном и евклидовом пространствах. В грубых чертах указывался и путь этого обобщения; мы рассматриваем некоторую область изменения переменных х', ..., х" н геометризируем ее в первом случае путем введения функций Г~п(х', ..., х"), которые используются аналогично коэффициентам связности аффинного пространства, во втором случае путем введения функций й)7(х', ..., х"), которые должны служить чем-то вроде координат метрического тензора д евклидова пространства.
О л Однако геометризацню области йзменения переменных х'„ ..., х нужно начинать с более раннего этапа, именно, с превращения ее в многообразие, еще независимо от задания функций Г;; или км. В настоящей главе мы этим и займемся, В 80. Элементарное многообразие Начнем с наводящих соображений.
Связную облзсть в аффинном пространстве мы можем относить к различным системам криволинейных координат, любые две из которых связаны между собой преобразованием взаимно однозначным и в обе стороны М раз непрерывно дифференцируемым: х" = т~(х', ..., х'] и, обратно, хт = ГО (х', ..., х"').
(80.1) При этом х' пробегают область изменения Й, ха в область изменения О' (определение области см. 8 75). При соблюдении всех этих условий преобразование (80.1) переменных хт в переменные х" мы будем называть кратко преобразованием класса И. То, что мы имеем область именно в аффинном пространстве, сказывается в том, что среди координатных систем выделены особые, 360 (гл. ш МНОГООБРАЗИЯ аффинные координзтные системы с точностью уже до линейных преобразований, Перейдя в какую-нибудь из аффинных координатных систем, мы очевидным образом можем установить зсе аффннные свойства области П.
Представим себе теперь, что мьг отказались от выделения среди координатных систем некоторык особенных (аффинных), а считаем нсе эти системы разнопранными. Тогда мы теряем аффинные свойства рассматриваемой области, она перестает быть куском аффинного пространства и становится некоторым иножестзом, элементы которого мы называем точками з сущности лишь по инерции.
Однако это множестзо, как мы сейчас узидим, зсе «ке сохраняет некоторые геометрические свойства, правда, очень бедные. Этим самым мы и приходим к понятию многообразия Б простейшем частном случае (элементарное многообразие]. Мы можем теперь дать следующее определение. Элементар«сь«м многообразием (п измерений' и класса Ж) мы будем назь«зать любое множество %, для которого задано взаимно однозначное отображение на связную область изменения п переменнык х«, ..., х", но задано лишь с точностью до произвольного преобразования этих переменныя в новые переменньсе по схеме (80.1) (включая условие непрерывной дифференцируемости порядка И). Обозначая область изменения переменных х', ..., х" через Й, а элементы множества через М, можно записать отображение з виде М+-+(хт, ..., х") Е Й. (80.2) Область Я предполагается связной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
