1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 73
Текст из файла (страница 73)
В нашем распоряжении нет больше векторов, которые можно было строго определенным образом переносить из точки в точку, что придавало пространству строго оформленный, жесткий характер. Теперь у нас нечто аморфное и пластичное, так как вся геометрия многообразия должна быть извлечена лишь из задания в нем множества координатных систем (80.2): Мч-»(х', х") Е»1, связанных между собой произвольными взаимно однозначными и И раз непрерывно дифференцируемыми преобразованиями. Тем не менее, понятие тензора в данной точке многообразия бев труда копируется с соответствующего понятия для аффинного пространства в криволинейных координатах. Мы говорим, что в данной точке М задан тензор, напри»»ер, один раз контравариантный и два раза ковариантнь»й, если в каждой системе координат х', ..., х" нам задана система чисел )т,»(М), преобразующихся при переходе к другим координатам х', ..., хсг по закону Ъ' » (М) = — (М) — (М) †„,(М)1";»(М), (8!.1) дх' дхт дх" дх' дх" дх» где частнсче производные вычислены в точке М (именно в этом и проявляется то обстоятельство, что тензор залан в точке М).
Большей частью нам придется рассматривать не отдельный тензор, а тензорное поле, ко~да тензор данного строения, например, )т,'», задан в каждой точке М многообразия (или, по крайней мере, в каждой точке некоторой поверхности или линии в нем), Тогда координаты тензора в каждой системе координат х', ..., х" являются определенными функциями точки чт'«» = )тг» (М) = [т!» (х»... °, х"), (81.2) причем злесь и везде далее эти функции мы сттаем «чг †"! раз непрерывно дифференцируемыми. При переходе в новую координатную систему действует закон преобразования (81.1).
Мы знаем, что х"(х', ..., х"), равно как и х (х', ..., х"'), суть И раз непрерывно дифференцируемые функции; отсюда следует, что условие тч' — 1-кратной непрерывной дифференцируемости для (т,'.» сохраняется и при переходе к (т;», (так как оно имеет место лля мнодх' дх' жителей —, —,, появляющихся при преобразовании (81.1)). дх' ' дк' твнзОРЫ в мнОГООБРАзии 5 81) 366 Мы видим, что задание тензорного поля в многообразии с формальной стороны вполне совпадает с заданием тензорного поля в криволинейных координатах аффинного пространства (Я 76). И в том и в другом случае в данной системе координат х', ..., х' координаты тензора задаются как функции точки, и в том и в другом случае они преобразуются по закону (8!.1) (который представляет собой повторение закона (76 12)), Разница лишь в том, что в аффинном пространстве мы могли трактовать 1Р;»(М] как координаты тензора, вычисленные относительно локального аффинного репера в топке М.
В многообразии зто невозможно, так как в нем не существует векторов, а тем самым и аффинных реперов, в том числе и локальных. Позтому, давая наши определения тензора в точке н тензорного поля для многообразия, мы были вынуждены скопировать именно формальную сторону дела. Если угодно, роль локальных реперов в точке М играют у нас сами координатные системы х', ..., х", рассматриваемые в бесконечно малой окрестности гочки М. В следующем параграфе мы геометрнзируем понятие о координатной системе х', ..., х', рассматриваемой в бесконечно малом вблизи М, в виде локального репера в касательном пространстве, Для того чтобы задать тензор данного строения в определенной ~очке М, достаточно произвольно задаться его координатами У;» в одной какой-либо координатной системе х'. Тогда в любой другой координатной системе хн координаты тензора 1",» определятся по закону (81.1), причем зтот же закон преобразования уже автоматически будет действовать и при переходе от любой координатной системы х" к любой координатной системе хр".
Последнее выводится совершенно так же, как и в й 32; разница лишь в обозначениях, а именно, роль взаимно обратных матриц 8дх~ 6 3 дх' РРгР ~~4,Р -р. ° Р - ) .'~'. 1 —,. (. Бр.- дхг ~ ~~дх' ния Ам = А,'.А,-, А; = Ай А), используемые при выводе, имеют место и у нас: (81.3) дхг дхг дл' дхл дхь дк' Действительно, это не что иное, как формулы дифференцирования сложных функций хг от х'" (и наоборот) при промежуточных аргументах х".
Если нам нужно задать гензор не в одной лишь точке, а целое тензорное поле, то в соответствии со сказанным можно задаться произвольными М вЂ” 1 раз непрерывно дифференцируемыми функцнямн (~,'» (М)= (гм (х', ..., х") (81 А) 366 [гл. ш многоовглзяя в данной координатной системе х', Тем самым в каждой точке М будет определен тензор поля, координаты которого в любой другой координатной системе х" определяются теми же формуламн (81.!). Аналогичным образом можно поступать н в тех случаях, когда тензорное поле задается в многообразии лишь на некоторой поверхности или линии, Все операции тензорной алгебры со всеми их свойствами, установленные нами в главе !1, переносятся дословно и на тензоры, заданные в одной и той же точке нашего многообразна.
Действительно, расхождение с главой И будет здесь лишь в обозначениях: роль А';ч А, 'в тензорном законе преобразования будут играть дх' дх —,, (М) и —. (М). дх' дх' Зато тензоры, заданные в разных точках многообразия, отделены друг от друга, так сказать, пропастью: их нельзя лаже сравнивать между собой, не говоря уже о том, чтобы производить над ними совместно какие-либо операции. В самом леле, желая сравнить два тензора, заданных в разных точках Мт и Мт, мы должны были бы каким-то образом в окрестности М, и в окрестности М, согласовать координатные системы, в которых вычисляются координаты этих тензоров. Но для такого согласования в многообразии нельзя указать никакого приема.
Ввиду широкого произвола в допустимых преобразованиях координат х', ..., х" из задания координатной системы в окрестности М нельзя извлечь никаких указаний на построение координатной системы в окрестности М . Эту же мысль можно выразить и так: допустим, что два тензора в точках М н М имеют одинаковые координаты в данной координатной системе х~: Уть (М1) = Уг(ь (Мг) Тем не менее эти тензоры не могут считаться равными, так как при переходе к новым координатам хн указанное равенство, вообще говоря, нарушится, Это произойдет потому, что в законе преобдх' разования (81.1) в первом случае будут фигурировать — (М ), а дх' дх~ во втором случае —.(М ), вообще говоря, не равные между собой. дх' Операции тензорной алгебры переносятся также и на тензорные полн в многообразии, а именно, операции над полями определяются как операции над тензорами этих полей, производимые в каждой точке М ло отдельности.
Так, сложение тензорных полей (одннакового строения), например, Уьн(М) и Ц,'(М), определяется 367 8 81) тхнзОРы в мнОГООБРАзии как составление нового тензорного поля В"' (М) = )т»ц (М) + и" (М); умножение тензорных полей, например, Ур (М), (7, (М), определяется как составление нового тензорного поля Р,", (М) =- ~'Р* (М) (У," (М); свертывание тензорного поля, например, (РГ»ч (М), по второму верхнему н первому нижнему индексам означает построение нового тензорного поля К (М) ("и (М) наконец, подстановка индексов означает переход от тензорного поля, например, Жр~ (М), к тензорному полю того же строения Ярд (М), например, следующим образом: ~»ч (М) — «Р (М).
Именно потому, что операции над тенчорными полями сводятся таким образом к операциям над тензорами, взят»сии каждый раэ в одной и той же точке М, эти операции сохраняют все свои обычные свойства. Для краткости мы в дальшейшем часто будем говорить просто «тензор», имен в виду тензорное поле. В противоположность алгебраическим операциям операция абсо. лютного дифференцирования тензорного поля в многообразии не существует. В процессе дифференцирования нужно прежде всего брать приращение тензора при переходе из данной точки в бесконечно близкую, т.
е. вычитать тензор в одной точке из тензора в другой точке, а это в многообразии не имеет никакого смысла. Если же попробовать обойти это формальным дифференцированием координат тензора поля, например, )т»т(х', ..., х"), по координатам точки, то полученные величины — не образуют тенэора, дхт В самом деле, продифференцируем закон преобразования (81.1) почленно по хж и получим тем самым величины , в новых коордхп динатах; тогда в правых частях придется дкфференцировать, кроме дха множителя )т»т, множители —, и т. д., что приводит к дополдх' нительным членам, портящим тензорный закон преобразовапня д1м дУ дУ~~, для †~ . Более того, †,'- зависят не только от †' но и от дхе ' дхя дхя СаМИХ ттхр 368 [гл.
Р( МНОГООбРАЗИЯ 8 82. Касательное аффинное пространство Опираясь на то, что в каждой точке М многообразия 8)[„ можно построить тензоры с обычными свойствами, мы постараемся геометризировать понятие многообразия, насколько это возможно. Особое значение в этом смысле будут иметь один раз контраварнантные тензоры $(, В аффинном пространстве такой тензор определил бы нам вектор; но в многообразии у нас пока векторов нет, да в настоящем смысле слова никогда и не будет. Ио мы все же постараемся связать с кажда(м текзором $( в данной точке М нашего многообразия вектор $ в некотором условном смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
