1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(М) (ти (М). (76.12) дх' дх т дхь Таким образом, переход от одних криволинейных координат к другим, влечет за собой преобразование координат тензорного поли Рассмотрим теперь произвольное тензорное поле, например, )т,'ч(М) (8 38). Точка М может при этом пробегать всю область ьг или только некоторую поверхность в ней, нли даже линию в зависимости от того, где тензорное поле задано. Координаты тензора (т;ь можно вычислять относительно любого аффинного репера. Однако в дальнейшем мы всегда будем считать, что аффинное пространство (по крайней мере в пределах области Я) отнесено к каким-либо криволинейнсчм координатам х', Тогда в каждой' точке М возникает локальный репер, и координаты гензора )т,'ь(М) мы будем брать относительно именно этого репера.
Эти координаты мы будем кратко называть координатами тензора Ь";ь(М) в данной системе криволинейных координа~ х'. Когда в дальнейшем мы будем говорить о тензорном поле 344 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ [Гл. т )т,'ь(М) по ззкону (76.12). При этом частные производные х' по х н обратно берутся в той же точке М, как и координаты тензора, что и отмечено в записи.
Все тензорные операции алгебраического характера автоматически переносятся и на тензорные поля, как это было показано в 2 38. Правда, там мы относили все тензорное поле к одному реперу (О, е, ..., е„), теперь же у нас в каждой точке имеется свой локальный репер (М, х,, ..., х„). Но это не меняет нзших рассуждений, так как алгебраические операции над тензорами совершаются ио отдельности в каждой точке М. Ззто с абсолютным дифференцированием тензорных полей в криволинейных координатах дело будет обстоять совсем не так просто. В этой главе мы не будем им заниматься, так как в главе ЧИ мы получим соответствующие результаты в более общем виде.
Отметим, в частности, что любой вектор $, заданный в точке М, мы будем всегдз относить к локальному реперу в точке М и под его координатами Зг понимать координаты относительно локального репера. Таким образом, $г определяются из разложения (76. 13) Координаты инвариантного вектора образуют, как мы знаем, контра- вариантный тензор относительно любого аффинного репера, в частности, и относительно локального репера, так что закон преобразования я~ будет иметь вид дх' ян - — я'. дх' Обратно, если нам задан в точке М Один раз контравариантный тензор с координатами $', то разложение (76.13) определяет инвариантный вектор й, как тоже известно из обшей теории (й 24). Задание векторного поля $(М) равносильно вследствие этого заданию тензорного полн 4 (М).
й 77. Параллельное перенесение Одним из важнейших свойств аффинного пространства является возможность отклалыаать данный вектор из любой точки. Возникает вопрос, как это реализовать, когда рассматриваемая область Й отнесена к криволинейным координатам х'. Вектор йь мы булем ./ предполагать заданным его координатами с, в некоторой точке М ; отложить его мы хотим из другой точки М,. Разумеется, если отложить в М, вектор с теми же координатамн 3„, то это не достигнет цели, так как локальные реперы в М„ и М, различны. Нам нужно 345 й 77) ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ установить, как следует изменить ~„ чтобы в локальном репере в точке М, они определяли прежний вектор Однако решение этой задачи не приводит к чему-либо интересному, если переносить вектор йа из Мв в Мг одним скачком, Интерес представляет непрерывное перенесение вектора фе по какой-либо кривой М„М , причем мы рассиатриваем ход непрерывного изменения его координат яг на каждом бесконечно малом участке луги.
Именно это упрощение задачи и приводит к содержательным результатам. Пусть путь МРМЬ задан параметрическими уравнениями х'=х'(Г) ((=1, 2, ..., и'1, Ге=1(Г,, (77.1) где х (Г) — непрерывно лифференцируемые функции, Заметим, что М М, есть кривая в смысле 2 б5: если х'(г) подставить в (76.1), то радиус-вектор х оказывается функцией от 1. В каждой точке М(1) этого пути мы откладываем постоянный вектор фа, координаты которого я', однако, меняются от точки к точке ввиду изменения от точки к точке локального репера. Таким образом, координаты $' зависят от 1: (77,2) и мы хотим выяснить, по какому закону будут меняться эти функции котя бы на бесконечно малом участке пути. Так как функции х'(1) — непрерывно дифференцируемые, мы сейчас же получаем, что вдоль пути векторы локального репера х;(х', ..., х"), а значит, и я' являются непрерывно дифференцируемыми функциями 1 (предполагая Ж= 2; смысл М см, 2 75).
Относя вектор $а к локальному реперу в точке М (1), пишем: й,=яг(1)хг(х', ..., хн). (77.5) Здесь имеется в виду, что аргументы х', ..., х" сами зависят от 1 согласно параметрическим уравнениям пути. Дифференцируя по 1 почленно и учитывая, что й, = сопз(, получим: 0 = с(я'х;+ $'ахг (77.4) Чтобы разобраться в этом результате, нам нужно векторы с(х; раз- ложить по векторам локального репера, По формуле полного дифференциала с(х, (х', ..., х") = х,ус(х~, кеиволинвйныв кавелин»ты [гл.
ч где д»к (хк, ..., к") х; = дх'дхт Векторы х;р вполне определенные для каждой гочки области Р (з не только ядоль рассматриваемого пути), можно разложить по векторам локального репера хг в этой точке: х,,=Г„х . (77.6) Через Гу мы обозначили коэффициенты разложения; по й происка. » дит, конечно, суммирование. Очевидное равенство х,г —— ха »» Г;;=Г, влечет за собой (77.7) ввиду однозначности разложения по векторам репера.
Конечно, Ггг зависят от точки, где производится разложение (77,6), так что Г,~(М) = Г„(х', ..., х"). (77.8) » йх, = Гих»йхт, после чего равенство (77 ч) принимает вид 0 двоих»+ ГйхД'йх'. В первом члене правой части мы изменили лишь обозначение нндексз суммирования на й. Ввиду линейной неззвисимости векторов х„ обращение в нуль ик линейной комбинации означает обращение в нуль и всех ее коэффициентов; следовательно, ая»-[- Г;Д'йхт = О, с$» = — Гця~ йх~. или, что то же, (77,9) (Ввиду симметрии Г»ц по нижним индексам безразлично, свертыва- Величины Гц, определенные таким образом в данной системе криволинейных координат х для каждой точки М области Я, мы будем называть коэффициентами связности.
Смысл этого названия вскоре выяснится. Коэффициенты связности впоследствии (в обобщенном виде) будут играть у нас исключительно важную роль. Возвращаемся к нашей задаче. Вставляя разложение (77.6) в (77.5), получаем: 347 п»еллпяльноа пгеенковниа э 77] ется ли я с первым, а дх — со вторым его индексом или наоборот). ! Это и есть формула параллельного перенесения вектора в беско- нечно малом. Она решает следующую задачу: если в данной то~не М(хь] вектор имеет координаты я», то какие координать! будет иметь тот же вектор в бесконечно близкой точке М'(х!+ дх!)7 Конечно, эту задачу мы решаем не точно, а пренебрегая беско- нечно малыми высшего порядка.
Ве~нее, мы выражаем не прираще- ния, а дифференциалы координат $ при переходе из М в М', Как мы видим, д$ линейно зависят и от данных координат $! » и от дифференциалов дх! координат точки. Коэффицие!ггами служат Г,»! мы видим, что при их помощи связываются векторы в М и векто- ры в М', откуда и происходит название »коэффициенты связности», Мы как будто забыли о том пути М»М , по которому двига- лись, или, точнее, ограничились его произвольным бесконечно малым кусочком. Если же мы захотели бы применить полученную формулу (77.9) к перенесени!о вектора по конечному пути М,М,, то нам пришлось бы интегрировать соответствующую систему дифференциальных уравнений.
Здесь мы на этом не останавливаемся, так как позже будем заниматься этим вопросом в обобщенном виде. В частном случае, когда координаты х аффинные, ! х (х'...,, х") = хьеы х, = е„хИ вЂ” — О, и из (77.б) следует: » Г! =О. (77.10) Обратно, если в какой-нибудь системе криволинейных координат Г,» (х', ..., х") тождественно обращаются в нуль, то из (77.6) следует: к!7=0, х =сопв1. Обозначая х! = е;, получим наконец х = хьег+ х,.
Такое выражение для радиуса-вектора (где хе=сопя() показывает, что х — аффинные координаты (с началом в точке хь). ! Итак, для того чтобы криволинейные координаты в рассматриваемой области Й оказались, как частный слу~ай, просто аффинными, необкодимо и достаточно, чтобы в этих координатах тождественно оброк]алиса в нуль Гг!. 348 кгияолинейные коогдинаты 8 78.
Объект связности Мы ввели коэффициенты связности Гп в некоторой системе кри- Ф волинейных координат х' в каждой точке М области Й. Допустим, что мы перешли в другую систему криволинейных координат х' и там вычислили Гй; по какому закону будут преобразовываться Г;, в Гг,? А а Как оказывается, этот закон не будет тензорным, хотя индексные обозначения коэффициентов связности как будто наталкивают на эту мысль. Исходя из разложения (77.6), определяющего Гбн х нетрудно этот закон найти, В старых и соответственно в новых координатах мы имеем: х т= 1 ~рхы хгп = Ггг хан (78.1) дх' х; = —,хг. дх' (78.2) Еще раз дифференцируем, теперь по х~', снова рассматривая х, (х', ..., х") как сложную функцию от хг. Так как дх; дх; дхт дхт — !, = — '. —., = х ьу —,, дх' дхтдхт ' дх' то мы получаем, дифференцируя (78,2) по х~', д'х' дх' дхт дх дхг дх' дха (78.3) В первом члене правой части меняем обозначение индекса суммирования г на и и, пользунсь первым разложением (78.!), переписываем: / д'ха дх' дхт х,, = ~,, + —., —., Г;~~ хю (78А) 'тдх~ дх~ дх' дх' ) Пользуясь, далее, формулой (78.2), записанной с переменой ролей старых и новых координат: дх ха = — хы, дха (78.6) получаем окончательно: т даха дх' дхт ах дх ~дан ахн дх" дхд '~ дх' Мы хотим, пользуясь первым разложением, подсчитать коэффициенты второго разложения, что и даст искомый закон.
Дифференцировзнне х(х', ..., х") как сложной функции от х' приводит нас к (76.7): 349 ОВЪЕКТ СВЯЗНОСТИ э 78) Сравнивая со вторым разложением (78.1), мы видим, что д'х» дх" дх' дхт дх»' » (78.6) дх' дх' дх" дх' дхг дх» Это и есть искомый заков преобразования коэффициентов связности. Этот закон совпал бы с тензорным, если в правой части оставить лишь последний член. Но наличие дополнительного члена, содержащего, между прочим, вторые производные старых координат по новым, принципиально меняет дело. Если в данной точке М для каждой системы криволинейных координат х' нам указана система чисел Г»о преобразующихся по закону (78.6) при переходе от одной системы к другой системе криволинейных координат, то мы говорим, что в точке М задан объект связности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
