1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(71.15) Мы замечаем, что величины (71.13) получаются из ри„, т. е. из плотности проекции импульса на ось Х, последовательным умножением на и„, и, и„т. е. совершенно аналогично тому, как величины (71.9) получаются из рот, т. е. из плотности энергии. Но величины (71.9) выражают плотность потока энергии в направлениях Х, г, Я; значит, (71.13) играют такую же роль для проекции импульса на ось Х.
Итак, длл проекции импульса на ось Х плотность потока в направлении осей Х, 1', Х будет Т", Т", Т'ь. Для плотности потока проекций импульса на оси Г, Е такую же роль играют нторая и третья строки матрицы Тка. Конечно, все это легко получить и непосредственно, не ссылаясь на (7!.9). Рассмотрим теперь скорость протекания проекции импульса на ось Х через какую-либо поверхность П. Совершенно аналогично (71.11) получаем, что эта скорость †обознач ее ус †равняет вычисленному в данный момент потоку векторного поля ри„п через поверхность П: 318 основы спяцикльной тяогин относительности [гл. ш Формулы (71.!1), (71.14), (71.15), которые вскоре нам понадобятся, мы объединим в обшей записи.
А именно, обозначая проекции и наосиХ, !',Е л, л„, не=пи лз, лз и развертывая скалярное произведение ип = и„п, + и„л, + и,л„ можно переписать эти формулы в следующем виде: д'= ~ ~)гсз(и„л,+и п,+иле)й8= с ) ') (Тзпт+ Т"и,+ Твэл„)д8. п и (71.16) д'= ~ ~)ьи„(и„п,+и,л,+и,пз) й8- и ~ ') (Тиль+ Т"пв+ 7чзпз) й8, и уз= ~ )г ри„(и„л -';и„л -)-и,п ) й8 (71.17) - 7) 1 (Тз1 п, + Тыл, + Т п,) й8, п уз= ~ ~)ги,(и„п,+и„п,+и,п,) й8 и ~ ~ (7.зэп + 7ззп !. 7 зал ) 38 и Мы воспользовались здесь формулами (71.7), (71.13) и им аналогичными. формулы (7!.17) можно объединить: в у"= ~ ) ~чу» Т'ьл й8 (т 1, 2, 3). (71.!3) и л=г Выясним теперь нашу общую установку в отношении тензора энергии-импульса. Мы рассмотрели тензор энергии-импульса, отвечающий потоку масс.
Однако в дальнейшем мы будем считать, что и всякому физическому процессу, протекающему в сплошной среде, отвечает в пространстве событий определенный тензор знергии-импульса Ти(М), который имеет аналогичный физический смысл, й 7() 312 теизот энеегии"импульса А именно, если вычислить координаты Т" в какой-либо ортоиормироваииой координатной системе, то относительно соответствующей ииерциальиой системы Я оии будут представлять собой; Твь †плотнос энергии; Тех(?,= 1, 2, 3) †умноженн иа с плотность проекции импульса иа Х-ю ось или деленную иа с плотность потока энергии в направлении Х-й оси; ?ч"(?, т = 1, 2, 3) †плотнос потока проекции импульса иа т-ю ось в направлении Х-й оси (или наоборот).
В этих формулировках оси Х, у, .3 в системе Я именуются 1-й, 2-й, З-й осями. Из этого физического истолкования вытекает, в частности, что формулы (7!.16), (71.17) остаются верными и для любого физического процесса. Допущение о существовании теизора энергии-импульса у всякого физического процесса очень важно. Конечно, суть его ие в том, что определенные физические величины обозначены в виде элементов симметрической матрицы, а в том, что оии предполагаются координатами дважды контравариантного тензора и, следовательно, имеют вполне определенный закон преобразования при переходе от одной инерциальной системы Ю к другой 8".
Т"Р = А' А, '7'т. Здесь А'; имеет тот же смысл, как и в (67.15). Таким образом, существо нашего допущения в том, что для любого физического процесса оио устанавливает закон преобразовзиия плотности энергии, плотности импульса и плотности потока импульса при перехоле от 8 к 8'. Какие имеются основания перенести теизориый характер этих величин, установленный для потока масс, иа общий случай? Математического вывода здесь, разумеется, дать нельзя, но физические основания достаточно веские. Энергия и импульс способны переходить из одной формы в другую, например, из механической в электромагнитную, количественно не меняясь. Поэтому после такого перехода плотность энергии и плотность импульса должны преобразовываться от Ю к 8' по прежнему закону.
Правда, в действительности закон преобразования охватывает, кроме того, и плотности потока импульса. Все же естественно принять, что и этот усложненный закон преобразования ие должен нарушаться, когда энергия и импульс переходят из одной формы в другую. Рассмотрим теперь другой важный частный случай теизора энергии-импульса. 2'. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Пусть электромагнитное поле задано тензориым полем с, в пространстве событий.
Составим из теизора Г~? и метрического теизора л~ новый тензор по следующей формуле: ы 7ет = — у РееР + — Р" Речу 1бп ее ли ее (71.19) По р и д происходит свертывание. Очевидно, тензор 7"т будет симметрическим и дважды контравариантным. Этот тензор н принимается за тензор энергии-импульса электромагнитного полл, 'г(а первый взгляд кажется, что такой выбор тензора энергниимпульса является совершенно произвольным и ничем не обоснованным.
Однако вскоре мы убедимся, что это не так; выбор именно этого выражения почти полностью продиктован законами сохранения энергии н импульса. Мы только не сможем излагать здесь все наводящие соображения и пойдем путем простой проверки. Как было сказано, мы приписываем координатам тензора энергии-импульса определенный физичесний смысл. Это значит, что, выбрав для электромагнитного поля определенный тензор энергии- импульса, мы приписали тем самым электромагнитному полю определенное распределение и перемещение энергии и импульса. А это, рззумеется, нужно сделать в соответствии с действительностью и прежде всего так, чтобы соблюдался закон сохранения энергии и импульса.
При этом нужно учитывать, что энергия и импульс влектромагнитного поля могут не только перемещаться, но и переходить в другую (механическую) форму. Мы увидим позже (9 73), что выражение (71.19) подобрано действительно так, что оно удовлетворяет поставленным условиям. Чтобы увидеть конкретный смысл формул (71.19), запишем их в развернутом виде в ортонормирозанной координатной системе. При этом мы будем пользоваться таблицей (69.9) н соотношениями (70.14). Вычислим сначала инвариант РееРр, т. е. сумму произведений соответствующих элементов матриц Рее й Р . Эти элементы согласно Ре' (70.14] или равны или отличаются лишь знаком; последнее имеет место в случае Р'"(Х 1, 2, 3). Заменяя соответственно Рее через -~Р и учитывая косую симметрию матрицы Р , получаем: = 2 ( — Е„' — Е' — Е, '+ Н'+Н'„+Н,*) = 2 (На — ЕЯ).
(71.20) Далее, учитывая, что ~„- — 1, йж=(, у„=0 (р~д), получим РеРм .. роро ( 'ч' РпРл Ре ь е (71.21) 320 основы спвцилльной теогни относительности [гл. ш з 71) 321 ТЕИЗОР ЗИЕРГИИ-ИМПУЛЬСА В частности, Гогого~ ~~ (ро»)в Е» 1 я» ( р» Ев А=! рогР»о»» ~ ро»р»! Е ц Е ц Рт У»» У' А=! (71. 22) (71.23) Вычисляем теперь 7оо из (71.19), пользуясь (71.20) и (71.22), а также учитывая, что ел~ = — 1: Т '= — (Н' — Е )+ — Е = — (Е'+ Н'). о 1» в 1 з 8»ч 4п 8И (71,24) Такой вид имеет, следователю!о, плотность энергии электрол»агнитного поля. Далее, находим То', Тог, Тов, пользуясь (71.19) и (71.23) и учитывая, что 8,"гу=-0(1~/), в частности, Ащ =0: 7 '= — (~у~в — ~»~ ), (71.
25) 1 Таким образом, проекции вектора — [ЕН[ на координатные оси Х, У, Л совпадают с То', То', Тов. Согласно физическому смыслу этих 1 величин вектор — [ЕН[ дает плотность импульса электромагнитного 4пс с поля а вектор — [ЕН] †плотнос потока энергии электромагнит4п ного поля. Проекции последнего вектора на оси Х, т', Л дают плотности потока энергии в направлениях этих осей. Аналогичным образом можно было бы вычислить и плотности потока импульса. 3'.
Рассмотрим еще пример, хотя и далеко не столь общего значения, как первые два. Пусть в инерциальной системе Я покоится тело, находящееся в напряженном состоянии, возникшем, например, в результате упругой деформации. Ввиду того, что тело покоится, плотность импульса равна нулю; 11 и. К, Рене»вова 7 А=.о (~=1, 2, 3). )Ь(атрида Тц состоит по существу из элемента Т" (плотности энергии) и из матрицы третьего порядкв Т'А(У, )!= 1, 2, 3). Оказывается, что в нашем примере эта часть тенэора энергии- импульса лишь знаком отличается от трехмерного тенэора напряжений У„„ (9 14).
В самом деле, в произвольной точке рассматриваемого тела установим бесконечно малую площадку с(Ь', ортогональную 322 ОСНОВЫ СПЕПИАЛЬНОй ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ, Ш к оси Х. Тогда на единицу площади этой площадки согласно (14.10) действует сила Р(Л, уш, У,.), (71.26) а на всю площадку — сила Р д5 (у« е с(Ь', 7, дЯ, Ге д8). Точнее, эта сила действует через площадку на часть тела, расположенную за площадкой (т. е. в сторону — Х). За время е втой части тела будет сообнеен тем самым импульс РдЯВ (ум дЬВ, уе дЮВ, 7 здБВ), который, таким обрззом, протек через площадку в сторону — Х Чтобы установить плотность потока импульса в направлении — Х, достаточно отнести протекший импульс к единице площади и к единице времени, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
