1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(73.7) до дР!Р 1 дР!Р 1 дрдд 4п дхд 4п дх/ Рд 4л дхд Рд' Во втором члене происходит опускание второго индекса у Ргг, так что этот член принимает вид д Руд 1 дР';, 4п дхд Заменяя здесь обозначения индексов суммирования 4, / на Р, р, убеждаемся, что это выражение отличается от предыдущего лишь знаком (так как Гдр= — ррд). Первые два члена в правой части взаимно уничтожаются. Действительно, в первом члене происходит поднятие первого индекса у Р /Р' так что его можно переписать в виде Ррд 'Р дР'ур 4л дхд ' 6 73! диаеггенция теизоРА знеггии-импульсА 329 Итак, (73.7) принимает вид 7а ЕГ/ 1 „,длуо Ол дхх Ро' (73.8) Воспользуемся уравнениями Максвелла (70.17): дг'О дг"Л вЂ”. = 4ла' ( а следовательно, — = — 4ла'). дху дах Теперь (73.8) дает окончательно т'= — Е'л Е .
Ро' (73.9) Т~ Раааа 7лааа коала Тиаза (73.10) Пользуясь таблицей (69.9) и соотношениями (70.14), получаем: Еао Е Еао = — Е Еао Е Газ=Но, Е'а=Н„, Еах Н. (73.11) При атом,Р'= 0 и Гд= — хо'х. Кроме того, согласно (68.13) и„ ну "а ао — р ат р — ", аа=р —, аа= р †. (73.12) Теперь окончательно подсчитываем Тч при 1 О, 1, 2, 3: То Р (Е и + Е и +Е и ) Р ИВ (73.13) Тч = — — ' (сЕ„+ Н,и„— Н и,) и далее круговой подстановкой х, у, а.
Отсюда вытекает, что а Т'е„— Р (Е+ — 1ИН]), о (73.14! Здесь р есть плотность заряда, а и — скорость его движения. Выясним физический смысл тензора Т' с точки зрения какой-либо инерциальной системы 8, рассматривая координаты Т' в соответствующей ортонормированной координатной системе х' (заметим, что все тенаоры и тензорные соотношения, которые у нас встречаются, можно рассматривать в любой аффннной координатной систео1е, но физическое истолкование они получают лишь в ортонормирозанных системах).
Тогда доо — — — 1, им = 1 (Х = 1, 2, 3), остальные А' = О, так что (73.9) приобретает вид 33О ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТВЛЬНОСТИ (ГЛ. ЬЧ Подсчитаем теперь первое из выражений (73.2): ес ) ) ) Т" дьь = — ~ ) ~ ецЕр сс'ш. (73.15) Так как р бы в заряд, заключенный в элемент объема дш, то Ер дсо— сила электрического поля, действующая на этот заряд; ец †вект бесконечно малого смешении за время в; следовательно, стоящее под знаком интеграла скалярное произведение дает работу, совершаемую электромагнитным полем над элементом заряда за время в (магнитное поле работы не производит).
Сам же интеграл в правой части означает работу, произведенную электромагнитньсм полем е пределах области ш за время в над частицами, несущими электрические зарядьс. Эта работа идет на приращение механической энергии частиц. Но так как правая часть (73.15) содержит интеграл с обратным знаком, то она выражает убыль механической энергии частиц.
Окончательно, равенство (73.15) озизчает, что возникновение энергии е электромагнитном поле (левая часть) происходит за счет убыли такого же количества механической энергии заряженных частиц (правая часть). Таким образом, во взаимоотношениях электромагнипсого поля н движущихся в нем заряженных частиц соблюдается закон сохранения энергии. Теперь подсчитаем второе выражение (73.2), пользуясь соотношением (73.14): э е ~ ') ') ~~ е„7 да= — ') ') ') е (Е+ — ~цН1) рдш. (73.16) н э=с (О Е круглых скобках стоит сила, действующая в электромагнитном поле на единицу заряда, движущегося со скоростью и; после умножения на элемент заряда рдсе получаем действующую на него силу, а после умножения на е — импульс, который сообщается электромагнитным полем элементу заряда за время е. Сам же интеграл в правой части означает, следовательно, механический импульс, сообщенный электромагнитным полем е пределах области еь за время е частицам, несущим электрические заряды.
Так как правая часть (73.16) содержит интеграл с обратным знаком, то онз выражает убыль механического импульса частиц. Окончательно смысл равенства (73.16) состоит в том, что еоэникноеение импульса электромагнитного поля (лееая часть) происходит за счет убыли зикого же количества механического импульса заряженньсх частиц. Таким образом, в бэлшюе электромагнитного и механического импульса соблюдается закон сохраненьи импульса. Напомним, что мы говорили до сих пор об энергии, импульсе и потоке энергии и импульса в электромагнитном поле, предполагая, й 74) волновое хехвнхние диехкх для своводного электеонл 331 что его тензор энергии-импульса имеет внд (73.1). Лишь теперь это предположение оправдано в том смысле, что оно правильно описывает переход энергии и импульса из электромагнитной формы в механическую н обратно: закон сохранения энергии-импульса при этом соблюдается.
й 74*. Волновое уравнение Дирака для свободного электрона В этом параграфе мы рассмотрим один вопрос релятивистской (т. е. согласованной с теорией относительности) квантовой механики. Изменение состояния электрона с течением времени описывается в ней спинорным полем в пространстве событий туг= фх(х, х~, х~, х ), ф = ф (х, х~, х~, х ). (74 1) Здесь, как обычно, ха, хг, хх, ха=-с1, х, у, х (74. 2) гвосФ =~'() йфй лг,сгр"' = ЙЮ'ф . (74,3) Здесь гл †мас покоя электрона, с †скорос света, г( =— а о 2п ' где Л вЂ” лостояннал Планка. Величины фх, фх, стоящие в левых частях уравнений, это контравариантные координаты того же самого спиноРа гРх, фй, котоРый входит в пРавые части.
ОпеРатоРы Юн= Ок" имеют тот же смысл, что и в $ 60. Инвариантный характер уравнений (74.3) виден из того, что их правые части согласно (60.7) представляют собой также контра- вариантные координаты некоторого спинора и преобразуются, следовательно, одинаково с левыми частями. Напишем теперь уравнения (74.3) в развернутом виде при ) = 1, 2, Х = 1, 2, причем правые части развернем' согласно (60.8), а в левых частях контравариантные координаты нашего спинора выразим через ковариантные в некоторой инерциальной системе отсчета. Так как пространство событий представляет собой псевдоевклидово пространство 77',", то все, сказанное относительно спинорных полей в 5 60, применимо и в нашем случае.
Закон изменения состояния электрона с течением времени выражается системой дифференциальных уравнений, наложенных на функции (74.1) и имеющих одинаковый (инвариантный) вид в любой инерциальной системе отсчета. Эти уравнения согласно Дираку будут следующими: ЗЗ2 ОСНОВЫ СПЕ!1ИЛЛЬНОй ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. Ш согласно (57.7). Получим: 1'дф дф „дф„дф „'1 е /дфг дфг дфо . дфо'т гл сф" =' « — + — + — 1— о ( дхо дхо дх' дхо )' и сф- =то ~ — +1 — — — -[ — ~. г 1дфг .
дфд дфо дф ( дх' дхг дхо дхо 1' (74.4) дф Гдф дф дф ) Ь вЂ” = — «с ( — '+ — '+1 — '/ — гл с'ф, д1 ( дг дх ду / о г~ дф [дф дф дф ) й — =- — Ьс (, — — г — ' — — (+ пг сгф, д1 дх ду дг ~ г д1р, е 7дфг дф, . дф,'1 « — = — «с1 — + — — г — 1 — вг соф-, « — = — «с )т — +1 — — — ) л-ш сгф-, г дф, г /дфг . дфт дфот д1 ~ дх ду дг 7 ' о (74.5) Это означает, что по начальному состоянию электрона при данном значении 1 мы можем, интегрируя систему уравнений Дирака, определить его состояние при любом значении 1 о). Со спинорным полем электрона связано векторное поле плотности тока. Не вдаваясь в разъяснение его физического смысла, покзжем, как оно возникает *) Уравнения Дирака в этой форме см., например, В. А.
Ф о к, Начала квантовой механики, КУБУЧ, 1932, стр. 182, формула (19); прн этом нужно иметь в видУ, что наши фп фо, ф-, ф- совпадают с ф, ф„— 1фг, — 1ф о г о г о в обозначенвях В. А. Фока. Это и есть волновые уравнения ширака для свободного электрона Мы здесь не имеем возможности вдаваться в физический смысл этих уравнений и хотели лишь показать их инвариантный характер на основе предыдущей теории спиноров. Заметим только, что из уравнений Дирака можно без труда выразить частные производные по времени †', †', †', †' через сами функции фы ф„ ф;, тр;, и их частные производные по пространственным координатам х, у, г = =х х,х ~не нужно забывать что †= — и т. д,~, Получим: 1 о о дф, 1дф, дхо с д1 9 74) волновов квхвнаннв диглкх лля своаодного элистеонл 333 из нашего спинорного поля фх, фх.
С каждым спннором ф", ф» можно связать сопряженный слинор 'ф", фх, составленный следующим образом: фа (фл)» „) х (фх)» (74,6) Здесь звездочка по-прежнему означает комплексную сопряженность. Покажем, что построение сопряженного спинора этим путем имеет инвариантный смысл в нашем псевдоевклндовом пространстве Й',", если ограничиться вращениями лишь собственными и несобственными 1-го рода. Последние связаны с зеркальными отражениями репера в пространственном смысле, без изменения ориентации на оси времени х' =- с1. Поэтому наше ограничение с физической точки зрения яв. ляется вполне естественным, так как системы отсчета с обращенным течением времени в природе не существуют, Рассмотрим сначала случай, когда репер Я в й",' испытывает собственное вращение. Тогда ф', фа преобразуются в ф", ф" при помощи некоторой унимодулярной матрицы, а значит, (ф')», (ф')" преобразуются при помощи комплексно сопряженной матрицы, т.
е. так же, как вторая пара координат спинора ф', ф ' (см. (59.5)). Таким образом, ф ', ф а, совпадающие с (ф')», (фх)» согласно (74.6), преобразуются так, как подобает координатам спннора. Аналогичным образом показываем это и для фг, фя. Пусть теперь репер испытывает несобственное вращение 1-го рода; приходим к тому же результату, испольауя вместо (59.5) формулы (59.7). Составим из данного спинора ф', фх и ему сопряженного ф", фх спинтензор с"й = сн " по формуле схй = ф~фй+ф~фй, сйх=ф ф +ф фа (74 7) Другими словами, мы перемножили наши спиноры как одновалентные спинтензоры, в результате чего по общему правилу перемножения тензоров получился двухвалентный спинтензор. Перемножение мы выполнили при одном и нри другом порядке множителей и результаты сложили. Наконец, мы откинули (положили равными нулю) координаты с'", схи и сохранили лишь с"н, си~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
